分别是正弦余弦正切余切正割余割.docx

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分别是正弦余弦正切余切正割余割

　分别是正弦余弦正切余切正割余割

角θ的所有三角函数

　　（见:

函数图形曲线）

　　在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有

　　正弦函数sinθ=y/r

　　余弦函数cosθ=x/r

　　正切函数tanθ=y/x

　　余切函数cotθ=x/y

　　正割函数secθ=r/x

　　余割函数cscθ=r/y

　　（斜边为r，对边为y，邻边为x。

）

　　以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

　　正矢函数versinθ=1-cosθ

　　余矢函数coversθ=1-sinθ

　　正弦（sin）:

角α的对边比上斜边

　　余弦（cos）:

角α的邻边比上斜边

　　正切（tan）:

角α的对边比上邻边

　　余切（cot）:

角α的邻边比上对边

　　正割（sec）:

角α的斜边比上邻边

　　余割（csc）:

角α的斜边比上对边

[编辑本段]

同角三角函数间的基本关系式：

　　·平方关系：

　　sin^2α＋cos^2α＝1

　　1＋tan^2α＝sec^2α

　　1＋cot^2α＝csc^2α

　　·积的关系：

　　sinα=tanα×cosα

　　cosα=cotα×sinα

　　tanα=sinα×secα

　　cotα=cosα×cscα

　　secα=tanα×cscα

　　cscα=secα×cotα

　　·倒数关系：

　　tanα·cotα＝1

　　sinα·cscα＝1

　　cosα·secα＝1

　　商的关系：

　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

　　直角三角形ABC中,

　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

　　余弦等于角A的邻边比斜边

　　正切等于对边比邻边,

　　·[1]三角函数恒等变形公式

　　·两角和与差的三角函数：

　　cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）

　　tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）

　　·三角和的三角函数：

　　sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

　　cos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

　　tan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα）

　　·辅助角公式：

　　Asinα+Bcosα=（A²+B²）^（1/2）sin（α+arctan（B/A）），其中

　　sint=B/（A²+B²）^（1/2）

　　cost=A/（A²+B²）^（1/2）

　　tant=B/A

　　Asinα-Bcosα=（A²+B²）^（1/2）cos（α-t），tant=A/B

　　·倍角公式：

　　sin（2α）=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα）

　　cos（2α）=cos²（α）-sin²（α）=2cos²（α）-1=1-2sin²（α）

　　tan（2α）=2tanα/[1-tan²（α）]

　　·三倍角公式：

　　sin（3α）=3sinα-4sin³（α）=4sinα·sin（60+α）sin（60-α）

　　cos（3α）=4cos³（α）-3cosα=4cosα·cos（60+α）cos（60-α）

　　tan（3α）=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）

　　·半角公式：

　　sin（α/2）=±√（（1-cosα）/2）

　　cos（α/2）=±√（（1+cosα）/2）

　　tan（α/2）=±√（（1-cosα）/（1+cosα））=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα

　　·降幂公式

　　sin²（α）=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2

　　cos²（α）=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2

　　tan²（α）=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））

　　·万能公式：

　　sinα=2tan（α/2）/[1+tan²（α/2）]

　　cosα=[1-tan²（α/2）]/[1+tan²（α/2）]

　　tanα=2tan（α/2）/[1-tan²（α/2）]

　　·积化和差公式：

　　sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]

　　cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]

　　cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]

　　sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]

　　·和差化积公式：

　　sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

　　sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

　　cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

　　·推导公式

　　tanα+cotα=2/sin2α

　　tanα-cotα=-2cot2α

　　1+cos2α=2cos²α

　　1-cos2α=2sin²α

　　1+sinα=（sinα/2+cosα/2）²

　　·其他：

　　sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π*3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0

　　cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0以及

　　sin²（α）+sin²（α-2π/3）+sin²（α+2π/3）=3/2

　　tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0

　　cosx+cos2x+...+cosnx=[sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx

　　证明：

　　左边=2sinx（cosx+cos2x+...+cosnx）/2sinx

　　=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+sinnx-sin（n-2）x+sin（n+1）x-sin（n-1）x]/2sinx（积化和差）

　　=[sin（n+1）x+sinnx-sinx]/2sinx=右边

　　等式得证

　　sinx+sin2x+...+sinnx=-[cos（n+1）x+cosnx-cosx-1]/2sinx

　　证明:

　　左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx]/（-2sinx）

　　=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx-cos（n-2）x+cos（n+1）x-cos（n-1）x]/（-2sinx）

