全等三角形中档题.docx
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全等三角形中档题.docx
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全等三角形中档题
倍长中线(线段)造全等
1、已知:
如图,AD是aABC的中线,BE交
AC于E,交AD于F,且AE=EF,求证:
AC=BF
分析:
要求证的两条线段AC、BF不在两个全等的三角形中,因此证AC=BF困难,考虑能否通过辅助线把AC、BF转化到同一个三角形中,由AD是中线,常采用中线倍长法,故延长AD到G,使DG=AD,连BG,再通过全等三角形和等线段代换即可证出。
2、已知在aABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE=AC,延长BE交AC于F,求证:
AF=EF
4、在△ABC中AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是()
A、1 C、5 5、已知: AD、AE分别是4ABC和^ABD的 中线,且BA=BD,求证: AE=-AC 2 6、如图,^般中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证: AD平分NBAE. 7、已知CD=AB,ZBDA=ZBAD,AE^AABD的中线,求证: ZC=ZBAE ⑵请你判断BE+CF与EF的大小关系,并说明理由。 9、如图,AD为A43C的中线,DE平分ZBDA交AB于E,DF平分Z4OC交AC于F.求证: BE+CF>EF 方法1: 在DA上截取DG=BD,连结EG、FG证明ABDE/AGDEADCF^A DGF 所以BE=EG、CF=FG 利用三角形两边之和大于第三边 方法2: 倍长ED至H,连结CH、FH 证明FH=EF、CH=BE 利用三角形两边之和大于第三边 11、已知: 如图,在AABC中,A8WAC,D、E在BC上,且DE=EC,过D作。 尸〃氏4交AE于点F,DF=AC. 求证: AE平分N3AC 方法1: 倍长AE至G,连结DG 方法2: 倍长FE至H,连结CH 截长补短 7.9作业: 已知,四边形ABCD中,AB〃CD,N1=N2, Z3=Z4o求证: BC=AB+CDo 10、如图,ZiABC中,E、F分别在AB、AC上, DE±DF,D是中点,试比较BE+CF与即的大小. 1、如图,AD〃BC,点E在线段AB上,ZADE= NCDE,ZDCE=ZECB. 求证: CD=AD+BC. 证明: 在CD上截取CF二BC 在aFCE与4BCE中, CF=CB CE=CE /.△FCE^ABCE(SAS),AZ2=Z1. 又,••AD〃BGAZADC+ZBCD=180°,AZDCE+ZCDE=90°, AZ2+Z3=90°,Zl+Z4=90",: .Z3=Z4. 在4FDE与4ADE中, "FDE=ZADE DE=DE Z3=Z4 /•△FDE^AADE(ASA), .\DF=DA, VCD=DF+CF, .\CD=AD+BCe AAB=AE. 又AE=AC+CE=AC+DC,AAB=AC+DC. 方法二(截长法) AB上截取AF=AC,在4AFD与AACD中, AF=AC AD=AD8 AAAFD^AACD(SAS),ADF=DC,ZAFD=ZACD.又•••NACB=2NB, azfdb=zb, AFD=FB. VAB=AF+FB=AC+FD,.\AB=AC+CD. 2、已知: 如图,在aABC中,NC=2NB,Z1=Z2. 求证: AB=AC+CD. 证明: 方法一(补短法) 延长AC至ljE,使DC=CE,则NCDE=NCED,.\ZACB=2ZE, VZACB=2ZB, AZB=ZE, 在aABD与aAED中, Zl=Z2 ZB=ZE AD=AD AAABD^AAED(AAS), 4、如图,已知在AABC中,NB=60°,AABC 的角平分线AD,CE相交于点0,求证: 0E=0D 5、已知A45C中,ZA=60,BD、CE分别平分ZA3c和.ZAC3,BD、CE交于点o,试判断g、CD、8c的数量关系,并加以证明. 角平分线上的点向角两边引垂 线段 6、如图,已知在“IBC内,ZBAC=60(,, ZC=40°,P,Q分别在BC,CA上,并且 AP,BQ分别是N8AC,448c的角平分线。 求证: BQ+AQ=AB+BP 7、如图在aABC中,AB>AC,Z1=Z2,P为 AD上任意一点,求证;AB-AOPB-PC 8、如图,点M为正三角形的边4? 所在直线上的任意一点(点3除外),作NDMZV=60°,射线MN与/DBA外角的平分线交于点N,DW与MN有怎样的数量关系? 1、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,求证: ZBAD+ZC=180° 2、如图,四边形ABCD中,AC平分NBAD,CE_LAB于E,AD+AB=2AE,则NB与NADC 互补. 为什么? 3、如图4,在aABC中,BDXD,ZABD=ZACD,求证AD平分NBAC. 