学年高中数学第二章概率26正态分布学案.docx
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学年高中数学第二章概率26正态分布学案
2.6 正态分布
1.了解正态密度曲线及正态分布的概念,认识正态密度曲线的特征.(重点、难点)
2.会根据标准正态分布求随机变量在一定范围内取值的概率,会用正态分布解决实际问题.(重点)
[基础·初探]
教材整理1 正态密度曲线
阅读教材P75~P76第三自然段,完成下列问题.
1.正态密度曲线的函数表达式是P(x)=
e-
,x∈R,这里有两个参数μ和σ,其中μ是随机变量X的均值,σ2是随机变量X的方差,且σ>0,μ∈R.不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线.
2.正态密度曲线图象具有如下特征:
(1)当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降;当曲线向左右两边无限延伸时,以x轴为渐近线;
(2)正态曲线关于直线x=μ对称;
(3)σ越大,正态曲线越扁平;σ越小,正态曲线越尖陡;
(4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正态变量函数表达式中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.( )
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量.( )
(3)正态曲线是一条钟形曲线.( )
(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述,连续型随机变量的概率分布用分布列描述.( )
【解析】
(1)× 因为正态分布变量函数表述式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计,而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,用样本的标准差去估计.
(2)√ 因为离散型随机变量最多取有限个不同值.而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值.
(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确.
(4)× 因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述,连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述.
【答案】
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
2.把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位,得到一条新的曲线b,下列说法中不正确的是______.
(填序号)
①曲线b仍然是正态曲线;
②曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
③以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2;
④以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.
【解析】 正态曲线向右平移2个单位,σ不发生变化,故③错误.
【答案】 ③
教材整理2 正态分布
阅读教材P76第四自然段~P79部分,完成下列问题.
1.正态分布:
若X是一个随机变量,则对任给区间(a,b],P(a 2.正态变量在三个特殊区间内取值的概率 若X~N(μ,σ2)时, (1)落在区间(μ-σ,μ+σ)上的概率约为68.3%, (2)落在区间(μ-2σ,μ+2σ)上的概率约为95.4%, (3)落在区间(μ-3σ,μ+3σ)上的概率约为99.7%. 由于落在(μ-3σ,μ+3σ)内的概率为0.997,落在该区间之外的概率仅为0.003,属小概率事件,因而认为X极大可能取(μ-3σ,μ+3σ)内的值. 3.中心极限定理 在独立地大数量重复试验时,就平均而言,任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布,这就是中心极限定理. 关于正态分布N(μ,σ2),下列说法正确的是________.(填序号) ①随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件; ②随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件; ③随机变量落在(-3σ,3σ)之外是一个小概率事件; ④随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件. 【解析】 ∵P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.9974, ∴P(X>μ+3σ或X<μ-3σ)=1-P(μ-3σ<X<μ+3σ)=1-0.9974=0.0026, ∴随机变量落在(μ-3σ,μ+3σ)之外是一个小概率事件. 【答案】 ④ [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1: 解惑: 疑问2: 解惑: 疑问3: 解惑: [小组合作型] 正态密度函数与正态密度曲线的特征 (1)设两个正态分布N(μ1,σ )(σ1>0)和N(μ2,σ )(σ2>0)的密度函数图象如图261所示,则有______________________________________________. 