　　=-[cos（n+1）x+cosnx-cosx-1]/2sinx=右边

　　等式得证

　　三倍角公式推导

　　sin3a

　　=sin（2a+a）

　　=sin2acosa+cos2asina

　　=2sina（1-sin²a）+（1-2sin²a）sina

　　=3sina-4sin³a

　　cos3a

　　=cos（2a+a）

　　=cos2acosa-sin2asina

　　=（2cos²a-1）cosa-2（1-sin²a）cosa

　　=4cos³a-3cosa

　　sin3a=3sina-4sin³a

　　=4sina（3/4-sin²a）

　　=4sina[（√3/2）²-sin²a]

　　=4sina（sin²60°-sin²a）

　　=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）

　　=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°+a）/2]

　　=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）

　　cos3a=4cos³a-3cosa

　　=4cosa（cos²a-3/4）

　　=4cosa[cos²a-（√3/2）²]

　　=4cosa（cos²a-cos²30°）

　　=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）

　　=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}

　　=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）

　　=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]

　　=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]

　　=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）

　　上述两式相比可得

　　tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）

[编辑本段]

三角函数的诱导公式

　　公式一：

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

　　cos（2kπ＋α）＝cosα

　　tan（2kπ＋α）＝tanα

　　cot（2kπ＋α）＝cotα

　　公式二：

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π＋α）＝－sinα

　　cos（π＋α）＝－cosα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　cot（π＋α）＝cotα

　　公式三：

　　任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

　　sin（－α）＝－sinα

　　cos（－α）＝cosα

　　tan（－α）＝－tanα

　　cot（－α）＝－cotα

　　公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π－α）＝sinα

　　cos（π－α）＝－cosα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　cot（π－α）＝－cotα

　　公式五：

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（2π－α）＝－sinα

　　cos（2π－α）＝cosα

　　tan（2π－α）＝－tanα

　　cot（2π－α）＝－cotα

　　公式六：

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π/2＋α）＝cosα

　　cos（π/2＋α）＝－sinα

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　cot（π/2＋α）＝－tanα

　　sin（π/2－α）＝cosα

　　cos（π/2－α）＝sinα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　cot（π/2－α）＝tanα

　　sin（3π/2＋α）＝－cosα

　　cos（3π/2＋α）＝sinα

　　tan（3π/2＋α）＝－cotα

　　cot（3π/2＋α）＝－tanα

　　sin（3π/2－α）＝－cosα

　　cos（3π/2－α）＝－sinα

　　tan（3π/2－α）＝cotα

　　cot（3π/2－α）＝tanα

　　（以上k∈Z）

　　补充：

6×9＝54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）

f（β）→

　　f（β）＝↘

　　β↓

　　sinβ

　　cosβ

　　tanβ

　　cotβ

　　secβ

　　cscβ

360k+α

sinα

cosα

tanα

cotα

secα

cscα

90°-α

cosα

sinα

cotα

tanα

cscα

secα

90°+α

cosα

-sinα

-cotα

-tanα

-cscα

secα

180°-α

sinα

-cosα

-tanα

-cotα

-secα

cscα

180°+α

-sinα

-cosα

tanα

cotα

-secα

-cscα

270°-α

-cosα

-sinα

cotα

tanα

-cscα

-secα

270°+α

-cosα

sinα

-cotα

-tanα

cscα

-secα

360°-α

-sinα

cosα

-tanα

-cotα

secα

-cscα

﹣α

-sinα

cosα

-tanα

-cotα

secα

-cscα

　　定名法则

　　90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。

90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。

也就是“奇余偶同，奇变偶不变”

　　定号法则

　　将α看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。

也就是“象限定号，符号看象限”

　　比如:

90°+α。

定名：

90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：

将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为负，余弦为正。

所以sin（90°+α）=cosα,cos（90°+α）＝-sinα这个非常神奇，屡试不爽~

[编辑本段]

三角形与三角函数

　　1、正弦定理：

在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R．（其中R为外接圆的半径）

　　2、第一余弦定理：

三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=ccosB+bcosC

　　3、第二余弦定理：

三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a^2=b^2+c^2-2bccosA

　　4、正切定理（napier比拟）：

三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a-b）/（a+b）=tan[（A-B）/2]/tan[（A+B）/2]=tan[（A-B）/2]/cot（C/2）

　　5、三角形中的恒等式：

　　对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　证明:

　　已知（A+B）=（π-C）

　　所以tan（A+B）=tan（π-C）

　　则（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）

　　整理可得

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　类似地,我们同样也可以求证:

