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工程制图基础
第1章点、直线、平面的投影
在工程图样中,为了在平面上表达空间物体的形状,广泛采用投影的方法。
本章介绍投影法的基本概念和如何在平面上表示空间几何要素(点、直线和平面)的方法。
1.1投影法的基本知识
在日常生活中,物体在光线的照射下,就会在地面或墙壁上产生一个物体的影子。
人们根据这一自然物理现象,创造了用投影来表达物体形状的方法,即:
光线通过物体向选定的面投射,并在该面上得到图形,这种现象就叫投影(projection)。
这种确定空间几何元素和物体投影的方法,称为投影法(projectionmethod)。
投影法通常分为中心投影法(perspectiveprojectionmethod)和平行投影法(parallelprojectionmethod)两种。
1.1.1中心投影法
如图1-1所示,设一平面P(投影面)与光源S(投影中心)之间,有一个△ABC(被投影物)。
经投影中心S分别向△ABC顶点A、B、C各引一直线SA、SB、SC(称为投射线),并与投影面P交于a、b、c三点。
则a、b、c三点就是空间A、B、C三点在P平面上的投影,△abc就是空间△ABC在P平面上的投影。
图1-1中心投影法
这种投射线汇交于一点的投影方法称为中心投影法。
中心投影法的投影中心位于有限远处,该投影法得到的投影图形称为中心投影。
由于中心投影法得到的物体投影的大小与物体的位置有关,如果改变物体(△ABC)与投影中心(S)的距离,投影(△abc)的大小也随之改变,即不能反映空间物体的实际大小。
因此,中心投影法通常不用于绘制机械图样,而用于建筑物的外观透视图等。
1.1.2平行投影法
如图1-2所示,若将投影中心S沿一不平行于投影面的方向移到无穷远处,则所有投射线将趋于相互平行。
这种投射线相互平行的投影方法,称为平行投影法。
平行投影法的投影中心位于无穷远处,该投影法得到的投影图形称为平行投影。
投射线的方向称为投影方向。
由于平行投影法中,平行移动空间物体,即改变物体与投影面的距离时,它的投影的形状和大小都不会改变。
平行投影法按照投射线与投影面倾角的不同又分为正投影法(Orthogonalmethod)和斜投影法(Obliqueprojectionmethod)两种:
当投影方向(即投射线的方向)垂直于投影面时称为正投影法,如图1-2(a)所示;当投影方向倾斜于投影面时称为斜投影法,如图1-2(b)所示。
正投影法得到的投影称为正投影,斜投影法得到的投影称为斜投影。
(a)正投影法(b)斜投影法
图1-2平行投影法
正投影法是机械图样绘制中最常用的一种方法。
本教材后续章节中提及的投影,若无特殊说明,均指正投影。
1.2点的投影
点(point)是构成形体最基本的几何元素,一切几何形体都可看作是点的集合。
点的投影(pointprojection)是线(line)、面(surface)、体(body)的投影基础。
1.2.1点的单面投影
如图1-3所示,已知投影面P和空间点A,过点A作P平面的垂线(投射线),得唯一投影a。
反之,若已知点的投影a,就不能唯一确定A点的空间位置。
也就是说,点的一个投影不能确定点的空间位置,即:
单面投影不具有“可逆性”。
因此,常将几何形体放置在相互垂直的两个或三个投影面之间,然后向这些投影面作投影,形成多面正投影。
图1-3点的单面投影及其空间位置关系
1.2.2点的两面投影
如图1-4(a)所示,设置两个互相垂直的平面为投影面(projectionplane),其中一个是正立投影面(verticalprojectionplane)用V表示,另一个是水平投影面(horizontalprojectionplane)用H表示,V面和H面组成两投影面体系。
