中考数学圆综合题含答案解析doc.docx
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中考数学圆综合题含答案解析doc
2019-2020年中考数学:
圆的综合题(含答案解析)
针对演练
1.如图,AB是⊙O的弦,AB=4,过圆心O的直线垂直AB于
1
点D,交⊙O于点C和点E,连接AC、BC、OB,cos∠ACB=3,延
长OE到点F,使EF=2OE.
(1)求证:
∠BOE=∠ACB;
(2)求⊙O的半径;
(3)求证:
BF是⊙O的切线.
第1题图
2.如图,AB为⊙O的直径,点C为圆外一点,连接AC、BC,
分别与⊙O相交于点D、点E,且ADDE,过点D作DF⊥BC于
点F,连接BD、DE、AE.
(1)求证:
DF是⊙O的切线;
(2)试判断△DEC的形状,并说明理由;
(3)若⊙O的半径为5,AC=12,求sin∠EAB的值.
第2题图
3.(2016长沙9分)如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC
为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为
CE的中点,连接DB,DC,DF.
(1)求∠CDE的度数;
(2)求证:
DF是⊙O的切线;
(3)若AC=25DE,求tan∠ABD的值.
第3题图
4.(2016德州10分)如图,⊙O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC
交⊙O于点E,交BC于点D,过点E作直线l∥BC.
(1)判断直线l与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:
BE=EF;
(3)在
(2)的条件下,若DE=4,DF=3,求AF的长.
第4题图
5.(2015永州)如图,已知△ABC内接于⊙O,且AB=AC,直径
AD交BC于点E,F是OE上的一点,使CF∥BD.
(1)求证:
BE=CE;
(2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;
(3)若BC=8,AD=10,求CD的长.
第5题图
6.(2015省卷24,9分)⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,过BC
的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D,连接AG,CP,PB.
(1)如图①,若D是线段OP的中点,求∠BAC的度数;
(2)如图②,在DG上取一点K,使DK=DP,连接CK,求证:
四边形AGKC是平行四边形;
(3)如图③,取CP的中点E,连接ED并延长ED交AB于点H,
连接PH,求证:
PH⊥AB.
第6题图
7.(2017原创)如图,AB切⊙O于点B,AD交⊙O于点C和点
D,点E为DC的中点,连接OE交CD于点F,连接BE交CD于点
G.
(1)求证:
AB=AG;
(2)若DG=DE,求证:
GB2=GC·GA;
3
(3)在
(2)的条件下,若tanD=4,EG=10,求⊙O的半径.
第7题图
8.(2015达州)在△ABC的外接圆⊙O中,△ABC的外角平分线
CD
交⊙
O
于点
,为AD上一点,且AF
BC,连接DF,并延长
DF
DF交BA的延长线于点E.
(1)判断DB与DA的数量关系,并说明理由;
(2)求证:
△BCD≌△AFD;
(3)若∠ACM=120°,⊙O的半径为5,DC=6,求DE的长.
第8题图
9.如图,AB为⊙O的直径,P是BA延长线上一点,PC切⊙O
于点C,CG是⊙O的弦,CG⊥AB,垂足为点D.
(1)求证:
△ACD∽△ABC;
(2)求证:
∠PCA=∠ABC;
(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E,交CG于点F,连接BE,
3
若sinP=5,CF=5,求BE的长.
第9题图
10.(2016大庆9分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为
直径的⊙O交斜边AB于点M,若H是AC的中点,连接MH.
(1)
求证:
MH为⊙O的切线;
(2)
若MH=3,tan∠ABC=3,求⊙O的半径;
2
4
(3)
在
(2)的条件下分别过点
A、B作⊙O的切线,两切线交于点D,
AD与⊙O相切于N点,过N点作NQ⊥BC,垂足为E,且交⊙O于Q点,求线段NQ的长度.
第10题图
11.如图,△ABC为⊙O的内接三角形,P为BC延长线上一点,
∠PAC=∠B,AD为⊙O的直径,过C作CG⊥AD交AD于E,交
AB于F,交⊙O于G.
(1)判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)求证:
AG2=AF·AB;
(3)若⊙O的直径为10,AC=25,AB=45,求△AFG的面积.
第11题图
12.(2016鄂州10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AO是
△ABC的角平分线,以O为圆心,OC为半径作⊙O.
(1)求证:
AB是⊙O的切线;
1
(2)已知AO交⊙O于点E,延长AO交⊙O于点D,tanD=2,求
AE
AC的值;
(3)在
(2)的条件下,设⊙O的半径为3,求AB的长.