4、如图,在AABC中,ZABC=100<),ZACB=20°,CE平分NACB,D是AC上一点, 若NCBD=20。 ,求NADE的度数. 7・5作业: 已知,AB>AD,N1=N2,CD=BCO求证: NADC+NB=180。 0 连接法(构造全等三角形) 7.9作业: 已知: 如图所示,AB=AD,BC=DC, E、F分别是DC、BC的中点,求证: AE=AFO 1、如图,直线AD与BC相交于点O,且AC=BD,AD=BC.求证: CO=DO. 7・6作业: 如图,在△ABC中NABC,NACB的外角平分线交P.求证: AP是NBAC的角平分线 2、已知: 如图16,AB=AE,BC=ED,点F是CD的中点,AFXCD.求证: NB=NE. 3、如图11-30,已知AB=AE,NB=NE,BC=ED,点F是CD的中点.求证: AF_LCD. 7.6作业: 如图,NB=NC=90%AM平分NDAB.DM平分NADC求证: 点M为BC的中点 4、在正AABC内取一点。 ,使=在 外取一点E,使=且 BE=BA,求NBED. 2、已知: 如图所示,BD为NABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PMJ_AD于M,・PNLCD于N,判断PM与PN的关系. 交NBAC的平分线于E,证: BM=CN 5、如图所示, BD=DC,DE±BC,EM±AB,EN±AC,^ 全等+等腰性质 1、如图, =ZEAC, 在△ABE中,AB=AE,AD=AC,NBAD BC、DE交于点0. (2)OB=OE• 6、如图,在aABD和aACD中,AB=AC,B=ZC.求证: AABD^AACD. 求证: ⑴^ABC丝△AED; 2、.已知: 如图,B、E、F、线上,AB=DC,BE=CF,求证: OA=OD. C四点在同一条直ZB=ZC. 全等+角平分线性质 1、如图2LAD平分NBAC,DBLAB于E,DF1AC于F,且DB=DC,求证: EB=FC 两次全等 7・4作业: AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。 求证: BF=CF 1、如图,D、E、F、B在一条直线上AB=CD,Z B=ZD,BF=DE. 求证: (DAE=CF; (2)AE//CF (3)ZAFE=ZCEF 由BF=DF,得BE=DF AAABE^ACDF,AZB=ZD 再证△AOB丝△COD,得OA=OC,OB=OD即AC、BD互相平分 5、如图,在四边形ABCD中,AD〃BC,ZABC=90°DEJ_AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.求证: BG=FG 交AE于G. 2、如图: A、E、F、B四点在一条直线上,AC ±CE,BDXDF,AE=BF,AC=BD<> 求证: AACF^ABDE 直角三角形全等(余角性质) 作业: 如图,在等腰RtZkABC中,NC=90°,D是斜边上A3上任一点,AE2.CO于E,BF1XJD交CD的延长线于F,CHLAB于H点, 3、如图,在四边形A5CD中,E是AC上的一点,Z1=Z2,N3=N4,求证: N5=N6. 4、已知如图,E、F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF 求证: AC与BD互相平分 求证: BD=CG. 1、如图,将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线1上,且过A,B两点分别作直线1的垂线,垂足分别为D,E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程. A AP1 解: 全等三角形为: aacd^acbe. 证明如下: 由题意知NCAD+NACD=90。 , ZACD+ZBCE=90°, AZCAD=ZBCE. 在AACD与aCBE中, ZADC=ZCEB=900ZCAD=ZB AC=BC, AAACD^ACBE(AAS). 4、如图: BE±AC,CFXAB,BM=AC,CN=AB,求证: (1)AM=AN; (2)AMXANo BC S'作平行线 1、已知aABC,AB=AC,E、F分别为AB和AC延长线上的点,且BE=CF,EF交BC于G.求 2、如图,ZABC=90°,AB=BC,D为AC上一点,分别过A、C作BD的垂线,垂足分别为E、F卜? 、 求证: EF=CF-AE IA B 证△ABEdBCF,得BE=CF,AE=BF,.•.EF=BE-BF=CF-AE 3、在AA3C中,ZACB=90°,AC=BCt直线MN经过点C,且力。 _LMN于。 ,3石_1加7于七. (1)当直线“人『绕点。 旋转到图1的位置时, 求证: ①AADCg\CEB;② DE=AD+BE; (2)当直线MN绕点。 旋转到图2的位置时, (1)中的结论还成立吗? 若成立,请给出证明;证若不成立,说明理由. 图1图2, UE: EG=GF. % cF 2、如图,在aABC中,AB=AC,BD平分 ZABC,DE1.BD于D,交BC于点E. 