实用参考重庆中考数学24题专题doc.docx
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实用参考重庆中考数学24题专题doc
重庆中考几何
一、有关几何的基本量:
线段、角度、全等、面积、四边形性质
1、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E为AB延长线上一点,连接ED,与BC交于点H.过E作CD的垂线,垂足为CD上的一点F,并与BC交于点G.已知G为CH的中点,且∠BEH=∠HEG.
(1)若HE=HG,求证:
△EBH≌△GFC;
(2)若CD=4,BH=1,求AD的长.
(1)证明:
∵HE=HG,
∴∠HEG=∠HGE,
∵∠HGE=∠FGC,∠BEH=∠HEG,
∴∠BEH=∠FGC,
∵G是HC的中点,
∴HG=GC,
∴HE=GC,
∵∠HBE=∠CFG=90°.
∴△EBH≌△GFC;
(2)解:
过点H作HI⊥EG于I,
∵G为CH的中点,
∴HG=GC,
∵EF⊥DC,
HI⊥EF,
∴∠HIG=∠GFC=90°,
∠FGC=∠HGI,
∴△GIH≌△GFC,
∵△EBH≌△EIH(AAS),
∴FC=HI=BH=1,
∴AD=4-1=3.
2、已知,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°.分别以AB、AC为边,向形外作等边△ABD和等边△ACE.
(1)如图1,连接线段BE、CD.求证:
BE=CD;
(2)如图2,连接DE交AB于点F.求证:
F为DE中点.
证明:
(1)∵△ABD和△ACE是等边三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
AC=AE∠DAC=∠BAEAD=AB,
∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴DC=BE;
(2)如图,作DG∥AE,交AB于点G,
由∠EAC=60°,∠CAB=30°得:
∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°,
∴∠DGF=∠FAE=90°,
又∵∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°,
又∵△ABD为等边三角形,∠DBG=60°,DB=AB,
∴∠DBG=∠ABC=60°,
在△DGB和△ACB中,
∠DGB=∠ACB∠DBG=∠ABCDB=AB,
∴△DGB≌△ACB(AAS),
∴DG=AC,
又∵△AEC为等边三角形,∴AE=AC,
∴DG=AE,
在△DGF和△EAF中,
∠DGF=∠EAF∠DFG=∠EFADG=EA,
∴△DGF≌△EAF(AAS),
∴DF=EF,即F为DE中点.
3、如图,在直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AB∥DC,AB=BC,AD与BC延长线交于点F,G是DC延长线上一点,AG⊥BC于E.
(1)求证:
CF=CG;
(2)连接DE,若BE=4CE,CD=2,求DE的长.
解答:
(1)证明:
连接AC,
∵DC∥AB,AB=BC,
∴∠1=∠CAB,∠CAB=∠2,
∴∠1=∠2;
∵∠ADC=∠AEC=90°,AC=AC,
∴△ADC≌△AEC,
∴CD=CE;
∵∠FDC=∠GEC=90°,∠3=∠4,
∴△FDC≌△GEC,
∴CF=CG.
(2)解:
由
(1)知,CE=CD=2,
∴BE=4CE=8,
∴AB=BC=CE+BE=10,
∴在Rt△ABE中,AE=AB2-BE2=6,
∴在Rt△ACE中,AC=AE2+CE2=
由
(1)知,△ADC≌△AEC,
∴CD=CE,AD=AE,
∴C、A分别是DE垂直平分线上的点,
∴DE⊥AC,DE=2EH;(8分)
在Rt△AEC中,S△AEC=
AE•CE=
AC•EH,
∴EH=
=
=
∴DE=2EH=2×
=
4、如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ;
求证:
(1)△BCQ≌△CDP;
(2)OP=OQ.
证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠PCD=90°,BC=CD,
∴∠2+∠3=90°,
又∵DP⊥CQ,
∴∠2+∠1=90°,
∴∠1=∠3,
在△BCQ和△CDP中,
∠B=∠PCDBC=CD∠1=∠3.
∴△BCQ≌△CDP.
(2)连接OB.
由
(1):
△BCQ≌△CDP可知:
BQ=PC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AB=BC,
而点O是AC中点,
∴BO=
AC=CO,∠4=
∠ABC=45°=∠PCO,
在△BCQ和△CDP中,BQ=CP∠4=∠PCOBO=CO
∴△BOQ≌△COP,
∴OQ=OP.
5、在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F,使DC=CF,连接BE、BF和EF.
⑴求证:
△ABE≌△CFB;
⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.
解:
(1)证明:
连结CE,
在△BAE与△FCB中,
∵BA=FC,∠A=∠BCF,,AE=BC,
∴△BAE≌△FCB;
(2)延长BC交EF于点G,作AH⊥BG于H,作AM⊥BG,
∵△BAE≌△FCB,∴∠AEB=∠FBG,BE=BF,∴△BEF为等腰三角形,又∵AE∥BC,
∴∠AEB=∠EBG,∴∠EBG=∠FBG,∴BG⊥EF,∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°,
∴四边形AMGE为矩形,∴AM=EG,
在Rt△ABM中,AM=AB•sin60°=6×
=
,∴EG=AM=
,
BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15,∴tan∠EBC=
6、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,E为CD的中点,EF∥AB交BC于点F
(1)求证:
BF=AD+CF;
(2)当AD=1,BC=7,且BE平分∠ABC时,求EF的长.