第12题图
【答案】
1.
(1)证明:
如解图,连接OA,
第1题解图
∵CE⊥AB,
∴AD=BD=2,AEBE,
∴∠ACE=∠BCE,∠AOE=∠BOE,
又∵∠AOB=2∠ACB,
∴∠BOE=∠ACB;
1
(2)解:
∵cos∠ACB=3,
1
∴cos∠BOD=3,
在Rt△BOD中,设OD=x,则OB=3x,∵OD2+BD2=OB2,
2
∴x2+22
=(3x)2,解得x=2,
32
∴OB=3x=2,
32
即⊙O的半径为2;
(3)证明:
∵FE=2OE,
92
∴OF=3OE=2,
OB1
∴OF=3,
OD1
∵OB=3,
OBOD
∴OF=OB,
∵∠BOF=∠DOB,
∴△OBF∽△ODB,
∴∠OBF=∠ODB=90°,即OB⊥BF,
∵OB是⊙O的半径,∴BF是⊙O的切线.
2.
(1)证明:
如解图,连接DO,交AE于点G,则DO=BO,
第2题解图
∴∠ABD=∠ODB,
∵ADDE,
∴∠ABD=∠EBD,∴∠ODB=∠EBD,∴DO∥BC,
∴∠ODF=∠CFD,
∵DF⊥BC,
∴∠CFD=90°,
∴∠ODF=90°,即OD⊥DF,
又∵OD为⊙O的半径,∴DF是⊙O的切线;
(2)解:
△DEC是等腰三角形,理由如下:
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠CDB=90°,
又∵BD=BD,∠ABD=∠EBD,∴△ABD≌△CBD(ASA),
∴AD=CD.
∵ADDE,
∴AD=DE,
∴CD=DE,
∴△DEC是等腰三角形;
1
(3)解:
由
(2)可知AD=2AC=6,
∵ADDE,
∴OD⊥AE,∠ABD=∠DAE,
DG
∴sin∠DAE=AD.
AD6
在Rt△ADB中,sin∠ABD=AB=10,
DG6
∴6=10,
∴DG=3.6,
∴OG=OD-DG=1.4,
OG1.47
∴在Rt△AGO中,sin∠EAB=OA=5=25.
3.
(1)解:
∵AC为⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠CDE=90°;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(2分)
第3题解图
(2)证明:
如解图,连接OD,
∵∠CDE=90°,F为CE中点,
1
∴DF=2CE=CF,
∴∠FDC=∠FCD.
又∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠FCD,
∴∠ODF=∠OCF,
∵EC⊥AC,
∴∠OCF=90°,
∴∠ODF=90°,即OD⊥DF,
又∵OD为⊙O的半径,
∴DF为⊙O的切线;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)
(3)解:
在△ACD与△ECA中,
∵∠ADC=∠ACE=90°,∠EAC=∠CAD,
∴△ACD∽△AEC,
ACAD
∴=
AEAC
∴AC2=AD·AE,
又∵AC=25DE,
2
∴20DE=(AE-DE)·AE
∴AD=4DE,
∵在Rt△ACD中,AC2=AD2+CD2,
∴CD=2DE,
又∵在⊙O中,∠ABD=∠ACD,
AD
∴tan∠ABD=tan∠ACD=CD=2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9分)
4.
(1)解:
直线l与⊙O相切.理由如下:
如解图,连接OE、OB、OC.
第4题解图
∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE,
∴BECE,
∴∠BOE=∠COE,
又∵OB=OC,
∴OE⊥BC,
∵l∥BC,
∴OE⊥l,
又∵OE为⊙O的半径,
∴直线l与⊙O相切;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分)
(2)证明:
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF,
又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,
∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.
又∵∠EBF=∠CBE+∠CBF,∠EFB=∠BAE+∠ABF,
∴∠EBF=∠EFB,
∴BE=EF;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(6分)
(3)解:
∵BE=EF,DE=4,DF=3,
∴BE=EF=DE+DF=7,
∵BECE,
∴∠DBE=∠BAE,
∵∠DEB=∠BEA,
∴△BED∽△AEB,
DEBE
4
7
∴BE=AE,即
7=AE,
49
解得AE=4,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(9分)
49
21
∴AF=AE-EF=
4-7=
4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(10分)
5.
