届江苏省徐州市高三考前模拟数学试题及答案 精品.docx
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届江苏省徐州市高三考前模拟数学试题及答案精品
徐州市2017届高考信息卷
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,包含填空题(第1题~第14题)、解答题(第15题~第20题)两部分。
本试卷满分160分,考试时间为120分钟。
考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。
3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位置作答一律无效。
如有作图需要,可用
铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。
一、填空题:
本大题共14题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.
1.设集合
,
,则
▲.
2.复数
(
为虚数单位)在复平面上对应的点位于第▲象限.
3.函数
的定义域为▲.
4.甲、乙两个学习小组各有10名学生,他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示,则在这次测验中成绩较好的是▲组.
5.已知某算法的伪代码如图所示,则可算得
的值为▲.
6.一个袋中装有2只红球、3只绿球,从中随机抽取3只球,则恰有1只红球的
概率是▲.
7.已知正三棱柱
的底面边长与侧棱长相等.蚂蚁甲从
点沿表面经过棱
,
爬到点
,蚂蚁乙从
点沿表面经过棱
爬到点
.如图,设
,
,若两只蚂蚁各自爬过的路程最短,则
▲.
8.已知函数
,则不等式
的解集是▲.
9.若过点
的直线与圆
相切,且与直线
垂直,则实数
的值为▲.
10.已知函数
(
,
,
是常数,
,
)的部分图象如图所示.
若
,
,则
▲.
11.设数列
的前
项和为
,若
和
都是
公差为
的等差数列,则
▲.
12.已知平面向量
,
,
满足
,
,
,
,则
的最小值为▲.
13.已知
,
是函数
图象上的两个不同点,
且在
,
两点处的切线互相平行,则
的取值范围为▲.
14.设等差数列
的公差为
,前
项和为
,且
,
,
,
则
的取值范围是▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在△
中,内角
,
,
的对边分别为
,
,
,向量
,
,且
.
(1)求角
;
(2)若
,求
的面积的最大值.
16.(本小题满分14分)
如图,在梯形
中,
,
,
.平面
平面
,四边形
是矩形,
,点
在线段
上.
(1)求证:
平面
;
(2)当
为何值时,
平面
?
证明你的结论.
17.(本小题满分14分)
第十八届省运会将于2017年9月在徐州市举办.为营造优美的环境,举办方决定在某“葫芦”形花坛中建喷泉.如图,该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成,两圆心
、
之间的距离为
米.
(1)如图甲,在花坛中建矩形喷泉,四个顶点
,
,
,
均在圆弧上,
于点
.设
,求矩形的宽
为多少时,可使喷泉
的面积最大;
(2)如图乙,在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用,则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形,其中
,
米.若
,求喷泉的面积的取值范围.
18.(本小题满分16分)
已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
,过
作直线
与椭圆
交于点
、
.
(1)若椭圆
的离心率为
,右准线的方程为
,
为椭圆
上顶点,直线
交右准线于点
,求
的值;
(2)当
时,设
为椭圆
上第一象限内的点,直线
交
轴于点
,
,证明:
点
在定直线上.
19.(本小题满分16分)
在数列
,
中,已知
,
,且
,
,
成等差数列,
,
,
也成等差数列.
(1)求证:
是等比数列;
(2)设
是不超过100的正整数,求使
成立的所有数对
.
20.(本小题满分16分)
已知函数
,
,
.
(1)当
,
时,求函数
的单调区间;
(2)当
时,若
对
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设函数
的图象在点
、
两处的切线分别为
、
.若
,
,且
,求实数
的最小值.
徐州市2017届高考信息卷
数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在答题纸指定区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4-1:
几何证明选讲(本小题满分10分)
在
中,
,
是
的平分线,
的外接圆交
边于点
.求证:
.
B.选修4-2:
矩阵与变换(本小题满分10分)
已知矩阵
的一个特征值
及对应的一个特征向量
.
(1)求
的值;
(2)求曲线
在
对应的变换作用下的新曲线的方程.