图261 ①μ1<μ2,σ1<σ2;②μ1<μ2,σ1>σ2; ③μ1>μ2,σ1<σ2;④μ1>μ2,σ1>σ2. (2)设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),则下列结论正确的是________. ①P(|ξ|<a)=P(ξ<a)+P(ξ>-a)(a>0); ②P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)-1(a>0); ③P(|ξ|<a)=1-2P(ξ<a)(a>0); ④P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0). 【精彩点拨】 (1)根据μ,σ对密度曲线特征的影响进行比较; (2)结合N(0,1)的图象特征逐一检验. 【自主解答】 (1)由两密度曲线的对称轴位置知: μ1<μ2;由曲线的陡峭程度知: σ1<σ2. (2)因为P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a),所以①不正确; 因为P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a)=P(ξ<a)-P(ξ<-a)=P(ξ<a)-P(ξ>a)=P(ξ<a)-(1-P(ξ<a))=2P(ξ<a)-1,所以②正确,③不正确;因为P(|ξ|<a)+P(|ξ|>a)=1,所以P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|>a)(a>0),所以④正确. 【答案】 (1)① (2)②④ 1.正态密度函数中,有两个参数μ,σ.μ即均值,σ为标准差. 2.在正态密度曲线中,参数μ确定了曲线的对称轴,σ确定了曲线的陡峭程度. [再练一题] 1.关于正态曲线P(x)= e- ,x∈(-∞,+∞),σ>0有以下命题: ①正态密度曲线关于直线x=μ对称; ②正态密度曲线关于直线x=σ对称; ③正态密度曲线与x轴一定不相交; ④正态密度曲线与x轴一定相交; ⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数; ⑥曲线对称轴由μ确定,曲线的形状由σ决定; ⑦当μ一定时,σ越大,曲线越“扁平”,σ越小,曲线越“尖陡”. 其中正确的是________(填序号). 【解析】 根据正态分布曲线的性质可得,由于正态密度曲线是一条关于直线x=μ对称,在x=μ处处于最高点,并由该点向左、右两边无限延伸,逐渐降低的曲线,该曲线总是位于x轴的上方,曲线形状由σ决定,而且当μ一定时,比较若干个不同的σ对应的正态曲线,可以发现σ越大,曲线越“扁平”,σ越小,曲线越“尖陡”.故①③⑥⑦正确. 【答案】 ①③⑥⑦ 利用正态分布的对称性解题 设随机变量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1). (1)求c的值; (2)求P(-4<x<8). 【精彩点拨】 (1)利用对称性求c的值; (2)利用正态曲线在三个特殊区间内的概率求解. 【自主解答】 (1)由X~N(2,9)可知,密度函数关于直线x=2对称(如图所示),又P(X>c+1)=P(X<c-1),故有2-(c-1)=(c+1)-2,∴c=2. (2)P(-4<x<8)=P(2-2×3<x<2+2×3)=0.954. 正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 1.充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 2.熟记P(μ-σ<X≤μ+σ),P(μ-2σ<X≤μ+2σ),P(μ-3σ<X≤μ+3σ)的值. 3.注意概率值的求解转化: (1)P(X<a)=1-P(X≥a); (2)P(X<μ-a)=P(X≥μ+a); (3)若b<μ,则P(X<b)= . [再练一题] 2.若随机变量X~N(0,1),查标准正态分布表,求: (1)P(X≤1.26); (2)P(X>1.26); (3)P(0.51 【解】 (1)P(X≤1.26)=0.8962. (2)P(X>1.26)=1-P(X≤1.26) =1-0.8962=0.1038. (3)P(0.51 (4)P(X≤-2.1)=P(X≥2.1)=1-P(X≤2.1)=1-0.9821=0.0179. [探究共研型] 正态分布的实际应用 探究1 若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25),那么该圆柱形零件外直径的均值,标准差分别是什么? 【提示】 零件外直径的均值为μ=4,标准差σ=0.5. 探究2 某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25),若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品.试问1000件这种的零件中约有多少件一等品? 【提示】 P(3.5<ε≤4.5)=P(μ-σ<ε<μ+σ)=0.6826,所以1000件产品中大约有1000×0.6826≈683(件)一等品. 探究3 某厂生产的圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25).质检人员从该厂生产的1000件这种零件中随机抽查一件,测得它的外直径为5.7cm.试问该厂生产的这批零件是否合格? 