线性代数 第五章.docx
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线性代数第五章
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线性代数第五章
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第五章特征值与二次型
§1向量的内积
在空间几何中,内积描述了向量的度量性质,如长度、夹角等.由内积的定义:
,可得
且在直角坐标系中
将上述三维向量的内积概念自然地推广到n维向量上,就有如下定义。
定义1设有n维向量
,,
称为与的内积.
内积是向量的一种运算,用矩阵形式可表为.
例1计算,其中x,y如下:
(1)x=(0,1,5,-2),y=(-2,0,-1,3);
(2)x=(-2,1,0,3),y=(3,-6,8,4).
解
(1)[x,y]=0·(-2)+1·0+5·(-1)+(-2)·3=-11;
(2)[x,y]=(-2)·3+1·(-6)+0·8+3·4=0.
若x、y、z为n维实向量,λ为实数,则下列性质从内积的定义可立刻推得.
(i)[x,y]=[y,x],
(ii)[λx,y]=λ[x,y],
(iii)[x+y,z]=[x,z]+[y,z].
同三维向量空间一样,可用内积定义n维向量的长度和夹角.
定义2称为向量x的长度(或范数),当‖x‖=1时称x为单位向量.
从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质:
(i)非负性:
当x≠0时,‖x‖>0,当x=0时‖x‖=0.
(ii)齐次性:
‖λx‖=|λ|‖x‖.
(iii)三角不等式:
‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖.
(iv)柯西-许瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式:
[x,y]2≤‖x‖2‖y‖2.
由柯西-许瓦茨不等式可得
≤1(‖x‖·‖y‖≠0).
于是我们定义,当‖x‖≠0,‖y‖≠0时,称
为x与y的夹角.当[x,y]=0时,称x与y正交.
显然,n维零向量与任意n维向量正交.
称一组两两正交的非零向量组为正交向量组.
定理1若n维非零向量为正交向量组,则它们为线性无关向量组.
证设有使,分别用与上式两端作内积(k=1,2,…,r),即得
因,故,从而,于是线性无关.
在研究向量空间的问题时,常采用正交向量组作为向量空间的一组基,以便使问题得到简化,那么n维向量空间的正交基(基中向量两两正交)是否存在呢?
定理2若是正交向量组,且r<n,则必存在n维非零向量x,使,x也为正交向量组.
证x应满足,即
记
则,故齐次线性方程组Ax=0必有非零解,此非零解即为所求.
推论个()两两正交的n维非零向量总可以扩充成Rn的一个正交基.
例2已知=(1,1,1)′,=(1,-2,1)′正交,试求一个非零向量,使两两正交.
解解方程组
得基础解系为,取=,则即为所求.
定义3设n维向量是向量空间的一个基,如果两两正交,且都是单位向量,则称之为V的一个正交规范基(标准正交基).
若是V的一个正交规范基,则V中任一向量可由惟一线性表示,设为
则由
,
得惟一确定,i=1,2,…,r.
下面介绍将向量空间的任一基转换为一正交规范基的Schmidt正交化方法,其具体步骤如下:
取
容易验证两两正交,非零.然后将它们单位化,即令
则就是V的一个正交规范基.
例3已知=(1,-1,0)′、=(1,0,1)′,=(1,-1,1)′是R3的一个基,试用施密特正交化方法,构造R3的一个正交规范基.
解取
再将单位化,即得R3的一个正交规范基
定义4如果n阶方阵满足A′A=E(即A-1=A′),就称A为正交矩阵.
用A的列向量表示,即是
亦即
由此得到n2个关系式
这说明,方阵A为正交矩阵的充分必要条件是:
A的列向量组构成Rn的正交规范基,注意到A′A=E=AA′,所以上述结论对A的行向量组也成立.
例4验证矩阵
是正交矩阵.
解A的每个列向量都是单位向量且两两正交,故A是正交矩阵.
由正交矩阵定义,不难得到下列性质.
(i)若A是正交矩阵,则|A|2=1.
(ii)若A是正交矩阵,则A′,A-1也是正交矩阵.