两投影面的交线为投影轴(projectionaxis)用OX表示。
(a)立体图(b)投影面展开后(c)投影图
图1-4点在V、H两面体系中的投影
在两面投影体系中,设一空间点A,从A点分别向H面、V面作垂线(投射线),其垂足分别是点A的水平投影a和正面投影a¢。
由于Aa¢⊥V、Aa⊥H,故投射面Aaa¢⊥OX轴并交于点aX,因此,a¢aX⊥OX、aaX⊥OX。
如图1-4(a)中A点投影a、a¢分别在H面、V面上,要把两个投影表示在一个平面上,按照国家制图标准规定:
V面不动,将H面绕OX轴、按图1-4(a)中所示箭头的方向,自前向下旋转90°与V面重合,如图1-4(b)所示,称为点的两面投影图。
由于投影面是无限的,故在投影图上通常不画出它的边框线,这样便得到如图1-4(c)所示的点的两面投影图。
从图1-4(a)和图1-4(c),根据立体几何知识,可以知道平面AaaXa¢为一矩形,展开后aa¢形成一条投影连线并与OX轴交于点aX,且aa¢⊥OX轴。
同时,a¢aX=Aa,反映点A到H面的距离;aaX=Aa¢,反映点A到V面的距离。
这里需要说明的是:
规定空间点用大写字母表示(如A),点的水平投影用相应的小写字母表示(如a),点的正面投影用相应的小写字母并在右上角加一撇表示(如a¢)。
从上面可以概括出点的两面投影特性:
(1)点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴,即:
aa¢⊥OX;
(2)点的正面投影到OX轴的距离等于点到H面的距离,点的水平投影到OX轴的距离等于点到V面的距离,即:
a¢aX=Aa,aaX=Aa¢。
1.2.3点的三面投影
虽然点的两面投影已能确定该点的位置,但为了更清楚地图示某些几何形体,在两投影面体系的基础上,再增加一个与V面、H面都垂直的侧立投影面(profileprojectionplane),用W表示,如图1-5(a)所示。
三个投影面之间两两相交产生三条交线,即三条投影轴OX、OY、OZ,它们相互垂直并交于O点,形成三投影面体系。
(a)立体图(b)投影面展开后(c)投影图
图1-5点在V、H、W三面体系中的投影
如图1-5(a)所示:
从A向W面作垂线(投射线),垂足即为A点的侧面投影,记作a²。
这里需要指出的是,规定点的侧面(W面)投影用空间点的相应小写字母右上角加两撇表示。
在三投影面体系中,三条投射线每两条可以确定一个投射面,即平面Aaa¢、Aaa²、Aa¢a²,它们分别与三投影轴OX、OY、OZ交于点aX、aY、aZ。
为了将三个投影a、a¢、a²表示在一个平面上,参照两面投影体系,根据国家制图标准规定:
V面不动,H面、W面按图1-5(a)中箭头所示方向分别绕OX轴自前向下旋转90°、绕OZ轴自前向右旋转90°。
这样,H面、W面与V面就重合成一个平面。
这里投影轴OY被分成YH、YW两支,随H面旋转的OY轴用OYH表示,随W面旋转的OY轴用OYW表示,且OY轴上的aY点也相应地用aYH、aYW表示,如图1-5(b)。
与两面投影体系一样,投影图上不画边框线,得到空间点A在三投影面体系中的投影图,如图1-5(c)。
在投影图中,OY轴上的点aY因展开而分成aYH、aYW。
为了方便作图,可以过O点作一条45°的辅助线,aaYH、a²aYW的延长线必与该辅助线相交于一点。
从图1-5(a)和图1-5(c),同样,根据立体几何知识,可知:
展开后a¢a²形成一条投影连线并与OZ轴交于点aZ,且a¢a²⊥OZ轴。
同时,a¢aX=a²aYW=Aa,反映点A到H面的距离;a¢aZ=aaYH=Aa²,反映点A到W面的距离;a²aZ=aaX=Aa¢,反映点A到V面的距离。
从上面可以概括出点的三面投影特性:
(1)点的投影连线垂直于相应的投影轴,即:
aa¢⊥OX,a¢a²⊥OZ;
