八年级数学动点问题.docx
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八年级数学动点问题
八年级数学动点问题
1.(2012•常德)已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线BC运动,连接DP,作CN⊥DP于点M,且交直线AB于点N,连接OP,ON.(当P在线段BC上时,如图1:
当P在BC的延长线上时,如图2)
(1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论:
①BN=CP;②OP=ON,且OP⊥ON;
(2)设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系.
解答:
(1)证明:
如图1,
∵四边形ABCD为正方形,
∴OC=OB,DC=BC,∠DCB=∠CBA=90°,∠OCB=∠OBA=45°,∠DOC=90°,DC∥AB,
∵DP⊥CN,
∴∠CMD=∠DOC=90°,
∴∠BCN+∠CPD=90°,∠PCN+∠DCN=90°,
∴∠CPD=∠CNB,
∵DC∥AB,
∴∠DCN=∠CNB=∠CPD,
∵在△DCP和△CBN中
,
∴△DCP≌△CBN(AAS),
∴CP=BN,
∵在△OBN和△OCP中
,
∴△OBN≌△OCP(SAS),
∴ON=OP,∠BON=∠COP,
∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP,
即∠NOP=∠BOC=90°,
∴ON⊥OP,
即ON=OP,ON⊥OP.
(2)解:
∵AB=4,四边形ABCD是正方形,
∴O到BC边的距离是2,
图1中,S四边形OPBN=S△OBN+S△BOP,
2.已知正方形ABCD,点P是对角线AC所在直线上的动点,点E在DC边所在直线上,且随着点P的运动而运动,PE=PD总成立.
(1)如图
(1),当点P在对角线AC上时,请你通过测量、观察,猜想PE与PB有怎样的关系?
(直接写出结论不必证明);
(2)如图
(2),当点P运动到CA的延长线上时,
(1)中猜想的结论是否成立?
如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
(3)如图(3),当点P运动到CA的反向延长线上时,请你利用图(3)画出满足条件的图形,并判断此时PE与PB有怎样的关系?
(直接写出结论不必证明)
解答:
(1)解:
①PE=PB,②PE⊥PB.
(2)解:
(1)中的结论成立.
①∵四边形ABCD是正方形,AC为对角线,
∴CD=CB,∠ACD=∠ACB,
又 PC=PC,
∴△PDC≌△PBC,
∴PD=PB,
∵PE=PD,
∴PE=PB,
②:
由①,得△PDC≌△PBC,
∴∠PDC=∠PBC.(7分)
又∵PE=PD,
∴∠PDE=∠PED.
∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°,
∴∠EPB=360°﹣(∠PEC+∠PBC+∠DCB)=90°,
∴PE⊥PB.
(3)解:
如图所示:
结论:
①PE=PB,②PE⊥PB.
3.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.
(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,
①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:
cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式.
解答:
解:
(1)①∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠CAD=∠ACB,∠AEF=∠CFE,
∵EF垂直平分AC,垂足为O,
∴OA=OC,
∴△AOE≌△COF,
∴OE=OF,
∴四边形AFCE为平行四边形,
又∵EF⊥AC,
∴四边形AFCE为菱形,
②设菱形的边长AF=CF=xcm,则BF=(8﹣x)cm,
在Rt△ABF中,AB=4cm,
由勾股定理得42+(8﹣x)2=x2,
解得x=5,
∴AF=5cm.
(2)①显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上或P在BF,Q在CD时不构成平行四边形,也不能构成平行四边形.
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC=QA,
∵点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,
∴PC=5t,QA=12﹣4t,
∴5t=12﹣4t,
解得
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,
秒.
②由题意得,四边形APCQ是平行四边形时,点P、Q在互相平行的对应边上.
分三种情况:
i)如图1,当P点在AF上、Q点在CE上时,AP=CQ,即a=12﹣b,得a+b=12;
ii)如图2,当P点在BF上、Q点在DE上时,AQ=CP,即12﹣b=a,得a+b=12;
iii)如图3,当P点在AB上、Q点在CD上时,AP=CQ,即12﹣a=b,得a+b=12.
综上所述,a与b满足的数量关系式是a+b=12(ab≠0).
4、如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),点P是x轴上一动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ.当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B.
(1)求点B的坐标;
(2)求证:
当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,∠ABQ为定值;
(3)是否存在点P,使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形?