(iii)若A,B是n阶正交矩阵,则AB也是正交矩阵.
定义5若T是正交矩阵,则线性变换y=Tx称为正交变换.
设y=Tx是正交变换,则有
这表明,经正交变换向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性之一.其实正交变换相当于反射和旋转的叠合,例如
为正交矩阵,正交变换y=Tx相当于旋转θ角,再关于纵轴对称反射.
§2方阵的特征值和特征向量
工程技术中振动问题和稳定性,往往归结为一个方阵的特征值和特征向量的问题,特征值、特征向量的概念,不仅在理论上很重要,而且可以直接用来解决实际问题.
定义6设A为n阶方阵,若存在数λ和非零n维向量x,使得
Ax=λx,(5.1)
则称λ为矩阵A的特征值,称x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量.
(5.1)式也可写成
(A-λE)x=0.(5.2)
(5.2)式的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
|A-λE|=0.(5.3)
(5.3)式的左端为λ的n次多项式,因此A的特征值就是该多项式的根.记f(λ)=|A-λE|,称为A的特征多项式,则矩阵A的特征值即为其特征多项式的根.方程(5.3)称为A的特征方程,特征方程在复数范围内恒有解.其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此n阶方阵A有n个特征值.
设λ=λi为其中的一个特征值,则由方程
(A-λiE)x=0
可求得非零解x=pi,那么pi便是A的对应于特征值λi的特征向量(若λi为实数,则pi可取实向量,若λi为复数,则pi为复向量.)
例5求的特征值和特征向量.
解A的特征方程为
所以A的特征值为
当时,由
可得x1=x2,所以对应的特征向量可取为
;
当λ2=4时,由
即
解得x1=-x2,所以对应的特征向量可取为
显然,若pi是对应于特征值λi的特征向量,则kpi(k≠0)也是对应于λi的特征向量,所以特征向量不能由特征值惟一确定,反之,不同的特征值所对应的特征向量绝不会相等,也即一个特征向量只能属于一个特征值.
例6求矩阵
的特征值和特征向量.
解A的特征多项式为
所以A的特征值为λ1=2,λ2=λ3=1.
当λ1=2时,则方程(A-2E)x=0,由
得基础解系
所以kp1(k≠0)是对应于λ1=2的全部特征向量.
当λ2=λ3=1时,解方程(A-E)x=0,由
得基础解系
所以kp2(k≠0)是对应于λ2=λ3=1的全部特征向量.
从上述例子可以归纳出具体计算特征值、特征向量的步骤.
第一步:
计算特征多项式|A-λE|.
第二步:
求出|A-λE|=0的全部根,它们就是A的全部特征值.
第三步:
对于A的每一个特征值λi,求相应的齐次线性方程组(A-λiE)x=0的一个基础解系
,
则对于不全为零的任意常数,
即为对应于λi的全部特征向量.
例7求矩阵
的特征值和特征向量.
解A的特征多项式为
所以A的特征值为λ1=λ2=1,λ3=-2.
当λ1=λ2=1时,解方程(A-E)x=0,由
得基础解系
于是为对应于λ1=λ2=1的全部特征向量.
当λ3=-2时,解方程(A+2E)x=0,由
得基础解系
所以k3p3(k3≠0)为对应于λ3=-2的全部特征向量.
例8设λ是方阵A的特征值,证明λ2是A2的特征值.
证因λ是A的特征值,故有p≠0,使Ap=λp,
于是
A2p=A(Ap)=λAp=λ2p.
所以λ2是A2的特征值.
按此例类推,不难证明:
若λ是A的特征值,则λk是Ak的特征值;是的特征值(其中).
例9设向量=(1,2,0)′,=(1,0,1)′都是方阵A的属于特征值λ=2的特征向量,又向量=(-1,2,-2)′,求.
解由题设条件有又
故
定理3设λ1,λ2,…,λm是方阵A的m个互不相同的特征值,p1,p2,…,pm依次是与之对应的特征向量,则p1,p2,…,pm线性无关.
