等腰三角形证明题.docx
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等腰三角形证明题.docx
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等腰三角形证明题
1.已知:
如图,△ABC为正三角形,D是BC延长线上一点,连结AD,以AD为边作等边
三角形ADE,连结CE,用你学过的知识探索AC、CD、CE三条线段的长度有何关系?
试写出探求过程.
D
2如图,△ABC是边长为3的等边三角形,△BDC是等腰三角形,且/BDC=120。
,以D为顶点作一个60。
角,使其两边分别交AB于M交AC于点N,连接MN,
(1)求证:
MN=BM+NC
(2)求厶AMN的周长
3在ABC中,AC=BC,/ACB=90。
,点D是AB的中点,点E是AB边上一点
(1)直线BF垂直于直线CE于点F,交CD于点G(如图1),求证:
AE=CG;
(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交CD的延长线于点M(如图2),找出图中
与BE相等的线段,并证明.
4如图,在平面直角坐标系中,△KOP为等边三角形,
边APBC.
(1)求证:
OB=AC;
(2)求/CAP的度数;(3)当B点运动时,AE的长度是否发生变化?
5如图,在等腰RtOAB中,/AOB=90°,等腰RtEOF中,/EOF=90°,连接AE,EF
(1)AE=BF;
(2)AEJBF
6如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的
延长线于点E,EF=FD。
求证:
AD=CE
7在等边三角形ABC中,点P在ABC内,点Q在ABC夕卜,且/ABP=ZACQ,BP=CQ,则APQ是什么形状的三角形?
试说明理由。
8如图,/ABC=90°,D、E分别在BC、AC上,AD丄DE,且AD=DE,点F是AE的中点,
FD与AB相交于点M.
(1)求证:
ZFMC=ZFCM;
(2)AD与MC垂直吗?
并说明理由.
9如图,在ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,/ADB=60°,E是AD上一点,且
DE=DB,求证:
AE=BE+BC
10.如图点B是AC上一点,ABD和DCE都是等边三角形
(1)求证:
AC=BE;
(2)若BEJDC,求ZBDC的度数
11如图,在ABC中AB=AC,点D在BA的延长线上,E在AC上,且AD=AE,DE的延
长线交BC于F,求证:
DF_LBC
12如图在ABC中AB=AC,EF交AB于E,交AC延长线于点F,交BC于点D,且BE=CF
求证:
DE=EF
13如图在ABC中,/BAC108°,AB=AC,BD平分/ABC,交
14如图CE,CB分别是ABC,ADC的中线,且AB=AC,求证:
CD=2CE
15如图,已知点B,C,D在同一条直线上,ABC和CDE都是等边三角形,BE交AC于
F,AD交CE于H。
1求证:
△BCE也ZACD;
2求证:
CF=CH;
3判断ACFH的形状并说明理由
16在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE
(1)求证:
CE=CF;
(2)若点G在AD上,且/GCE=45,贝UGE=BE+GD成立吗?
为什
么?
17如图在等腰直角三角形ABC中,/ACB=90°,D为BC中点,DEAAB,垂足为E,过点
B作BF/AC,交DE的延长线与点F,连接CF
(1)求证:
AD丄CF;
(2)连接AF,试判断厶ACF的形状,并说明理由。
18如图ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ_LAD于点D,PQ=3,PE=1
求AD的长.
19如图,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,求/A的度
且ZACF=
BE的延长线于点D,CG平分ZACB交BD于G,点F为AB边上一点连接CF
ZCBG
.求证:
(1)AF=CG;
(2)CF=2DE.
DE平分
21、如图,四边形ABCD中,,是BC的中点,
求证:
AE平分;
判断AB、CD、AD之间的数量关系,并证明;
若,,求^
23如图,已知/MAN=120°,AC平分/MAN.B、D分别在射线AN、AM上.
(1)在图
(1)中,当ZABC=/ADC=90。
时,求证:
AD+AB=AC.
(2)若把
(1)中的条件“/ABC=
/ADC=90°”改为ZABC+ZADC=180。
,其他条件不变,如图
(2)所示.则
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由
24已知在ABC中,AB=AC,D,E为BC上与点B,C不重合的两点,(D在E的左侧)
且/DAE=-ZBAC
(1)如图①若/ABC=30°,AD=AE则以BD,DE,CE为边的三角形的形状是
(2)如图②若/ABC=45°,AD=AE请你判断以BD,DE,CE为边的三角形的形状,并
证明你的结论;
(3)
若ZABC=a,请你直接写出以BD,DE,CE为边的三角形中DE边所对的角的。
数
(用含a的式子表示)
25在ABC中,AC=BC,在DEC中,放置时,有AD=BE
(1)当把DCE旋转一定角度时,得到图
(2)当CD和BC在一条直线上时,连接
DC=EC,且ZDCE=ZACB,当把两个三角形如图①
②,图③,此时是否仍有AD=BE?