(1)证明:
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=∠ACD=90°,
在Rt△ABD和Rt△ACD中,
AB=AC
,
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),∴∠BAD=∠CAD,
∵AB=AC,
∴AD垂直平分BC,
∴BE=CE;
(2)解:
四边形BFCD是菱形.理由如下:
∵AD是⊙O的直径,AB=AC,
∴AD⊥BC,BE=CE,
∵CF∥BD,
∴∠FCE=∠DBE,
在△BED和△CEF中,
∠DBE=∠FCE
BE=CE,
∠BED=∠CEF=90°
∴△BED≌△CEF(ASA),
∴BD=CF,
∴四边形BFCD是平行四边形,
∵∠BAD=∠CAD,
∴BD=CD,
∴四边形BFCD是菱形;
(3)解:
∵AD是⊙O的直径,AD⊥BC,BE=CE,
∴∠ECD=∠CAE,
∵∠AEC=∠DEC=90°,
∴Rt△CDE∽Rt△ACE,
DECE
∴CE=AE,
∴CE2=DE·AE,
设DE=x,则AE=AD-DE=10-x,
∵BC=8,
1
∴CE=2BC=4,
∴42=x(10-x),解得x=2或x=8(舍去),
在Rt△CED中,
CD=CE2+DE2=42+22=25.
6.
(1)解:
∵点P为BC的中点,PG为⊙O的直径,
∴BP=PC,PG⊥BC,CD=BD,
∴∠ODB=90°,∵D为OP的中点,
11
∴OD=2OP=2OB,
∴∠OBD=30°,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠BAC=60°;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分)
(2)证明:
由
(1)知,CD=BD,
在△PDB和△KDC中,
BD=CD
∠BDP=∠CDK,
DP=DK
∴△PDB≌△KDC(SAS),
∴BP=CK,∠BPO=∠CKD,∵∠AOG=∠BOP,
∴AG=BP,
∴AG=CK,
∵OP=OB,
∴∠OBP=∠BPO,
又∵∠G=∠OBP,
∴∠G=∠BPO=∠CKD,
∴AG∥CK,
∴四边形AGKC是平行四边形;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(6分)
(3)证明:
∵CE=PE,CD=BD,
∴DE∥PB,即DH∥PB,
∵∠G=∠BPO,
∴PB∥AG,∴DH∥AG,
∴∠OAG=∠OHD,∠G=∠ODH.
∵OA=OG,∴∠OAG=∠G,∴∠ODH=∠OHD,∴OD=OH,
在△OBD和△OPH中,
OD=OH
∠DOB=∠HOP,
OB=OP
∴△OBD≌△OPH(SAS),
∴∠OHP=∠ODB=90°,
∴PH⊥AB.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9分)
7.
(1)证明:
如解图,连接OB,
第7题解图
∵AB为⊙O的切线,∴OB⊥AB,
∴∠ABG+∠OBG=90°,
∵点E为DC的中点,
∴OE⊥CD,
∴∠OEG+∠FGE=90°,
又∵OB=OE,
∴∠OBG=∠OEG,
∴∠ABG=∠FGE,
∵∠BGA=∠FGE,
∴∠ABG=∠BGA,
∴AB=AG;
(2)证明:
如解图,连接BC,
∵DG=DE,
∴∠DGE=∠DEG,
由
(1)得∠ABG=∠BGA,
又∵∠BGA=∠DGE,∴∠A=∠GDE,
∵∠GBC=∠GDE,
∴∠GBC=∠A,
∵∠BGC=∠AGB,∴△GBC∽△GAB,
GBGC
∴GA=GB,
∴GB2=GC·GA;
(3)解:
如解图,连接OD,
EF3
∵在Rt△DEF中,tan∠EDF=DF=4,
∴设EF=3x,则DF=4x,由勾股定理得DE=5x,
∵DG=DE,∴DG=5x,
∴GF=DG-DF=x.
在Rt△EFG中,由勾股定理得GF2+EF2=EG2,
即x2+(3x)2=(10)2,解得x=1,
设⊙O半径为r,在Rt△ODF中,OD=r,OF=r-3,DF=4,由勾股定理得OF2+FD2=OD2,即(r-3)2+42=r2,
25
解得r=6,
25
∴⊙O的半径为6.
8.
(1)解:
DB=DA.
