但a<b可转换为b>a,c≥d可转换为d≤c。
例3.对于不等式x+2<6,字母x表示未知数,当x取某一个数值a(例如3)时,x+2的值小于6,我们就说当x=a时,不等式x+2<6成立,当x取某一个数值b(例如5)时,x+2的值不小于6,我们就说当x=b时,不等式x+2<6不成立,说明当x取下列数值时,不等式2x+1<5是否成立?
-1,0,3,-2.5,+4,-4,4.5
提示:
把下列各值分别代入不等式的左边计算2x+1的值,若小于5则不等式成立;若不小于5则不等式不成立。
参考答案:
当x=-1,0,-2.5,-4时,不等式2x+1<5成立。
说明:
因为当x=1,0,-2.5,-4时,不等式2x+1<5成立,当x=2,+4,4.5时,不等式2x+1<5
不成立,所以同方程类似,我们可以说-1,0,-2.5-4是不等式2x+1<5的解,而2,+4,4.5不是不等式2x+1<5的解。
例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。
(1)由2a>5,得a>
(2)由a-7>,得a>7
(3)由-a>0,得a<0(4)由3a>2a-1,得a>-1。
例5.设a>b;用">"或"<"号填空:
(1)
(2)a-5b-5(3)-a-b
(4)6a6b(5)-(6)-a-b
参考答案:
(1)>
(2)>(3)<(4)>(5)<(6)<例5.试比较下列两个代数式值的大小:
(1)5a+2与4a+2
(2)x3+3x2-7与x3+2x2-7
提示:
我们知道,若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b,所以要比较a与b的大小,可以先求出a与b的差,再看这个差是正数、负数还是零。
参考答案:
(1)(5a+2)-(4a+2)=5a+2-4a-2=a
∵a可取正数,负数或零,∴5a+2和4a+2间的大小关系有三种可能:
①当a>0时,5a+2>4a+2②当a=0时,5a+2=4a+2
③当a<0时,5a+2<4a+2。
(2)(x3+3x2-7)-(x3+2x2-7)=x3+3x2-2x2+7=x2∵x2≥0(对任意x)∴x3+3x2-7≥x3+2x2-7
例6.已知二数a>2,b>2,试比较a+b与ab的大小。
提示:
此题可用作商比较法来比较a+b与ab的大小。
参考答案:
a+b<ab。
说明:
∵a>b,b>2∴ab>0且
∵
又ab>0∴a+b<ab。
课内练习:
1.
(1)用“>”号或“<”号填空,并简说理由。
①6+2-3+2;②6×(-2)-3×(-2);
③6÷2-3÷2;④6÷(-2)-3÷(-2)
(2)如果a>b,则
2.利用不等式的基本性质,填“>”或“<”:
(1)若a>b,则2a+12b+1;
(2)若<10,则y-8;
(3)若a<b,且c>0,则ac+cbc+c;
(4)若a>0,b<0,c<0,(a-b)c0。
3.按照下列条件,写出仍能成立的不等式,并说明根据。
(1)a>b两边都加上-4;
(2)-3a<b两边都除以-3;
(3)a≥3b两边都乘以2;(4)a≤2b两边都加上c;
4.根据不等式的性质,把下列不等式化为x>a或x<a的形式(a为常数):
5.比较下列各题两式的大小:
6.【探索与创新】
(1)用适当的符号填空
①∣3∣+∣4∣∣3+4∣;②∣3∣+∣-4∣3+(-4)∣;
③∣-3∣+∣4∣∣-3+4∣;④∣-3∣+∣-4∣∣-3+(-4)∣;
⑤∣0∣+∣4∣∣0+4∣;
(2)观察后你能比较∣a∣+∣b∣和∣a+b∣的大小吗?
课后习题:
1.当x取何值时,不等式3x<5x+1成立()
A.-B.-1C.0D.-3.5
2.下列不等式的变形中,正确的是()
A.若2x<-3,则x<-,B.若-x<0,则x>0C.若-,则x>y。
D.若-,则x<-6
3.若关于x的不等式ax>b(a≠0),有x<,那么a一定是()
A.正数B.负数C.非正数D.任何数4.若a>b且a≠0,b≠0,则()
A.B.C.a>b>0时,b<a<0时,,
D.ab同号时,,a、b异号时,
5.已知a>b,用“>”或“<”号填空.