(2)点的投影到相应投影轴的距离等于点到相应投影面的距离,即:
a¢aX=a²aYW=Aa,a¢aZ=aaYH=Aa²,a²aZ=aaX=Aa¢。
利用点在三投影面体系中的投影特性,只要知道空间一点的任意两个投影,就能求出该点的第三面投影(简称为二求三)。
1.2.4点的三面投影与直角坐标的关系
如图1-6(a),若将三投影面当作三个坐标平面,三投影轴当作三坐标轴,三轴的交点O作为坐标原点,则三投影面体系便是一个笛卡儿空间直角坐标系。
因此,空间点A到三个投影面的距离,也就是A点的三个直角坐标X、Y、Z。
即,点的投影与坐标有如下关系:
点A到W面的距离Aa²=a¢aZ=aaYH=OaX=XA;
点A到V面的距离Aa¢=a²aZ=aaX=Oay=YA;
点A到H面的距离Aa=a¢aX=a²aYW=OaZ=ZA。
由此可见,若已知A点的投影(a、a¢、a²),即可确定该点的坐标,也就是确定了该点的空间位置,反之亦然。
从图1-6(b)可知,点的每个投影包含点的两个坐标,点的任意两个投影包含了点的三个坐标,所以,根据点的任意两个投影,也可确定点的空间位置。
(a)立体图(b)投影图
图1-6点的三面投影与直角坐标
【例】已知A点的直角坐标为(15,10,20),求点A的三面投影(图样中的尺寸单位为mm时,不需标注计量单位)。
〖解〗步骤如下:
(1)作相互垂直的两条细直线为投影轴,并且过原点O作一条45°辅助线平分∠YHOYW。
依据XA=OaX,沿OX轴取OaX=15mm,得到点aX,如图1-7(a);
(2)过点aX作OX轴的垂线,在此垂线上,依据ZA=a¢aX,从aX向上取a¢aX=20mm,得到点A的正面投影a¢;依据YA=aaX,从aX向下取aXa=10mm,得到点A的水平投影a,如图1-7(b);
(3)现已知点A的两面投影a、a,可求第三投影。
即:
过a作直线垂直于OYH并与45°辅助线交于一点,过此点作垂直于OYW的直线,并与过a¢所作OZ轴的垂线a¢aZ的延长线交于a²,a²即为点A侧面投影,如图1-7(c)。
(也可不作辅助角平分线,而在a¢aZ的延长线上直接量取aZa²=aaX而确定a²)。
(a)(b)(c)
图1-7由点的坐标求其投影
1.2.5两点的相对位置及重影点
1.两点的相对位置
空间两点的相对位置,是指它们之间的左右、前后、上下的位置关系,可以根据两点的各同面投影之间的坐标关系来判别。
其左右关系由两点的X坐标差来确定,X值大者在左方;其前后关系由两点的Y坐标差来确定,Y值大者在前方;其上下关系由两点的Z坐标差来确定,Z值大者在上方。
在图1-8(a)中,可以直观地看出A点在B点的左方、后方、下方。
在图1-8(b)中,也可从坐标值的大小判别出同样的结论。
(a)立体图(b)投影图
图1-8两点的相对位置
2.重影点(overlappingpoints)
若空间的两点位于某一个投影面的同一条投射线上,则它们在该投影面上的投影必重合,这两点称之为对该投影面的重影点。
重影点存在着在投影重合的投影面上的投影有一个可见,而另一个不可见的问题。
如图1-9(a),A、B两点的水平投影重合,沿水平投影方向从上往下看,先看见A点,B点被A点遮住,则B点不可见。
在投影图上若需判断可见性,应将不可见点的投影加圆括号以示区别,如图1-9(b)。
需要指出的是空间两点只能有一个投影面的投影重合,重影点的可见性判断方法如下:
(1)若两点的水平投影重合,称为对H面的重影点,且Z坐标值大者可见;
(2)若两点的正面投影重合,称为对V面的重影点,且Y坐标值大者可见;
(3)若两点的侧面投影重合,称为对W面的重影点,且X坐标值大者可见。
上述三原则,也可概括为:
前遮后,上遮下,左遮右。
(a)立体图(b)投影图
图1-9重影点及可见性
1.3直线的投影