C.选修4-4:
坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线
的参数方程为
(
为参数),曲线
的极坐标方程为
.若直线
与曲线
交于
、
两点,试求线段
的垂直平分线的极坐标方程.
D.选修4-5:
不等式选讲(本小题满分10分)
已知
均为正数,且
,求
的最小值,并指出取得最小值时
的值.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
徐州古称彭城,三面环山,历来是兵家必争之地,拥有云龙山、户部山、子房山和九里山等四大名山.一位游客来徐州游览,已知该游客游览云龙山的概率为
,游览户部山、子房山和九里山的概率都是
,且该游客是否游览这四座山相互独立.
(1)求该游客至多游览一座山的概率;
(2)用随机变量
表示该游客游览的山数,求
的概率分布和数学期望
.
23.(本小题满分10分)
已知数列
的各项均为正整数,且
,
,
,
,
.
(1)求
,
的值;
(2)求证:
对一切正整数
,
是完全平方数.
徐州市2017届高考信息卷
数学Ⅰ参考答案与评分标准
一、填空题
1.
2.二3.
4.甲5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
二、解答题
15.
(1)因为
,所以
,
所以
,即
,………………………………4分
所以
,
又
,所以
.………………………………7分
(2)在
中,由余弦定理有,
,
所以
,
由基本不等式,
,可得
,当且仅当
时,取等,…12分
所以
的面积
,
故
的面积的最大值为
.………………………………14分
16.
(1)由题意知,
为等腰梯形,且
,
,
所以
,
又平面
平面
,平面
平面
,
所以
平面
.…………………6分
(2)当
,
平面
.…………………8分
在梯形
中,设
,连结
,则
,
因为
,
,
所以
,又
,
所以四边形
为平行四边形,…………11分
所以
,
又
平面
,
平面
,
所以
平面
.…………………14分
17.
(1)在直角
中,
,
,则
,
所以矩形
的面积
,………4分
令
,
,
则
,
令
,得
.设
,且
,列表如下:
0
↗
极大值
↘
所以当
,即
时,矩形
的面积最大.………………10分
(2)由
(1)易得,喷泉的面积
,
由
知,
,所以函数
是单调增函数,
所以
.………………………………13分
答:
(1)矩形的宽
(米)时,可使喷泉
的面积最大;
(2)喷泉的面积的取值范围是
(单位:
平方米).……14分
18.
(1)设
,则
,解得
,
所以椭圆
的方程为
,……………………………2分
则直线
的方程为
,令
,可得
,
联立
,得
,所以
,
,……4分
所以
.
…………………………6分
(2)设
,
,则直线
的方程为
,
令
,可得
,…………………………8分
由
可知,
,整理得
,
又
,
联立
,解得
,…………………………14分
所以点
在定直线
上.…………………………16分
19.
(1)由
,
,
成等差数列可得,
,
由
,
,
成等差数列可得,
,
得,
,
所以
是以6为首项、
为公比的等比数列.……………………4分
其方程为
,
故线段
的垂直平分线的极坐标方程为
.…………10分
D.因为
,所以
,
因为
为正数,所以由柯西不等式得
,
当且仅当
等式成立.
所以
,
所以
的最小值是
,……………………8分
此时
.……………………10分
22.
(1)记“该游客游览
座山”为事件
,
,
则
,
,
所以该游客至多游览一座山的概率为
.………4分
(2)随机变量
的可能取值为0,1,2,3,4,
,
,
,
,
,
所以
的概率分布为
故
.……………………10分
23.
(1)由
得,
,
由
得,
.…………………………2分
(2)
,
,
,
猜想:
.下面用数学归纳法证明.……………………5分
证明:
当
时,已证;
假设当
时,
成立,
那么,当
时,由
知,
,即
,
又由
知,
,
所以
,
所以
,
所以
,
即当
时,命题也成立.
综上可得,对一切正整数
,
是完全平方数.………………………10分
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