【提示】 由于圆柱形零件的外直径ε~N(4,0.25), 由正态分布的特征可知,正态分布N(4,0.25)在区间(4-3×0.5,4+3×0.5), 即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003,而5.7∈(2.5,5.5). 这说明在一次试验中,出现了几乎不可能发生的小概率事件,根据统计中假设检验的基本思想,认为该厂这批零件是不合格的. 设在一次数学考试中,某班学生的分数X~N(110,202),且知试卷满分150分,这个班的学生共54人,求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数. 【精彩点拨】 将P(X≥90)转化为P(X-μ≥-σ),然后利用对称性及概率和为1,得到2P(X-μ≤-σ)+0.6826=1,进而求出P(X≥90)的值,同理可解得P(X≥130)的值. 【自主解答】 μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X-110≥-20)=P(X-μ≥-σ), ∵P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ≥σ) =2P(X-μ≤-σ)+0.6826=1, ∴P(X-μ≤-σ)=0.1587, ∴P(X≥90)=1-P(X-μ≤-σ)=1-0.1587=0.8413. ∴54×0.8413≈45(人),即及格人数约为45人. ∵P(X≥130)=P(X-110≥20)=P(X-μ≥σ), ∴P(X-μ≤-σ)+P(-σ≤X-μ≤σ)+P(X-μ≥σ) =0.6826+2P(X-μ≥σ)=1, ∴P(X-μ≥σ)=0.1587,即P(X≥130)=0.1587. ∴54×0.1587≈9(人),即130分以上的人数约为9人. 1.本题利用转化的思想方法,把普通的区间转化为3σ区间,由特殊区间的概率值求出. 2.解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]三个区间内的概率.在此过程中用到归纳思想和数形结合思想. [再练一题] 3.(2016·镇江质检)某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间X(单位: 分)近似服从正态分布X~N(50,102),求他在(30,60]分内赶到火车站的概率.【导学号: 29440061】 【解】 ∵X~N(50,102),∴μ=50,σ=10. ∴P(30 = P(μ-2σ P(μ-σ = ×0.9544+ ×0.6826=0.8185. 即他在(30,60]分内赶到火车站的概率是0.8185. [构建·体系] 1.若随机变量ξ~N(0,1),则P(ξ<0)=________. 【解析】 ∵P(ξ<0)=P(ξ>0),且P(ξ>0)+P(ξ<0)=1,∴P(ξ<0)= . 【答案】 2.设正态密度曲线P(x)= e- ,x∈R,则总体的均值为________,方差为________. 【解析】 结合正态密度曲线的定义可知,总体的均值为1,方差为4. 【答案】 1 4 3.若随机变量X~N(μ,σ2),则P(X≤μ)=________. 【解析】 由于随机变量X~N(μ,σ2),其正态密度曲线关于直线X=μ对称,故P(X≤μ)= . 【答案】 4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.84,则P(X≤0)=________.【导学号: 29440062】 【解析】 由X~N(2,σ2),可知其正态曲线如图所示,对称轴为x=2,则P(X≤0)=P(X≥4)=1-P(X<4)=1-0.84=0.16. 【答案】 0.16 5.随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=0.8413,求P(-1<ξ≤0). 【解】 如图所示,因为P(ξ≤1)=0.8413,所以P(ξ>1)=1-0.8413=0.1587,所以P(ξ≤-1)=0.1587,所以P(-1<ξ≤0)=0.5-0.1587=0.3413. 我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2) 学业分层测评 (建议用时: 45分钟) [学业达标] 一、填空题 1.已知随机变量X服从正态分布N(3,σ2),则P(X<3)=________. 【解析】 由正态分布图象(图略)知,μ=3为该图象的对称轴,P(X<3)=P(X>3)= . 【答案】 2.若随机变量X服从标准正态分布N(0,1),则X在区间(-3,3]上取值的概率等于________. 【答案】 0.997 3.如图262是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时的三种正态曲线N(0,σ2)的图象,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是________. 图262 【解析】 由已知得 = ,∴σ2=1. 由正态曲线的性质知,当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,所以σ1<σ2<σ3. 【答案】 σ1<σ2<σ3 4.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为________. 【解析】 由对称性知,P(1<ξ<2)=P(0<ξ<1)=0.4, ∴P(0<ξ<2)=P(0<ξ<1)+P(1<ξ<2)=0.8. 【答案】 0.8 5.已知正态总体落在区间(0.2,+∞)内的概率是0.5,那么相应的正态曲线f(x)在x=________时达到最高点.