空间任意两点确定一条直线,因此,直线的投影(lineprojection)就是直线上两点的同面投影(同一投影面上的投影)的连线。
需要注意的是直线的投影线(空间直线在某个投影面上的投影)规定用粗实线画。
如图1-10所示,直线的投影一般仍为直线(如图中直线CE),但在特殊情况下,当直线垂直于投影面时,其投影积聚为一点(如图中直线AB)。
此外,点相对于直线具有从属性,如图中D点属于CE,则同面投影中,d属于ce。
图1-10直线的投影
1.3.1各种位置的直线
在三面投影体系中,直线相对于投影面的位置有三种:
投影面的平行线、投影面的垂直线、一般位置直线。
前两种又统称为特殊位置直线。
另外,根据国家标准规定:
空间直线与投影面的夹角称为直线对投影面的倾角,且直线与H、V、W三个投影面的夹角依次用、、表示。
1.投影面的平行线(parallellineofprojectionplane)
平行于某一投影面而倾斜于另两投影面的直线,称为投影面的平行线。
根据直线所平行的投影面的不同,又可分为:
水平线(horizontalline)——平行于H面,倾斜于V、W面的直线;
正平线(frontalline)——平行于V面,倾斜于H、W面的直线;
侧平线(profileline)——平行于W面,倾斜于V、H面的直线。
表1-1列出了这三种平行线的立体图、投影图及其投影特性。
表1-1投影面的平行线
从表1-1可以概括出投影面平行线的投影特性:
(1)直线平行于某投影面,则直线在该投影面的投影反映实长,且该投影与投影轴的夹角,分别反映直线对另外两投影面的真实倾角。
(2)直线另两个投影面的投影平行于相应的投影轴,且不反映实长,比实长短。
2.投影面的垂直线(verticallineofprojectionplane)
垂直于某一投影面(必与另外两个投影面平行)的直线,称为投影面的垂直线。
根据直线所垂直的投影面的不同,又可分为:
铅垂线(verticalline)——垂直于H面,平行于V、W面的直线;
正垂线(horizontal-profileline)——垂直于V面,平行于H、W面的直线;
侧垂线(frontal-profileline)——垂直于W面,平行于V、H面的直线。
表1-2列出了这三种垂直线的立体图、投影图及其投影特性。
表1-2投影面的垂直线
从表1-2可以概括出投影面垂直线的投影特性:
(1)直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点。
(2)直线另两个投影面的投影垂直于相应的投影轴,并反映实长。
3.一般位置直线(generalpositionline)
倾斜于各投影面的直线,称为一般位置直线。
如图1-11(a)所示,空间直线AB对三个投影面都是倾斜关系,则直线的三面投影分别为ab=ABcos,a¢b¢=ABcos,a²b²=ABcos,均小于实长AB。
图1-11(b)为直线AB的三面投影图,其投影特性是:
(1)三面投影都倾斜于投影轴,且投影长度小于空间直线的实长。
(2)投影与投影轴的夹角,不反映空间直线对投影面的倾角。
(a)立体图(b)投影图
图1-11一般位置直线的投影
1.3.2两直线的相对位置
空间两直线的相对位置关系有三种:
平行(parallel)、相交(intersection)和交叉(cross)。
其中平行和相交属于共面直线,交叉是异面直线。
1.平行两直线
若空间两直线相互平行,则它们的同面投影必相互平行。
如图1-12(a),空间两直线AB∥CD,因为两投射平面ABba∥CDdc,所以在H面上的投影ab∥cd。
同理,可以得到a¢b¢∥c¢d¢,a²b²∥c²d²,如图1-12(b)。
反之,若两空间直线的同面投影是相互平行的,则该两直线在空间是平行关系。
(a)立体图(b)投影图
图1-12平行两直线
2.相交两直线