当α+β+γ=nπ（n∈Z）时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

[编辑本段]

部分高等内容

　　·高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得）：

　　sinx=[e^（ix）-e^（-ix）]/（2i）

　　cosx=[e^（ix）+e^（-ix）]/2

　　tanx=[e^（ix）-e^（-ix）]/[ie^（ix）+ie^（-ix）]

　　泰勒展开有无穷级数，e^z=exp（z）＝1＋z/1！

＋z^2/2！

＋z^3/3！

＋z^4/4！

＋…＋z^n/n！

＋…

　　此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

　　·三角函数作为微分方程的解：

　　对于微分方程组y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

　　Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

　　补充：

由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

　　:

　　角度a0°30°45°60°90°180°

　　1.sina01/2√2/2√3/210

　　2.cosa1√3/2√2/21/20-1

　　3.tana0√3/31√3/0

　　4.cota/√31√3/30/

　　（注：

“√”为根号）

[编辑本段]

三角函数的计算

　　幂级数

　　c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn（n=0..∞）

　　c0+c1（x-a）+c2（x-a）2+...+cn（x-a）n+...=∑cn（x-a）n（n=0..∞）

　　它们的各项都是正整数幂的幂函数,其中c0,c1,c2,...及a都是常数,这种级数称为幂级数.

　　泰勒展开式（幂级数展开法）:

　　f（x）=f（a）+f'（a）/1!

*（x-a）+f''（a）/2!

*（x-a）2+...f（n）（a）/n!

*（x-a）n+...

　　实用幂级数：

　　ex=1+x+x2/2!

+x3/3!

+...+xn/n!

+...

　　ln（1+x）=x-x2/3+x3/3-...（-1）k-1*xk/k+...（|x|<1）

　　sinx=x-x3/3!

+x5/5!

-...（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!

+...（-∞

　　cosx=1-x2/2!

+x4/4!

-...（-1）k*x2k/（2k）!

+...（-∞

　　arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+...（|x|<1）

　　arccosx=π-（x+1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5+...）（|x|<1）

　　arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...（x≤1）

　　sinhx=x+x3/3!

+x5/5!

+...（-1）k-1*x2k-1/（2k-1）!

+...（-∞

　　coshx=1+x2/2!

+x4/4!

+...（-1）k*x2k/（2k）!

+...（-∞

　　arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/（2*4）*x5/5-...（|x|<1）

　　arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...（|x|<1）

　　在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。

　　--------------------------------------------------------------------------------

　　傅立叶级数（三角级数）

　　f（x）=a0/2+∑（n=0..∞）（ancosnx+bnsinnx）

　　a0=1/π∫（π..-π）（f（x））dx

　　an=1/π∫（π..-π）（f（x）cosnx）dx

　　bn=1/π∫（π..-π）（f（x）sinnx）dx

　　三角函数的数值符号

　　正弦　第一，二象限为正，　第三，四象限为负

　　余弦　第一，四象限为正　第二，三象限为负

　　正切　第一，三象限为正　第二，四象限为负

[编辑本段]

三角函数定义域和值域

　　sin（x）,cos（x）的定义域为R,值域为〔-1,1〕

　　tan（x）的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为R

　　cot（x）的定义域为x不等于kπ,值域为R

[编辑本段]

初等三角函数导数

　　y=sinx---y'=cosx

　　y=cosx---y'=-sinx

　　y=tanx---y'=1/（cosx）^2;=（secx）^2;

　　y=cotx---y'=-1/（sinx）^2=-（cscx）^2;

　　y=secx---y'=secxtanx

　　y=cscx---y'=-cscxcotx

　　y=arcsinx---y'=1/√1-x^2;

　　y=arccosx---y'=-1/√1-x^2;

　　y=arctanx---y'=1/（1+x^2;）

　　y=arccotx---y'=-1/（1+x^2;）

[编辑本段]

反三角函数

　　三角函数的反函数，是多值函数。

它们是反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。

为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsinx；相应地，反余弦函数y=arccosx的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctanx的主值限在-π/2

　　反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。

其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1（x）.

　　反三角函数主要是三个：

　　y=arcsin（x），定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；

　　y=arccos（x），定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；

　　y=arctan（x），定义域（-∞,+∞），值域（-π/2,π/2），图象用绿色线条；

　　sinarcsin（x）=x,定义域[-1,1],值域【-π/2,π/2】

　　证明方法如下：

设arcsin（x）=y,则sin（y）=x,将这两个式子代如上式即可得

　　其他几个用类似方法可得。