新教材人教A版数学选择性必修第一册学案第1章空间向量与立体几何章末综合提升含答案.docx
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新教材人教A版数学选择性必修第一册学案第1章空间向量与立体几何章末综合提升含答案
类型1 空间向量的线性运算和数量积
空间向量的线性运算与数量积是整章的基础内容,也是后续学习的工具,可类比平面向量的线性运算和数量积进行运算.
【例1】
(1)(多选题)如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,S到A,B,C,D的距离都等于2.以下选项正确的是( )
A.+++=0
B.(-)·(-)=0
C.-+-=0
D.·=·
(2)如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°.
①求的长;
②求与夹角的余弦值.
(1)BCD [(-)·(-)=·=0,所以B正确;-+-=+=0,所以C正确;又因为底面ABCD是边长为1的正方形,SA=SB=SC=SD=2,所以·=2×2×cos∠ASB,·=2×2×cos∠CSD,而∠ASB=∠CSD,于是·=·,因此D正确.]
(2)[解] 记=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,
〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
∴a·b=b·c=c·a=.
①||2=(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)
=1+1+1+2×=6,
∴||=.即AC1的长为.
②=b+c-a,=a+b,
∴||=,||=,
·=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1,
∴cos〈,〉==.
即与夹角的余弦值为.
[跟进训练]
1.如图,已知四边形ABCD为正方形,P是四边形ABCD所在平面外一点,P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O,Q是CD的中点,求下列各题中x,y的值:
(1)=+x+y;
(2)=x+y+.
[解]
(1)因为=-=-(+)=--,
所以x=y=-.
(2)因为+=2,所以=2-.
又因为+=2,所以=2-,
所以=2-(2-)=2-2+,
所以x=2,y=-2.
类型2 利用空间向量证明平行、垂直问题
通过直线的方向向量和平面的法向量,把直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系完全转化为两个向量之间的关系,然后通过向量的运算,得到空间图形的位置关系,用空间向量解决位置关系问题时,一般有“基底法”和“坐标法”两种方法,当不易建空间直角坐标系时,可选择“基底法”,“基底法”比“坐标法”更具有一般性.
【例2】 在四棱锥PABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.
(1)求证:
BM∥平面PAD;
(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?
若存在,确定N的位置;若不存在,说明理由.
[解]
(1)证明:
以A为原点,以AB,AD,AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示,则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0),M(1,1,1),
∴=(0,1,1),
平面PAD的一个法向量为n=(1,0,0),
∴·n=0,即⊥n,
又BM⊄平面PAD,∴BM∥平面PAD.
(2)=(-1,2,0),=(1,0,-2),
假设平面PAD内存在一点N,使MN⊥平面PBD.
设N(0,y,z),则=(-1,y-1,z-1),
从而MN⊥BD,MN⊥PB,
∴即
∴∴N,∴在平面PAD内存在一点N,使MN⊥平面PBD.
[跟进训练]
2.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
(1)求证:
AC⊥BC1;
(2)请说明在AB上是否存在点E,使得AC1∥平面CEB1.
[解]
(1)证明:
在直三棱柱ABCA1B1C1中,因为AC=3,BC=4,AB=5,所以AC,BC,CC1两两垂直,以C为坐标原点,直线CA,CB,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).
因为=(-3,0,0),=(0,-4,4),所以·=0,所以⊥,即AC⊥BC1.
(2)假设在AB上存在点E,使得AC1∥平面CEB1,
设=t=(-3t,4t,0),其中0≤t≤1.
则E(3-3t,4t,0),=(3-3t,4t-4,-4),=(0,-4,-4).
又因为=m+n成立,
所以m(3-3t)=-3,m(4t-4)-4n=0,-4m-4n=4,解得t=.
所以在AB上存在点E,使得AC1∥平面CEB1,这时点E为AB的中点.
类型3 利用空间向量求距离
(1)空间距离的计算思路
①点P到直线l的距离:
已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设向量在直线l上的投影向量为=a,则点P到直线l的距离为(如图1).
图1
②点P到平面α的距离:
设平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点,则点P到平面α的距离为(如图2).
(2)通过利用向量计算空间的角,可以培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.
图2
【例3】 长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,AD=6,AA1=4,M是A1C1的中点,P在线段BC上,且|CP|=2,Q是DD1的中点,求:
(1)M到直线PQ的距离;
(2)M到平面AB1P的距离.
[解] 如图,建立空间直角坐标系Bxyz,则A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2),B1(0,0,4).