若空间两直线相交,则它们的同面投影必相交,且其交点符合点的投影规律。
如图1-13(a),空间两直线AB、CD相交于点K,因交点K在两直线上,故其投影也应在两直线的同面投影线上。
因此,空间相交两直线的同面投影一定相交,且交点的投影符合点的投影规律,如图1-13(b)。
反之,若空间两直线的同面投影相交,且交点的投影符合点的投影规律,则该两直线在空间必定是相交关系。
(a)立体图(b)投影图
图1-13相交两直线
3.交叉两直线
空间两直线既不平行又不相交的是交叉直线。
交叉两直线的同面投影可能相交,如图1-14(a),但投影交点是两直线对该投影面的一对重影点,图中ab与cd的交点,分别对应AB上的Ⅰ点和CD上的Ⅱ点,按重影点可见性的判别规定,对于不可见点的投影加括号表示。
交叉两直线同面投影的交点不符合点的投影规律,如图1-14(b)。
(a)立体图(b)投影图
图1-14交叉两直线
【例】已知如图1-15(a)所示两侧平线,判断其是否平行。
分析:
两直线处于一般位置时,只要其任意两面投影相互平行,即可判断空间两直线相互平行。
但是,当两直线同时平行于某一投影面时,则要检验两直线在所平行的投影面上的投影是否平行,才可判断空间两直线是否平行。
如图1-15(b),虽然ab∥cd、a¢b¢∥c¢d¢,但是,a²b²不平行于c²d²,因此,空间直线AB与CD不平行,是交叉两直线。
(a)已知条件(b)作图过程与结果
图1-15判断两直线是否平行
【例】已知如图1-16(a)所示一般位置直线AB与侧平线CD,判断其是否相交。
(a)已知条件(b)作图过程与结果
图1-16判断两直线是否相交
分析:
对于两条一般位置直线,通常只要其任意两面投影分别相交,且交点符合点的投影规律,则可判断空间两直线相交。
但是,当两直线中有投影面平行线时,则要检验它所平行的那个投影面上的投影,才能判断是否相交。
如图1-16(b),a²b²与c²d²虽然相交,但该交点与两直线正面投影交点的连线与Z轴不垂直,即:
交点不符合点的投影规律,因此,两直线不相交,为交叉两直线。
1.4平面的投影
1.4.1平面的表示法
在投影图上表示空间平面可以用下列几种方法来确定:
(1)不在同一直线的三点,如图1-17(a)所示;
(2)一直线和该直线外一点,如图1-17(b)所示;
(3)两条平行直线,如图1-17(c)所示;
(4)两条相交直线,如图1-17(d)所示;
(5)任意的平面图形(如三角形、四边形、圆等),如图1-17(e)所示。
以上几种确定平面的方法是可以相互转化的,且以平面图形来表示最为常见。
(a)(b)(c)(d)(e)
图1-17用几何元素表示平面
1.4.2各种位置平面及其投影特性
在三面投影体系中,平面相对于投影面有三种不同的位置:
投影面垂直面——垂直于某一个投影面而与另外两个投影面倾斜的平面;
投影面平行面——平行于某一个投影面的平面;
一般位置平面——与三个投影面都倾斜的平面。
通常我们将前两种统称为特殊位置平面。
平面对H、V、W三投影面的倾角,依次用、、表示。
平面的投影(planesprojection)一般仍为平面,特殊情况下积聚为一直线。
画平面图形的投影时,一般先画出组成平面图形各顶点的投影,然后将它们的同面投影相连即可。
下面分别介绍各种位置平面的投影及其特性。
1.投影面的垂直面(Verticalplaneofprojectionplane)
在投影面的垂直面中,只垂直于V面的平面,称为正垂面;只垂直于H面的平面,称为铅垂面;只垂直于W面的平面,称为侧垂面。
表1-3列出了三种垂直面的立体图、投影图及其投影特性。
由表1-3可以概括出投影面垂直面的投影特性:
(1)平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一条直线,该直线与投影轴的夹角反映