【导学号: 29440063】 【解析】 由正态曲线的性质知: μ=0.2,故x=0.2时,正态曲线f(x)达到最高点. 【答案】 0.2 6.已知随机变量X~N(2,σ2),若P(X<a)=0.32,则P(a≤X<4-a)=________. 图263 【解析】 由正态分布图象的对称性可得: P(a≤X<4-a)=1-2P(X<a)=0.36. 【答案】 0.36 7.已知X~N(0,σ2)且P(-2≤X≤0)=0.4,则P(X>2)=________. 【解析】 ∵P(0≤X≤2)=P(-2≤X≤0)=0.4, ∴P(X>2)= (1-2×0.4)=0.1. 【答案】 0.1 8.已知正态分布N(μ,σ2)的密度曲线是 P(x)= e- ,x∈R.给出以下四个命题: ①对任意x∈R,P(μ+x)=P(μ-x)成立; ②如果随机变量X服从N(μ,σ2),且F(x)=P(X ③如果随机变量X服从N(108,100),那么X的期望是108,标准差是100; ④随机变量X服从N(μ,σ2),P(X<1)= ,P(X>2)=p,则P(0 其中,真命题的序号是________.(写出所有真命题的序号) 【解析】 画出正态分布N(μ,σ2)的密度曲线如图. 由图可得: ①图象关于x=μ对称,故①正确; ②随着x的增加,F(x)=P(ξ ③如果随机变量ξ服从N(108,100),那么ξ的期望是108,标准差是10; ④由图象的对称性,可得④正确.故填①②④. 【答案】 ①②④ 二、解答题 9.已知某种零件的尺寸X(单位: mm)服从正态分布,其正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,且P(80)= . (1)求正态分布密度函数的解析式; (2)估计尺寸在72mm~88mm之间的零件大约占总数的百分之几. 【解】 (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数,所以正态曲线关于直线x=80对称,且在x=80处取得最大值. 因此得μ=80, = ,所以σ=8. 故正态分布密度函数的解析式是 P(x)= e- (x∈R). (2)由μ=80,σ=8,得μ-σ=80-8=72,μ+σ=80+8=88, 所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.683.因此尺寸在72mm~88mm间的零件大约占总数的68.3%. 10.设X~N(6,1),求P(4<X≤5). 【解】 由已知得μ=6,σ=1. ∵P(5<X≤7)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.683, P(4<X≤8)=P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954. 如图,由正态分布的对称性知 P(4<x≤5)=P(7<x≤8). ∴P(4<x≤5)= [P(4<x≤8)-P(5<x≤7)] = ×0.271=0.1355. [能力提升] 1.对于正态分布N(0,1)的概率密度函数P(x)= e- ,有下列四种说法: ①P(x)为偶函数;②P(x)的最大值为 ;③P(x)在x>0时是单调减函数,在x≤0时是单调增函数;④P(x)关于σ=1对称.不正确的是________(填序号). 【解析】 ∵X~N(0,1),∴曲线的对称轴为x=μ=0. 【答案】 ④ 2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)等于________. 【解析】 ∵P(ξ<4)=0.8, ∴P(ξ>4)=0.2. 由题意知图象的对称轴为直线x=2, P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ<0)-P(ξ>4)=0.6, ∴P(0<ξ<2)= P(0<ξ<4)=0.3. 【答案】 0.3 3.若随机变量ξ服从正态分布N(0,1),已知P(ξ≤-1.96)=0.025,则P(|ξ|≤1.96)等于________. 【解析】 由随机变量ξ服从正态分布N(0.1), 得P(ξ<1.96)=1-P(ξ≤-1.96), 所以P(|ξ|≤1.96)=P(-1.96<ξ<1.96) =P(ξ≤1.96)-P(ξ≤-1.96) =1-2P(ξ≤-1.96) =1-2×0.025=0.950. 【答案】 0.950 4.(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: 图264 (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数 ,σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布,求P(187.8 ②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求E(X). 附: ≈12.2. 若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ 【解】 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差s2分别为 =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150. (2)①由 (1)知,Z~N(200,150),从而P(187.8 ②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),所以E(X)=100×0.6826=68.26.
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