(1)证明:
如图
(1),延长AD交FE的延长线于N
∵∠NDE=∠FCE=90°∠DEN=∠FECDE=EC
∴△NDE≌△FCE∴DN=CF∵AB∥FN,
AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形
∴BF=AD+DN=AD+FC
(2)解:
∵AB∥EF,∴∠ABN=∠EFC,即∠1+∠2=∠3,又∵∠2+∠BEF=∠3,∴∠1=∠BEF,∴BF=EF,
∵∠1=∠2,∴∠BEF=∠2,∴EF=BF,又∵BC+AD=7+1∴BF+CF+AD=8
而由
(1)知CF+AD=BF
∴BF+BF=8
∴2BF=8,
∴BF=4,∴BF=EF=4
7、已知:
AC是矩形ABCD的对角线,延长CB至E,使CE=CA,F是AE的中点,连接DF、CF分别交AB于G、H点
(1)求证:
FG=FH;
(2)若∠E=60°,且AE=8时,求梯形AECD的面积.
(1)证明:
连接BF
∵ABCD为矩形
∴AB⊥BCAB⊥ADAD=BC
∴△ABE为直角三角形
∵F是AE的中点
∴AF=BF=BE
∴∠FAB=∠FBA
∴∠DAF=∠CBF
∵AD=BC,∠DAF=∠CBF,AF=BF,
∴△DAF≌△CBF
∴∠ADF=∠BCF
∴∠FDC=∠FCD
∴∠FGH=∠FHG
∴FG=FH;
(2)解:
∵AC=CE∠E=60°
∴△ACE为等边三角形
∴CE=AE=8
∵AB⊥BC
∴BC=BE=
=4
∴根据勾股定理AB=
∴梯形AECD的面积=
×(AD+CE)×CD=
×(4+8)×
=
8、如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,且CD=2AD,tan∠ABC=2,过点D作DE∥AB,交∠BCD的平分线于点E,连接BE.
(1)求证:
BC=CD;
(2)将△BCE绕点C,顺时针旋转90°得到△DCG,连接EG.求证:
CD垂直平分EG;
(3)延长BE交CD于点P.求证:
P是CD的中点.
证明:
(1)延长DE交BC于F,
∵AD∥BC,AB∥DF,
∴AD=BF,∠ABC=∠DFC.
在Rt△DCF中,
∵tan∠DFC=tan∠ABC=2,
∴
=2,
即CD=2CF,
∵CD=2AD=2BF,
∴BF=CF,
∴BC=BF+CF=
CD+
CD=CD.
即BC=CD.
(2)∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=∠DCE,
由
(1)知BC=CD,
∵CE=CE,
∴△BCE≌△DCE,
∴BE=DE,
由图形旋转的性质知CE=CG,BE=DG,
∴DE=DG,
∴C,D都在EG的垂直平分线上,
∴CD垂直平分EG.
(3)连接BD,
由
(2)知BE=DE,
∴∠1=∠2.
∵AB∥DE,
∴∠3=∠2.∴∠1=∠3.
∵AD∥BC,∴∠4=∠DBC.由
(1)知BC=CD,∴∠DBC=∠BDC,∴∠4=∠BDP.
又∵BD=BD,∴△BAD≌△BPD(ASA)∴DP=AD.
∵AD=
CD,∴DP=
CD.∴P是CD的中点.
9.(20PP南岸二诊)如图,已知点
是正方形
的对角线
上一点,过点
作
⊥
,交
于点
,交
于点
,交
的延长线于点
,连接DF.
(1)若
,求
的长;
(2)求证:
.
10.如图,正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),M是线段AE的中点,DM的延长线交CE于N.
(1)线段AD与NE相等吗?
请说明理由;
(2)探究:
线段MD、MF的关系,并加以证明.
11、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且∠AGD=60°,E、F分别为CG、AB的中点.
(1)求证:
△AGD为正三角形;
(2)求EF的长度.
解答:
(1)证明:
连接BE,
∵梯形ABCD中,AB=DC,∴AC=BD,可证△ABC≌△DCB,∴∠GCB=∠GBC,
又∵∠BGC=∠AGD=60°∴△AGD为等边三角形,
(2)解:
∵BE为△BCG的中线,∴BE⊥AC,在Rt△ABE中,EF为斜边AB上的中线,
∴EF=
AB=5cm.
12、如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF.
(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;
(2)若AD=1,BC=3,DC=
,试判断△DCF的形状;
(3)在条件
(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.
解答:
解:
(1)证明:
∵EF=EC,∴∠EFC=∠ECF,∵EF∥AB,∴∠B=∠EFC,
∴∠B=∠ECF,∴梯形ABCD是等腰梯形;
(2)△DCF是等腰直角三角形,
证明:
∵DE=EC,EF=EC,∴EF=
CD,
∴△CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形),∵梯形ABCD是等腰梯形,∴CF=
(BC﹣AD)=1,∵DC=
,
∴由勾股定理得:
DF=1,∴△DCF是等腰直角三角形;
(3)共四种情况:
∵DF⊥BC,∴当PF=CF时,△PCD是等腰三角形,即PF=1,∴PB=1;
当P与F重合时,△PCD是等腰三角形,∴PB=2;
当PC=CD=
(P在点C的左侧)时,△PCD是等腰三角形,∴PB=3﹣
;
当PC=CD=
(P在点C的右侧)时,△PCD是等腰三角形,∴PB=3+
.
故共四种情况:
PB=1,PB=2,PB=3﹣
,PB=3+
.(每个1分)
13.在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,且DE⊥AD于D,∠EBC=∠CDE,∠ECB=45°.
⑴求证:
AB=BE;
⑵延长BE,交CD于F.若CE
=
,tan∠CD
E=
,求BF的长.
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