求证: CD」BE 2 明: 过点D作DF〃AB交BC于点F. •;BD平分NABC,AZ1=Z2. VDF/7AB,・・・N1=N3,Z4=ZABC. /.Z2=Z3,.\DF=BF. VDE±BD,AZ2+ZDEF=90°,N3+N *H 中 5=90°. .\ZDEF=Z5.,DF=EF. VAB=AC,AZABC=ZC. AZ4=ZC,CD=DF. ACD=EF=BF,即CD」BE. 2、如图,aABC中,NBAC=90度,AB=AC,BD是NABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.求证: BD=2CE. 延长角平分线的垂线段 1、如图,在4ABC中,AD平分NBAC,CE_LAD于E. 求证: ZACE=ZB+ZECD. 3、如图: ZBAC=90°,CEXBE,AB=AC,BD是NABC的平分线,求证: BD=2EC 分析: 注意到AD平分NBAC,CE1AD,于是可延长CE交AB于点F,即可构造全等三角形. 证明: 延长CE交AB于点F. VAD平分NBAC,AZFAE=ZCAE. VCE1AD, : .ZFEA=ZCEA=90\ 在aFEA和4CEA中, ZFAE=ZCAE, AE=AE, ZFEA=ZCEA. AAFEA^ACEA. AZACE=ZAFE. VZAFE=ZB+ZECD,AZACE=ZB+ZECD. 4、已知,如图34,AABC中,ZABC=90°,AB=BC,AE是NA的平分线,CD_LAE于D. 求证: CD」AE. 2 面积法 例1如图1,在4ABC中,ZBAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC. 分析: 根据已知可知AD是NBAC的平分线,可通过点D作NBAC的垂线,根据角平分线的性质,结合三角形的面积进行证明. 证明: 过点D作DE_LAB,DF±AC,垂足分别为E、F. 因为DA为NBAC的平分线,所以DE=DF.又因为AD平分BC,所以BD=CD,所以Sazvbd=Saacd> XSaabi)=—AB•DE,Saacd=—AC•DF,22 所以AB•DE=AC•DF,所以AB=AC. 2、如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CMJ_AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系,并给予证明. 3、己知,AABC中,AB=AC,CD±AB,垂足为D,P是BC上任一点,PE±AB,PF1AC垂足分别为E、F,求证: ①PE+PF=CD. ②PE-PF=CD. 旋转型 1、如图,正方形ABCD的边长为1,G为CD边上一动点(点G与C、D不重合),以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于H。 求证: ①ABCG^ADCE ②BH1DE 2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一条直线上,连结DC. (1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明: 结论中不得含有未标识的字母); (2)证明: DC±BE. 5、如图所示,已知AE±AB,AFLAC,AE=AB,AF=ACo求证: (1)EC=BF; (2)EC±BF 6、正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求NEAF的度数. (2)如图8,AOAB固定不动,保持AOCD的形状和大小不变,将AOCD绕着点O旋转(△OAB和AOCD不能重叠),求NAEB的大小. AD±AC,AB=AE,ZB=ZE,求证: (1)BD=CE; (2)BD±CE. .证明: (1)AE±AB,AD±ACZBAE=ZCAD=>ZBAD=ZCAE.而AB=AE,ZB=ZE,•••△ABD丝△AEC.ABD=CE. (2)由△ABDgZkAEC知NB=NE. 而NAGB=NEGF,AZEFG=ZEAB=90",ABD±CE. 7、D为等腰用AA8C斜边AB的中点,DM± DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 ①当NA/DV绕点D转动时,求证DE=DF。 ②若AB=2,求四边形DECF的面积。 8、如图, A4BC是边长为3的等边三角 形,ABOC是等腰三角形,且N8OC=120", 以D为顶点做一个60°角,使其两边分别交AB 于点M,交AC于点N,连接MN,求ALW/V的周长。 9、五边形ABCDE中,ABXE,BgDFCD,NAB仔NASA180。 求证: AD,分£CDE 10、如图,已知AB=CD=AE=BC+DE=2,N ABC=ZAED=90°,求五边形ABCDE的面积
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