证设有常数x1,x2,…,xm,使
x1p1+x2p2+…+xmpm=0,
则
A(x1p1+x2p2+…+xmpm)=0,
即
.
类推有
把上列各式合写成矩阵形式,得
(x1p1,x2p2,…,xmpm)=O.
上式等号左边第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式,当λi各不相同时,该矩阵可逆,于是有
(x1p1,x2p2,…,xmpm)=O,
即xipi=0,但pi≠0,故xi=0,i=1,2,…,m.
所以向量组p1,p2,…,pm线性无关.
§3相似矩阵
定义7设A与B是n阶方阵,如果存在一个可逆矩阵P,使
B=P-1AP,
则称A与B是相似的.
定理4若n阶方阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值相同.
证因A与B相似,即有可逆矩阵P,使P-1AP=B,故
|B-λE|=|P-1AP-P-1(λE)P|=|P-1(A-λE)P|
=|P-1||A-λE||P|=|A-λE|.
推论若n阶方阵A与对角矩阵diag(λ1,λ2,…,λn)相似,则λ1,λ2,…,λn即是A的特征值.
证因λ1,λ2,…,λn是diag(λ1,λ2,…,λn)的n个特征值.由定理4知λ1,λ2,…,λn也就是A的特征值.
关于相似矩阵我们关心的一个问题是,与A相似的矩阵中,最简单的形式是什么?
由于对角矩阵最简单,于是考虑是否任何一个方阵都相似于一个对角矩阵呢?
下面我们就来研究这个问题.
如果n阶矩阵A能相似于对角矩阵,则称A可对角化.
现设已找到可逆矩阵P,使P-1AP=Λ=diag(λ1,λ2,…,λn).把P用其列向量表示为P=(λ1,λ2,…,λn),由P-1AP=Λ,得AP=PΛ,即
A(p1,p2,…,pn)=(p1,p2,…,pn)diag(λ1,λ2,…,λn)
=(λ1p1,λ2p2,…,λnpn).
于是有
Api=λipi(i=1,2,…,n).
可见P的列向量pi就是A的对应于特征值λi的特征向量.又因P可逆,所以p1,p2,…,pn线性无关.由于上述推导过程可以反推回去.因此,关于矩阵A的对角化有如下结论:
定理5n阶方阵A可对角化的充分必要条件是:
A有n个线性无关的特征向量p1,p2,…,pn,并且以它们为列向量组的矩阵P,能使P-1AP为对角矩阵.而且此对角矩阵的主对角线元素依次是与p1,p2,…,pn对应的A的特征值λ1,λ2,…,λn.
现在的问题是:
对于任一矩阵A,是否一定存在n个线性无关的特征向量,答案是否定的,在上节例7中A的特征方程有重根.但仍能找到3个线性无关的特征向量,但在例6中A的特征方程亦有重根,却找不到3个线性无关的特征向量.从而例6中矩阵A不能与对角矩阵相似.
例10设A=的一个特征向量为p=.
(1)求参数a,b的值及A的与特征向量p对应的特征值;
(2)A与对角阵是否相似?
解
(1)设A的与特征向量p相对应的特征值为λ,可得方程组(A-λE)p=0,即
即
解得
(2)由
知A有三重特征值
1=2=3=-1.
由于
可知
R(A+E)=2,n-R(A+E)=3-2=1,
故三阶方阵A与=-1对应的线性无关的特征向量仅有一个.所以A不与对角阵相似.
在矩阵中有一类特殊矩阵,即实对称矩阵是一定可以对角化的,并且对于实对称矩阵A不仅能找到可逆矩阵P,使得P-1AP为对角阵,而且还能够找到一个正交矩阵T,使T-1AT为对角矩阵.
定理6实对称矩阵的特征值都是实数.
证设复数λ为实对称矩阵A的特征值,复向量x为对应的特征向量,即Ax=λx,x≠0.
用表示的共轭复数,表示x的共轭复向量,则
于是有
及
两式相减,得
.
但因x≠0,所以
故,即,这表明是实数.
显然,当特征值为实数时,齐次线性方程组
是实系数线性方程组,从而必有实的基础解系,即对应于λi的特征向量必可取实向量.