该平面对另外两个投影面的真实倾角;
(2)另外两个投影面上的投影,均为小于空间平面图形的类似形。
2.投影面的平行面(Parallelplaneofprojectionplane)
在投影面的平行面中,平行于H面的平面,称为水平面;平行于V面的平面,称为正平面;平行于W面的平面,称为侧平面。
表1-3投影面垂直面
平面的位置
立体图
投影图
投影特性
铅垂面
1.水平投影积聚成一直线,并反映真实倾角、。
2.正面投影、侧面投影不反映实形,为空间平面的类似形。
正垂面
1.正面投影积聚成一直线,并反映真实倾角、。
2.水平投影、侧面投影不反映实形,为空间平面的类似形。
侧垂面
1.侧面投影积聚成一直线,并反映真实倾角、。
2.水平投影、正面投影不反映实形,为空间平面的类似形。
表1-4列出了三种平行面的立体图、投影图及其投影特性。
由表1-4可以概括出投影面平行面的投影特性:
(1)在所平行的投影面上的投影,反映实形;
(2)另两个投影面上的投影,均积聚为平行于相应投影轴的直线。
表1-4投影面平行面
3.一般位置平面(generalpositionplane)
一般位置平面与三个投影面都是倾斜关系,如图1-18所示。
(a)立体图(b)投影图
图1-18一般位置平面
一般位置平面的投影特性是:
三面投影均是小于空间平面图形的类似形,不反映实形,也不反映空间平面对投影面的倾角真实大小。
4.特殊位置平面的迹线(vestigeline)表示法
当平面垂直于投影面,而在投影图上只需要表明其所在位置时,则可以用平面与该投影面的交线——迹线来表示。
用迹线表示垂直平面时,是用粗实线画出平面有积聚性的迹线,并注上相应的标记即可,如图1-19所示。
平面P与H面的交线称为水平迹线,用PH标记;平面Q与V面的交线称为正面迹线,用QV标记。
(a)铅垂面的迹线表示(b)水平面的迹线表示
图1-19用迹线表示特殊位置平面
1.4.3平面上的点和直线
点和直线在平面上的几何条件是:
(1)平面上的点,必定在该平面的某条直线上。
由此可见,在平面内取点,必须先在平面内取直线,然后在此直线上取点。
(2)平面上的直线,必定通过平面上的两点;或者通过平面内一点,且平行于平面内任一条直线。
图1-20给出了上述几何条件的立体图,图1-21是其投影图。
(a)点在平面ABC内的条件(b)直线在平面ABC内的条件
图1-20平面上的点和直线立体图
(a)点在平面ABC内(b)直线在平面ABC内
图1-21一般位置平面内取点、线投影图
特殊位置平面由于其所垂直的投影面上的投影积聚成直线,因此,这类平面上的点和直线,在该平面所垂直的投影面上的投影,位于平面有积聚性的投影或迹线上,如图1-22。
(a)在三角形平面内取点线(b)在迹线面内取点线
图1-22特殊位置平面内取点、线投影图
【例】如图1-23(a),已知平面△ABC以及点D的两面投影,求:
(1)判断点D是否在平面上;
(2)在平面上作一条正平线EF,使EF到V面距离为20mm。
(a)已知条件(b)判断点D是否在平面上(c)求正平线EF
图1-23判断点是否在平面上及平面上取线
〖解〗分析与作图
(1)D点若在△ABC平面内的某条直线上,则点D在平面上,否则就不在平面上。
判断方法如图1-23(b)所示:
连接ad并延长交bc于点m,在b¢c¢上作出m对应的正面投影点m¢,连接a¢m¢,则AM必在平面△ABC上,但d¢不在a¢m¢上,故点D不在平面上。
(2)因为EF是正平线,根据正平线的投影特性,EF的水平投影应平行于OX轴,且到OX轴的距离为EF到V面的距离。
因此,先从水平投影开始作图。
如图1-23(c),作ef平行于OX轴,且到OX轴的距离为20mm。
ef交ab、bc于点1、
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