(1)a-2b-2;
(2)3a3b;(3)1a
4
1b;
4
(4)-2a-2b;(5)-10a-10b;(6)ac2bc2.
33
6.
(A)a≥0
(B)a≤0
(C)a>0
(D)a<0
7.若m<n,则下列各式中正确的是
(
).
(A)m-3>n-3
(C)-3m>-3n
(B)3m>3n
(D)m-1>n-1
8.下列各题中,结论正确的是
(
).
若x>y,则ax>ay,那么a一定为().
33
(A)若a>0,bb
(B)
若a>b,则a-b>0
<0,则>0
a
(C)若a<0,b<0,则ab<0(D)若a>b,ab
<0,则<0
a
9.下列变形不正确的是().
(A)若a>b,则b<a(B)若-a>-b,则b>a
(C)由-2x>a,得x>-1a
2
(D)
由1x>-y,得x>-2y
2
10.下列不等式一定能成立的是().
(A)a+c>a-c(B)a2+c>c(C)a>-a(D)a<a
10
11、在下列空格中填上不等号,并注明理由:
(1)若5+x>8,则x3,根据是。
(2)若6x>3,则x,根据是。
(3)若>1,则x-3,根据是。
(4)若x>y,则--,根据是。
12、如果a<b,用"<"或">"填空。
(1)a-1b-1
(2)-2a-2b(3)(4)1-a1-b13、若-,则c0(填">"或"<"号)
14、列出表示下列各数量关系的不等式:
(1)m的2倍与3的和大于7;
(2)x的与4的差是负数;
(3)a的一半与b的3倍的和不大于1;
(4)y的立方是非负数。
15.将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式:
(1)x-17<-5;
(2)-1x>-3;
2
(3)7-2x>11;(4)1x+3>-4x-3.
355
16.a一定大于-a吗?
为什么?
17.已知将不等式mx>m的两边都除以m,得x<1,则m应满足什么条件?
18.设a>b,用“>”或“<”号填空:
(1)a+3b+3;
(2)5a5b;
(5)mamb(m≠0).
30分钟检测
一、选择题(每题4分,共32分)
1、如果m<n<0,那么下列结论中错误的是()
A、m-9<n-9B、-m>-nC、1>1
nm
2、若a-b<0,则下列各式中一定正确的是()
A、a>bB、ab>0C、a<0
b
D、m>1
n
D、-a>-b
b
3、由不等式ax>b可以推出x<,那么a的取值范围是()
a
A、a≤0B、a<0C、a≥0D、a>04、如果t>0,那么a+t与a的大小关系是()
A、a+t>aB、a+t<aC、a+t≥aD、不能确定
5、如果a<
-3
a,则a必须满足()
-4
A、a≠0B、a<0C、a>0D、a为任意数
6、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则下列式子正确的是()
cb0a
A、cb>abB、ac>abC、cb<abD、c+b>a+b7、有下列说法:
(1)若a<b,则-a>-b;
(2)若xy<0,则x<0,y<0;
(3)若x<0,y<0,则xy<0;(4)若a<b,则2a<a+b;
(5)若a<b,则1>1;(6)若1-x<1-y,则x>y。
ab22
其中正确的说法有()
A、2个B、3个C、4个D、5个8、2a与3a的大小关系()
A、2a<3aB、2a>3aC、2a=3aD、不能确定
二、填空题(每题4分,共32分)
9、若m<n,比较下列各式的大小:
(1)m-3
(4)3-m
n-3
(2)-5m2-n(5)0
-5n(3)-m
3
m-n(6)-3-2m4
-
n
3
-3-2n4
10、用“>”或“<”填空:
(1)如果x-2<3,那么x
1
5;
(2)如果-2
3
2
x<-1,那么x;
3
(3)如果x>-2,那么x-10;(4)如果-x>1,那么x-1;
5
(5)若ax>b,ac2<0
b
,则x.
a
11、x<y