AD,EB,分别交CE于N,AC于M,它们的交
点为P,连接PC,PC平分/BPD吗?
26
(1)操作发现:
如图①点D是等边ABC边BA上一动点(D,与B不重合),连接
DC,以DC为边在BC上方作等边DCF,连接AF,你发现AF与BD之间的数量关系吗?
并证明你的结论;
2)类比猜想:
如图2,当动点D运动到等边三角形ABC边BA的延长线上时,其他作法与
(1)相同,猜想AF与BD在
(1)中的结论是否仍然成立?
如果成立,请证明;如果不成
立,是否有新的结论?
如果有新的结论,直接写出新的结论,不需证明.(3)深入探究:
①如图3,当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时(点D与点B不重合),连接D
C,以DC为边在其上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF',连接AF,BF'.探究AF,BF'与AB有何数量关系?
直接写出你的结论,不需证明.②如图4,当动点D在等
边三角形ABC的边BA的延长线上运动时,其他作法与图3相同,①中的结论是否仍然成
立?
如果成立,请证明;如果不成立,是否有新的结论?
如果有新的结论,直接写出新的结
论,不需证明.
27如图1,ACB和DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接
BE.
填空:
1/AEB的度数为;
2线段AD,BE之间的数量关系为.
(2)拓展探究
如图2,ACB和DCE均为等腰直角三角形,/ACB=/DCE=90,点A,D,E在同一直线上,CM为DCE中DE边上的高,连接BE,请判断/AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.
(3)解决问题
如图3,在正方形ABCD中,CD=
,若点P满足PD=1,且/BPD=90,请直接写出点A到BP的距离.
28在等腰直角三角形ABC中,/BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN/BC,以点B
为一锐角顶点作RtBDE,/BDE=90°,且点D在直线MN上(不于A,重合)如图①,DE
与AC交于点P,易证:
BD=DP(无需写证明过程)
(1)在图2中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?
如果成立,请给予证明;
如果不成立,请说明理由;
(2)在图3中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?
请直接写出你的结论,无需证明.
29.数学课上,李老师出示了如下的题目:
在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图DB(填
\”,£”或=”).
(2)特例启发,解
答题目
解:
题目中,AE与
DB的大小关系是:
AEDB
与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE
1,确定线段AE
(填、”,或=”)•理由如下:
如图2,过点E作EF//BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
30.(2006?
郴州)如图,在ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,过D分别向AB,AC引垂线,垂足分别为E,F,CG是AB边上的高.
(1)DE,DF,CG的长之间存在着怎样的等量关系?
并加以证明;
(2)若D在底边的延长线上,
(1)中的结论还成立吗?
若不成立,又存在怎样的关系?
请说明理由.
31、如图,在
中,
,点D在线段BC上运动
点D不与点B、
C重合,连接AD,作
交线段AC于点巳
时,
线段DC的长度为何值时,
,请说明理由;
在点D的运动过程中,
的形状可以是等腰三角形吗?
若可以,求
的度数;
若不可以,请说明理由.
32、如图,已知,平分,平分
过点C作直线DE,分别交AM、
BN于点D、E,则AB、AD、BE三条线的长度之间存
在何种等量关系?
请直接写出关系式
如图,若将直线DE绕点C转动,使DE与AM交于点D,与NB的延长线交于点E,则
AB、AD、BE三条线的长度之间存在何种等量关系?
请你给出结论并加以证明.
33如图1,在△ABC中,AE丄BC于,AE=BE,D是AE上的一点,且DE=CE,连接BD、
AC.
(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系,并说明理由;
(2)如图2,若将ADCE绕点E旋转一定的角度后,仍然有DE丄EC,DE=CE,试判断BD
与AC的位置关系和数量关系是否发生变化,并说明理由;
(3)如图3,若将
(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形,其他条件不变,①试猜想BD与AC的数量关系,并说明理由;②你能求出BD与AC所成的角的度数吗?
如果能,请直接写出该角的度数;如果不能,请说明理由.
5
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