定理7设λ1,λ2是实对称矩阵的两个特征值,p1,p2是对应的特征向量,若λ1≠λ2,则p1与p2正交.
证λ1p1=Ap1,λ2p2=Ap2,λ1≠λ2,因A对称,故λ1p1′=(λ1p1)′=(Ap1)′=
p1′A′=p1′A,于是
λ1p1′p2=p1′Ap2=p1′(λ2p2)=λ2p1′p2
即
(λ1-λ2)p1′p2=0,
但λ1≠λ2,故p1′p2=0,即p1与p2正交.
定理8设A为实对称矩阵,则必存在正交矩阵T,使
其中λ1,λ2,…,λn是A的特征值.
在这里,我们主要介绍如何具体算出上述正交矩阵T,由于T是正交矩阵,所以T的列向量组是正交的单位向量组,且如前所述,T的列向量组是由A的n个线性无关的特征向量组成,因此对T的列向量组有三条要求:
1°每个列向量是特征向量.
2°任意两个列向量正交.
3°每个列向量是单位向量.
于是求正交矩阵T使T-1AT为对角矩阵的具体步骤如下:
第一步:
求出A的所有不同的特征值λ1,λ2,…,λs.
第二步:
求出A对应于每个特征值λi的一组线性无关的特征向量,即求出齐次线性方程组(A-λiE)x=0的一个基础解系.并且利用Schmidt正交化方法,把此组基础解系正交规范化,再由定理7知对应于不同特征值的特征向量正交,如此可得A的n个正交的单位特征向量.
第三步:
以上面求出的n个正交的单位特征向量作为列向量所得的n阶方阵即为所求的正交矩阵T,以相应的特征值作为主对角线元素的对角矩阵,即为所求的T-1AT.
例11设A=,求正交矩阵T,使T-1AT为对角矩阵.
解显然A′=A.故一定存在正交矩阵T,使T-1AT为对角阵.
第一步:
先求A的特征值,由
求得A的特征值为λ1=-1(二重),λ2=5.
第二步:
对于λ1=-1,求解齐次线性方程组(A+E)x=0.由
求得一基础解系为
正交化:
令
再单位化,令
对于λ2=5,求解齐次线性方程组(A-5E)x=0,由
求得它的一基础解系为
这里只有一个向量,只要单位化,得
第三步:
以正交单位向量组为列向量的矩阵T就是所求的正交矩阵,即
有
例12设
求正交矩阵T,使T-1AT为对角矩阵.
解
求得A的不同特征值λ1=4(二重),λ2=8,λ3=12.
对于λ1=4.求解齐次线性方程组(A-4E)x=0,由
求得一组基础解系为
显然与正交,只要单位化,即
对于λ2=8,相似地可求得齐次线性方程组(A-8E)x=0的一组单位化的基础解系
对于λ3=12,相似地可求得对应的单位特征向量
于是
即为所求的正交矩阵,且
§4化二次型为标准型
前面我们主要研究线性问题,但在实际问题中还存在大量非线性问题,其中最简单的模型就是二次型,本节用矩阵工具来研究二次型,介绍化二次型为标准型的几种方法.
定义8n元变量的二次齐次多项式
(5.4)
称为二次型.当aij为复数时,f称为复二次型,当aij为实数时,f称为实二次型,我们仅限于讨论实二次型.
取aji=aij则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi.于是(5.4)式可写成对称形式
(5.5)
记
(5.6)
则(5.5)式可以用矩阵形式简单表示为
其中A为实对称矩阵.
例如,二次型用矩阵表示就是:
显然这种矩阵表示是惟一的,即任给一个二次型就惟一确定一个对称矩阵,反之任给一个对称矩阵也可惟一确定一个二次型.即二者之间存在一一对应关系,我们把对称矩阵A称为二次型f的矩阵,A的秩称为f的秩.也称f为对称矩阵A的二次型.
在平面解析几何中讨论二次曲线时,经常采用的是把二次曲线的一般方程
通过坐标变换化成标准型
再根据标准型作出曲线形状的判断.