若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
解答:
(1)解:
过点B作BC⊥y轴于点C,
∵A(0,2),△AOB为等边三角形,
∴AB=OB=2,∠BAO=60°,
(2)证明:
当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,不失一般性,
∵∠PAQ=∠OAB=60°,
∴∠PAO=∠QAB,
在△APO和△AQB中,
∴△APO≌△AQB(SAS),
∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立,
∴当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,∠ABQ为定值90°;
(3)解:
由
(2)可知,点Q总在过点B且与AB垂直的直线上,可见AO与BQ不平行.
①当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,
此时,若AB∥OQ,四边形AOQB即是梯形,
当AB∥OQ时,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.
②当点P在x轴正半轴上时,点Q在B的上方,
此时,若AQ∥OB,四边形AOBQ即是梯形,
当AQ∥OB时,∠ABQ=90°,∠QAB=∠ABO=60°.
5.如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连接AE、AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
并证明你的结论.
解答:
解:
当点O运动到AC的中点(或OA=OC)时,四边形AECF是矩形.
证明:
∵CE平分∠BCA,
∴∠1=∠2,
又∵MN∥BC,
∴∠1=∠3,
∴∠3=∠2,
∴EO=CO,
同理,FO=CO,
∴EO=FO,
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵CF是∠BCA的外角平分线,
∴∠4=∠5,
又∵∠1=∠2,
∴∠1+∠5=∠2+∠4,
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,
∴∠2+∠4=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.
6.正方形ABCD中,点O是对角线DB的中点,点P是DB所在直线上的一个动点,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.
(1)当点P与点O重合时(如图①),猜测AP与EF的数量及位置关系,并证明你的结论;
(2)当点P在线段DB上(不与点D、O、B重合)时(如图②),探究
(1)中的结论是否成立?
若成立���写出证明过程;若不成立,请说明理由;
(3)当点P在DB的长延长线上时,请将图③补充完整,并判断
(1)中的结论是否成立?
若成立,直接写出结论;若不成立,请写出相应的结论.
解答:
解:
(1)AP=EF,AP⊥EF,理由如下:
连接AC,则AC必过点O,延长FO交AB于M;
∵OF⊥CD,OE⊥BC,且四边形ABCD是正方形,
∴四边形OECF是正方形,
∴OM=OF=OE=AM,
∵∠MAO=∠OFE=45°,∠AMO=∠EOF=90°,
∴△AMO≌△FOE(AAS),
∴AO=EF,且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°,即OC⊥EF,
故AP=EF,且AP⊥EF.
(2)题
(1)的结论仍然成立,理由如下:
延长AP交BC于N,延长FP交AB于M;
∵PM⊥AB,PE⊥BC,∠MBE=90°,且∠MBP=∠EBP=45°,
∴四边形MBEP是正方形,
∴MP=PE,∠AMP=∠FPE=90°;
又∵AB﹣BM=AM,BC﹣BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,
∴AM=PF,
∴△AMP≌△FPE(SAS),
∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PEF
∵∠PEF+∠PFE=90°,∠FPN=∠PEF,
∴∠FPN+∠PFE=90°,即AP⊥EF,
故AP=EF,且AP⊥EF.
(3)题
(1)
(2)的结论仍然成立;
如右图,延长AB交PF于H,证法与
(2)完全相同.
7、如图,一个直角三角形纸片的顶点A在∠MON的边OM上移动,移动过程中始终保持AB⊥ON于点B,AC⊥OM于点A.∠MON的角平分线OP分别交AB、AC于D、E两点.
(1)点A在移动的过程中,线段AD和AE有怎样的数量关系,并说明理由.
(2)点A在移动的过程中,若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称,判断并说明以A、D、F、E为顶点的四边形是怎样特殊的四边形?
(3)若∠MON=45°,猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系,只写出结果即可.不用证明.
解答:
解:
(1)AE=AD.
理由如下:
∵AB⊥ON,AC⊥OM,
∴∠AED=90°﹣∠MOP,∠ADE=∠ODB=90°﹣∠PON,
而∠MOP=∠NOP,
∴∠AED=∠ADE.
∴AD=AE.
(2)菱形.
理由:
连接DF、EF,
∵点F与点A关于直线OP对称,E、D在OP上,
∴AE=FE,AD=FD.
由
(1)得AE=AD,
∴AE=FE=AD=FD.
∴四边形ADFE是菱形;
(3)OC=AC+AD.
理由:
∵四边形ADFE是菱形,
∴∠AEO=∠FEO,
∵∠AOE=∠FOE,
∴∠EFO=∠EAO,
∵AC⊥OM,OP平分∠MON,AE=EF,
∴EF⊥OC,
∴∠EFO=90°,
∴AE=EF=AD,OA=OF,
∵∠MON=45°,
∴∠ACO=∠AOC=45°,
∴OA=AC,∠FEC=∠FCE,
∴EF=CF,
∴CF=AE,
∴OC=OF+FC=OA+AE=AC+AD.