理由如下:
∵CD平分∠ACM,
∴∠MCD=∠ACD,
∵∠ACD和∠ABD都是AD所对的圆周角,
∴∠ACD=∠ABD,
∴∠MCD=∠ABD,
又∵∠MCD=∠BAD,
∴∠BAD=∠ABD,
∴DB=DA;
(2)证明:
如解图,连接AF,
第8题解图
∵AD=BD,
∴ADBD,∵AFBC,
∴DFCD,
∴AF=BC,DF=DC,
在△BCD和△AFD中,
BD=AD
BC=AF,
DC=DF
∴△BCD≌△AFD(SSS);
(3)解:
∵∠ACM=120°,
∴∠MCD=∠ACD=60°,
∴∠ABD=∠BAD=∠BDA=60°,
∴△ABD是等边三角形,
如解图,连接DO并延长与AB交于点G,则∠ADO=30°,
过点O作OH⊥AD于点H,则AD=2DH=2OD·cos30°=53,
∵∠ADF+∠DAF=∠AFE=∠ACD=60°,∠ADE+∠E=
∠BAD=60°,
∴∠DAF=∠E,
∵∠ADF=∠EDA,
∴△ADF∽△EDA,
DADF
∴DE=DA,
DA2
∴DE=DF,
∵DF=DC=6,DA=53,
25
∴DE=2.
9.
(1)证明:
∵AB是⊙O直径,
∴∠ACB=90°,
∵CG⊥AB,
∴∠ADC=∠ACB=90°,
∵∠CAD=∠BAC,
∴△ACD∽△ABC;
(2)证明:
如解图,连接OC.
第9题解图
∵PC切⊙O于点C,
∴OC⊥PC,
∴∠PCO=90°,
∴∠PCA+∠OCA=90°,∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠OAC=90°,
∵OC=OA,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠PCA=∠ABC;
(3)解:
∵AE∥PC,
∴∠PCA=∠CAF,
∵AB⊥CG,
∴ACAG,
∴∠ABC=∠ACF,∵∠PCA=∠ABC,∴∠CAF=∠ABC,∴∠ACF=∠CAF,
∴FA=FC,
∵CF=5,
∴AF=5,
∵AE∥PC,
∴∠FAD=∠P,
3
∵sinP=5,
3
∴sin∠FAD=5,
∴FD=3,AD=4,CD=8,
在Rt△COD中,设CO=r,则有r2=(r-4)2+82,
∴r=10,
∴AB=2r=20,
∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,
3
∴sin∠EAB=5,
BE3
∴AB=5,
BE3
∴20=5,
∴BE=12.
10.
(1)证明:
如解图①,连接OM、CM,
第10题解图①
∵BC为⊙O的直径,∴∠AMC=∠BMC=90°,
∵H是AC的中点,
1
∴HC=HM=2AC,
∴∠HMC=∠HCM,
∵OM=OC,
∴∠OMC=∠OCM,
∴∠OMH=∠OCH,
∵∠ACB=90°=∠OCH,
∴∠OMH=90°,即OM⊥MH,
又∵OM为⊙O的半径,
∴MH为⊙O的切线;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(3分)
3
(2)解:
∵MH=2,
∴AC=2MH=3,
在Rt△ABC中,tan∠ABC=AC=3,
BC4
∴BC=4,
故⊙O的半径为2;⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
(5分)
(3)解:
如解图②,过点D作DP⊥AC于点P,连接ON,
第10题解图②
则DP=BC=4,BD=PC,
设DB=DN=x,则AP=3-x,∵AN=AC=3,
∴AD=x+3.
在Rt△ADP中,由勾股定理得,
(x+3)2-(3-x)2=42,
4
解得x=3,
413
∴DN=BD=3,AD=3,
∵QN⊥BC,AC⊥BC,BD⊥BC,
∴AC∥NQ∥DB,
4
DNBE3BE
∴=,即=,
ADBC134
3
16
∴BE=13,
10
∴OE=OB-BE=13,
∴EN=ON2-OE2=2413,
48
∴NQ=2EN=13.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(9分)
11.
(1)解:
直线PA与⊙O相切.理由如下:
∵AD为⊙O的直径,CG⊥AD,∴AD垂直且平分CG,
∴AC=AG,
∴∠ACG=∠AGC,
∵∠AGC=∠B,∠PAC=∠B,
∴∠PAC=∠ACG,∴PA∥CG,
∵CG⊥AD,
∴PA⊥AD,
又∵AD为⊙O的直径
∴直线PA是⊙O的切线;
【一题多解】如解图①,连接DC,
第11题解图①
则∠B=∠ADC,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴∠ADC+∠DAC=90°.
又∵∠PAC=∠B,
∴∠ADC=∠PAC,
∴∠PAC+∠DAC=90°,即DA⊥PA,
∴PA是
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