在这里,我们对二次型也类似地进行讨论.即对于一般的二次型
找到一个非退化的线性变换(即C是n阶可逆矩阵)
x=Cy,
使得
即利用非退化线性变换将二次型化为只含平方项的形式.这种只含平方项的二次型,称为二次型的标准型(或法式).
定理9任给可逆矩阵C,令B=C′AC,如果A为对称矩阵,则B亦为对称矩阵,且R(B)=R(A).此时,也称A与B合同.
证因A′=A,故B′=(C′AC)′=C′A′C=C′AC=B即B为对称矩阵.
又因为B=C′AC,而C′与C均为可逆矩阵,故A与B等价,于是R(B)=R(A).
这定理说明经可逆变换x=Cy后,二次型f的矩阵A变为对称矩阵C′AC,且二次型的秩不变.矩阵的合同关系与相似关系一样,都满足反身性,对称性,传递性.
要使二次型f经可逆变换x=Cy变成标准型,这就是要使
也就是要使C′AC成为对角矩阵.因此,问题归结为:
对于对称矩阵A,寻求可逆矩阵C,使C′AC为对角矩阵.由上节的定理8知,任给实对称矩阵A,总有正交矩阵T,使T-1AT=即T′AT=为对角矩阵.把此结论应用于二次型,即有如下定理.
定理10任给二次型f=,总有正交变换x=Ty,使f化成标准型
其中是f的矩阵A=(aij)的特征值.
用正交变换把二次型化为标准型,这在理论上和实际应用上都是非常重要的,而此方法的具体步骤就是上节所介绍的化实对称矩阵为对角矩阵的三个步骤.
例13求一个正交变换x=Ty,把二次型
化为标准型.
解f的矩阵是
于是A的全部特征值为λ1=1(三重),λ2=-3.
对于λ1=1.解齐次线性方程组(A-E)x=0,由
求得一组基础解系
令
再令
对于λ2=-3.解齐次线性方程组(A+3E)x=0,由
,
求得一组基础解系为
取正交矩阵
再令x=Ty,则可得
例14已知二次型,通过正交变换可化为标准型,求参数a及所用的正交变换.
分析由于二次型通过正交变换x=Ty化成的标准型中的平方项系数是A的特征值,而且变换前后两个二次型的矩阵有下面的关系:
所以上式两边取行列式即可求得参数a.
解变换前后二次型的矩阵分别为
设所求正交矩阵为T,则有T′AT=,此时两边取行列式,并注意到|T|=±1,得
|T′||A||T|=|T|2|A|=|A|=||
即
2(9-a2)=10.
由a>0,得a=2.
因为A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=5.
当λ1=1时,解齐次方程组(A-E)x=0,得特征向量为
同理,可求得与λ2=2,λ3=5对应的特征向量分别为
又因为对应于不同特征值的特征向量是相互正交的,所以是正交向量组,将它们单位化得
以p1,p2,p3为列即得所求的正交矩阵
用正交变换化二次型为标准型,具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换,那么还可有多种方法把二次型化成标准型.如配方法,初等变换法等等,下面通过实例来介绍配方法和初等变换法.
例15化二次型
成标准型,并求所用的变换矩阵.
解由于f中含变量x1的平方项,故把含x1的项归并起来配方可得.
上式右端除第一项外已不再含x1,继续配方,得
令
即
就把f化成标准型.所用变换矩阵为
例16化二次型
成标准型,并求所用的变换矩阵.
解在f中不含平方项,由于含有乘积项,故令
代入可得
再配方,得
故令
即
即有,所用变换矩阵为
一般地,任何二次型都可用上面两例的方法找到可逆变换化成标准型,且由定理9可知,标准型中所含有的项数就是二次型的秩.