8.如图,△ABC中,点P是边AC上的一个动点,过P作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:
PE=PF;
(2)当点P在边AC上运动时,四边形AECF可能是矩形吗?
说明理由;
(3)若在AC边上存在点P,使四边形AECF是正方形,且
.求此时∠BAC的大小.
解答:
(1)证明:
∵CE平分∠BCA,
∴∠BCE=∠ECP,
又∵MN∥BC,
∴∠BCE=∠CEP,
∴∠ECP=∠CEP,
∴PE=PC;
同理PF=PC,
∴PE=PF;
(2)解:
当点P运动到AC边中点时,四边形AECF是矩形.理由如下:
由
(1)可知PE=PF,
∵P是AC中点,
∴AP=PC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD,
且∠BCA+∠ACD=180°,
∴平行四边形AECF是矩形;
(3)解:
若四边形AECF是正方形,则AC⊥EF,AC=2AP.
∵EF∥BC,
∴AC⊥BC,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴∠BAC=30°.
9.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6,BC=8,,点M是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM返回;点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P,Q的运动过程中,以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧.点P,Q同时出发,当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止.设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出y与t之间的函数关系式(不必写t的取值范围);
(2)当BP=1时,求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积;
(3)随着时间t的变化,线段AD会有一部分被△EPQ覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答:
该最大值能否持续一个时段?
若能,直接写出t的取值范围;若不能,请说明理由.
解答:
解:
(1)y=MP+MQ=2t;
(2)当BP=1时,有两种情形:
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ,其面积为.
②若点P从点B向点M运动,由题意得t=5.
PQ=BM+MQ﹣BP=8,PC=7.
设PE与AD交于点F,QE与AD或AD的延长线交于点G,
过点P作PH⊥AD于点H,
则HP=
.
在Rt△HPF中,∠HPF=30°,
∴HF=3,PF=6.∴FG=FE=2.又∵FD=2,
∴点G与点D重合,如图2.
此时△EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG,其面积为
(3)能,
此时,4≤t≤5.
过程如下:
如图,当t=4时,P点与B点重合,Q点运动到C点,
此时被覆盖线段的长度达到最大值,
∵△PEQ为等边三角形,
∴∠EPC=60°,
∴∠APE=30°,
∵
∴AF=3,BF=6,
∴EF=FG=2,
∴GD=6﹣2﹣3=1,
所以Q向右还可运动1秒,FG的长度不变,
∴4≤t≤5.
10.(正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点,过点P作PF⊥CD于点F.如图1,当点P与点O重合时,显然有DF=CF.
(1)如图2,若点P在线段AO上(不与点A、O重合),PE⊥PB且PE交CD于点E.
①求证:
DF=EF;
②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系,并证明你的结论;
(2)若点P在线段OC上(不与点O、C重合),PE⊥PB且PE交直线CD于点E.请完成图3并判断
(1)中的结论①、②是否分别成立?
若不成立,写出相应的结论.(所写结论均不必证明)
解答:
解:
(1)如图2,延长FP交AB于点Q,
①∵AC是正方形ABCD对角线,
∴∠QAP=∠APQ=45°,
∴AQ=PQ,
∵AB=QF,
∴BQ=PF,
∵PE⊥PB,
∴∠QPB+∠FPE=90°,
∵∠QBP+∠QPB=90°,
∴∠QBP=∠FPE,
∵∠BQP=∠PFE=90°,
∴△BQP≌△PFE,
∴QP=EF,
∵AQ=DF,
∴DF=EF;
②如图2,过点P作PG⊥AD.
∵PF⊥CD,∠PCF=∠PAG=45°,
∴△PCF和△PAG均为等腰直角三角形,
∵四边形DFPG为矩形,
(2)结论①仍成立;结论②不成立,此时②中三条线段的数量关系是PA﹣PC=CE.
如图3:
①∵PB⊥PE,BC⊥CE,
∴B、P、C、E四点共圆,
∴∠PEC=∠PBC,
在△PBC和△PDC中有:
BC=DC(已知),∠PCB=∠PCD=45°(已证),PC边公共边,
∴△PBC≌△PDC(SAS),
∴∠PBC=∠PDC,
∴∠PEC=∠PDC,
∵PF⊥DE,
∴DF=EF;
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