(1)∵=(-2,-3,2),=(-4,-2,-2),
∴在上的射影的模
====.
故M到PQ的距离为==.
(2)设n=(x,y,z)是平面AB1P的一个法向量,则n⊥,n⊥,
∵=(-4,0,4),=(-4,4,0),∴
因此可取n=(1,1,1),由于=(2,-3,-4),那么点M到平面AB1P的距离为d===,故M到平面AB1P的距离为.
[跟进训练]
3.在三棱锥BACD中,平面ABD⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=30°,求点D到平面ABC的距离.
[解] 如图所示,以AD的中点O为原点,以OD,OC所在直线为x轴、y轴,过O作OM⊥平面ACD交AB于M,以直线OM为z轴建立空间直角坐标系,则A,B,C,D,
∴=,=,=,
设n=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量,
则
∴y=-x,z=-x,可取n=(-,1,3),
代入d=,
得d==,
即点D到平面ABC的距离是.
类型4 利用空间向量求夹角
利用空间向量求夹角是空间向量的重要应用,利用向量方法求夹角,可不做出角而求出角的大小,体现了向量方法的优越性.
【例4】 如图,在长方体AC1中,AB=BC=2,AA1=,点E,F分别是平面A1B1C1D1,平面BCC1B1的中心.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题:
(1)求异面直线AF和BE所成的角;
(2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值.
[解]
(1)由题意得A(2,0,0),F,B(2,2,0),E(1,1,),C(0,2,0).
∴=,=(-1,-1,),
∴·=1-2+1=0.
∴直线AF和BE所成的角为90°.
(2)设平面BEC的法向量为n=(x,y,z),又=(-2,0,0),=(-1,-1,),则n·=-2x=0,n·=-x-y+z=0,∴x=0,取z=1,则y=,∴平面BEC的一个法向量为n=(0,,1).
∴cos〈,n〉===.
设直线AF和平面BEC所成的角为θ,则sinθ=,即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为.
[跟进训练]
4.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD=,AB=4.
(1)求平面BDP与平面PAD的夹角的大小;
(2)若M是PB的中点,求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
[解]
(1)取AD的中点O,设AC∩BD=E,连接OP,OE.
因为PA=PD,所以OP⊥AD,
又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OP⊂平面PAD,
所以OP⊥平面ABCD.
因为OE⊂平面ABCD,所以OP⊥OE.
因为四边形ABCD是正方形,所以OE⊥AD,
如图,建立空间直角坐标系Oxyz,
则P(0,0,),D(2,0,0),B(-2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-).
设平面BDP的法向量为n=(x,y,z),
则即
令x=1,则y=1,z=.
于是n=(1,1,).
平面PAD的法向量为p=(0,1,0),
所以cos〈n,p〉==.
所以平面BDP与平面PAD的夹角为.
(2)由题意知M,C(2,4,0),=.
设直线MC与平面BDP所成的角为α,则sinα=|cos〈n,〉|==.
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.
1.(2020·新高考全国卷Ⅰ)如图,四棱锥PABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
(1)证明:
l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.
[解]
(1)证明:
因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.
又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC.因此AD⊥平面PDC.
因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,所以AD∥平面PBC.
由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.
(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0),=(1,1,-1).
由
(1)可设Q(a,0,1),则=(a,0,1).
设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,则
即
可取n=(-1,0,a).
所以cos〈n,〉==.
设PB与平面QCD所成角为θ,
则sinθ=×=.
因此≤,当且仅当a=1时等号成立,
所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.
2.(2020·全国卷Ⅰ)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=DO.
(1)证明:
PA⊥平面PBC;
(2)求二面角BPCE的余弦值.
[解]
(1)证明:
设DO=a,由题设可得PO=a,AO=a,AB=AC=BC=a,PA=PB=PC=a.
因此PA2+PB2=AB2,从而PA⊥PB.
又PA2+PC2=AC2,故PA⊥PC.
又PB∩PC=P,PB,PC⊂平面PBC,
所以PA⊥平面PBC.
(2)作ON∥BC,交AB于点N,以O为坐标原点,以所在的直线为x轴,的方向为y轴正方向,||为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由题设可得E(0,1,0),A(0,-1,0),C,
P.
所以=,
=.
设m=(x,y,z)是平面PCE的法向量,则
即可取m=.
由
(1)知=是平面PCB的一个法向量,记n=,
则cos〈n,m〉==.
所以二面角BPCE的余弦值为.
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- 新教材 数学 选择性 必修 一册 学案第 空间 向量 立体几何 综合 提升 答案