我们知道化二次型为标准型就是寻求可逆矩阵C,使C′AC成为对角矩阵.这里A为二次型的矩阵,而任一可逆矩阵又可分解为若干初等矩阵之积.从而我们有
定理11对实对称矩阵A,一定存在一系列初等矩阵E1,E2,…Es,使得
关于初等矩阵,易见
记.则上述定理还表明:
对A同时施行一系列同类的初等行、列变换,得到对角矩阵,而相应地将这一系列的初等列变换施加于单位阵,就得到变换矩阵C.其具体做法是将n阶单位阵E放在二次型的矩阵A的下面,形成一个2n×n矩阵.对此矩阵作相同的行、列变换,把A化成对角形的同时,把单位阵化成了可逆变换矩阵C,这就是初等变换法.
例17用初等变换法将例15中二次型化为标准型.
解二次型f的矩阵
故令
则
例18用初等变换法将例16中二次型化为标准型.
解所给二次型f的矩阵
故
则
§5正定二次型
上节我们用不同的方法,把一个二次型化为标准型.从例16和例18可知,化二次型为标准型时,可用不同的变换矩阵,且所得标准型也不相同.即二次型的标准型是不惟一的.但正如我们前面所说,二次型的秩是惟一的.在化标准型的过程中是不变的.即一个二次型的两个不同标准型中含有的非零平方项数是相同的,都等于二次型的秩.不仅如此,在实可逆变换下,标准型中正系数的个数是不变的(从而负系数的个数不变,正、负系数个数之差——符号差也不变).即有如下定理.
定理12(惯性定理)设有二次型f=x′Ax,它的秩为r,有两个实的非退化线性变换x=Cy,及x=Pz,使
及
则中正数的个数与中正数的个数相同.
定义9二次型f(x1,x2,…,xr)的标准型中,系数为正的平方项的个数p称为此二次型的正惯性指数,系数为负的平方项的个数r-p称为负惯性指数,s=2p-r称为符号差.这里r为二次型f的秩.
比较常用的二次型是p=n的情形.
定义10设有二次型f(x)=x′Ax,如果对任何x≠0,都有f(x)>0(显然f(0)=0),则称f为正定二次型,称A为正定矩阵;如果对任何x≠0,都有f(x)<0,则称f为负定二次型,其矩阵A为负定矩阵.
定理13f=x′Ax为正定二次型的充分必要条件是:
它的正惯性指数等于n.
证设可逆变换x=Cy,使
f(x)=f(Cy)=.
设ki>0(i=1,2,…,n),任给x≠0,有y=C-1x≠0,从而
f(x)=f(Cy)=,
即f是正定二次型.
反之假设有某个s(1≤s≤n),使ks≤0.则当y=es时
f(Ces)=ks≤0.
这与f为正定相矛盾.故必有ki>0(i=1,2,…,n).
推论对称矩阵A正定,当且仅当A的特征值全为正.
完全相似地,我们有二次型f为负定二次型当且仅当它的负惯性指数等于n,对称矩阵A为负定矩阵当且仅当它的所有特征值全为负.
下面我们不加证明的介绍判定矩阵正(负)定的一个充分必要条件,即
定理14对称矩阵A正定,当且仅当A的各阶(顺序)主子式全为正,即:
对称矩阵A负定当且仅当A的奇数阶(顺序)主子式为负,偶数阶(顺序)主子式为正,即:
例19判定的正定性.
解由|A-λE|=(1-λ)2(5-λ),得A的特征值为1,1,5.根据定理13之推论知,A为正定矩阵,从而f为正定二次型.
例20判别二次型
f(x,y,z)=-5x2-6y2-4z2+4xy+4xz
的正定性.
解f的矩阵为
因
则根据定理14知f为负定二次型.
例21设,问λ取何值时,f为正定二次型.
解f的矩阵
由
根据定理12知当
即-2<λ<1时所给二次型f正定.
例22证明若A=(aij)为正定矩阵.则aij>0(i=1,2,…,n).
证因为A正定,故对任何x≠0,有x′Ax>0,取x=ei则有x′Ax=aii>0(i=1,2,…,n).
类似地若A负定,则aii<0.
此例表明主对角线上元素均大于零是A正定的必要条件,但它并非充分条件,例如
有a11=a22=1>0,但因|A|=-3<0,故A不是
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- 线性代数 第五章 第五