排列组合21种方式无答案.docx
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排列组合21种方式无答案
高考数学轻松弄定排列组合难题二十一种方法
排列组合问题联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,因此解决排列组合问题,第一要认真审题,弄清楚是排列问题、组合问题仍是排列与组合综合问题;第二要抓住问题的本质特征,采用合理适当的方式来处置。
教学目标
1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常常利用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力
3.学会应用数学思想和方式解决排列组合问题.
温习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事,有
类办法,在第1类办法中有
种不同的方式,在第2类办法中有
种不同的方式,…,在第
类办法中有
种不同的方式,那么完成这件事共有:
种不同的方式.
2.分步计数原理(乘法原理)
完成一件事,需要分成
个步骤,做第1步有
种不同的方式,做第2步有
种不同的方式,…,做第
步有
种不同的方式,那么完成这件事共有:
种不同的方式.
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方式彼此独立,任何一种方式都能够独立地完成这件事。
分步计数原理各步彼此依存,每步中的方式完成事件的一个阶段,不能完成整个事件.
解决排列组合综合性问题的一般进程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.如何做才能完成所要做的事,即采取分步仍是分类,或是分步与分类同时进行,肯定分多少步及多少类。
3.肯定每一步或每一类是排列问题(有序)仍是组合(无序)问题,元素总数是多少及掏出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必需掌握一些常常利用的解题策略
一.特殊元素和特殊位置优先策略
例1.由0,1,2,3,4,5能够组成多少个没有重复数字五位奇数.
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。
若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
练习:
7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两头的花盆里,问有多少不同的种法?
二.相邻元素捆绑策略
例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
练习:
某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一路的情形的不同种数为
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能持续出场,则节目的出场顺序有多少种?
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
练习:
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.若是将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为30
四.定序问题倍缩空位插入策略
例人排队,其中甲乙丙3人顺序必然共有多少不同的排法
定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插
空模型处理
练习:
10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?
五.重排问题求幂策略
例5.把6名实习生分派到7个车间实习,共有多少种不同的分法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置,一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种
练习:
1,某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.若是将这两个节目插入原节目单中,那么不同插法的种数为42
2,某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方式
六.环排问题线排策略
例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!
种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
练习:
6颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈120
七.多排问题直排策略
例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
练习:
有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐,而且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?
练习:
一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从当选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之间,如此的五位数有多少个?
小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。
练习:
1.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画,排成一行陈列,要求同一 品种的必需连在一路,而且水彩画不在两头,那么共有陈列方式的种数为
2.5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有
种
十.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分派方案?
将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为
练习:
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法?
2.
求那个方程组的自然数解的组数
十一.正难则反整体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中掏出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种?
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
练习:
咱们班里有43位同窗,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十二.平均分组问题除法策略
例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以(为均分的组数)避免重复计数。
练习:
1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法?
(
)
名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方式(1540)
3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安
排2名,则不同的安排方案种数为______(90)
十三.合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方式
解含有约束条件的排列组合问题,可按元素的性质进行分类,按事件发生的连续过程分步,做到标准明确。
分步层次清楚,不重不漏,分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
练习:
1.从4名男生和3名女生当选出4人参加某个座谈会,若这4人中必需既有男生又有女生,则不同的选法共有34
2.3成人2小孩搭船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少搭船方式.(27)
本题还有如下分类标准:
*以3个全能演员是不是选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是不是选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是不是选上跳舞人员为标准
都可经取得正确结果
十四.构造模型策略
例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两头的2盏,求知足条件的关灯方式有多少种?
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决
练习:
某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种?
(120)
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每一个盒子放一个球,而且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
3号盒4号盒5号盒
对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果
练习:
1.同一寝室4人,每人写一张拜年卡集中起来,然后每人各拿一张他人的拜年卡,则四张拜年卡不同的分派方式有多少种?
(9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方式有72种
十六.分解与合成策略
例16.30030能被多少个不同的偶数整除
练习:
正方体的8个极点可连成多少对异面直线
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略
十七.化归策略
例17.25人排成5×5方阵,现从当选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?
。
练习:
某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路,从A走到B的最短路径有多少种?
(
)
十八.数字排序问题查字典策略
例18.由0,1,2,3,4,5六个数字能够组成多少个没有重复的比324105大的数?
数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数。
练习:
用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是3140
十九.树图策略
例19.
人彼此传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,通过
次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,树图会收到意想不到的结果
练习:
别离编有1,2,3,4,5号码的人与椅,其中
号人不坐
号椅(
)的不同坐法有多少种?
二十.复杂分类问题表格策略
例20.有红、黄、兰色的球各5只,别离标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐全,则共有多少种不同的取法
解:
二十一:
住店法策略
解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素:
一类元素能够重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看做“客”,能重复的元素看做“店”,再利用乘法原理直接求解.
例21.七名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人取得,取得冠军的可能的种数有.
本节课,咱们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以温习巩固。
排列组合从来是学习中的难点,通过咱们平时做的练习题,不难发觉排列组合题的特点是条件隐晦,不易挖掘,题目多变,解法独特,数字庞大,难以验证。
同窗们只有对大体的解题策略熟练掌握。
按照它们的条件,咱们就可以够选取不同的技能来解决问题.对于一些比较复杂的问题,咱们能够将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化,触类旁通,触类旁通,进而为后续学习打下坚实的基础。
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