第二章 谓词逻辑.docx

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第二章谓词逻辑

第二章谓词逻辑

1.什么叫做客体和客体变元？

如何表示客体和客体变元？

2.么叫做谓词？

3.什么叫做论域？

我们定义一个“最大”的论域叫做什么？

4.填空题：

1．存在量词：

记作（），表示（）或者（）或者（）。

2．全称量词：

记作（），表示（）或者（）或者（）。

5.什么叫做量词的作用域？

指出下面两个谓词公式中各个量词的作用域。

x（F（x,y）→yP（y））∧Q（z）∧xA（x）

xyz（A（x,y）→B（x,y,z））∧C（t）

6.什么叫做约束变元？

什么叫做自由变元？

指出下面公式中哪些客体变元是约束变元？

哪些客体变元是自由变元？

x（F（x,y）→yP（y））∧Q（z）∧xA（x）

7.填空：

一个谓词公式如果无自由变元，它就表示一个（）。

8.给出的谓词J（x）：

x是教练员，L（x）：

x是运动员，S（x）：

x是大学生，O（x）：

x是年老的，V（x）：

x是健壮的，C（x）：

x是国家选手，W（x）：

x是女同志，H（x）：

x是家庭妇女，A（x,y）：

x钦佩y。

客体j：

金某人。

用上面给出的符号将下面命题符号化。

1．所有教练员是运动员。

2．某些运动员是大学生。

3．某些教练是年老的，但是健壮的。

4．金教练既不老，但也不是健壮的。

5．不是所有运动员都是教练。

6．某些大学生运动员是国家选手。

7．没有一个国家选手不是健壮的。

8．所有老的国家选手都是运动员。

9．没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。

10．有些女同志既是教练又是国家选手。

11．所有运动员都钦佩某些教练。

12．有些大学生不钦佩运动员。

9.将下面命题符号化

1．金子闪光,但闪光的不一定都是金子。

2．没有大学生不懂外语。

3．有些液体可以溶解所有固体。

4．每个大学生都爱好一些文体活动。

5．每个自然数都有唯一的后继数。

10.令P表示天气好。

Q表示考试准时进行。

A（x）表示x是考生。

B（x）表示x提前进入考场。

C（x）表示x取得良好成绩。

E（x,y）表示x=y。

利用上述符号，分别写出下面各个命题的符号表达式。

1．如果天气不好，则有些考生不能提前进入考场。

2．只有所有考生提前进入考场，考试才能准时进行。

3．并非所有提前进入考场的考生都取得良好成绩。

4．有且只有一个提前进入考场的考生未能取得良好成绩。

11.将下面命题符号化。

1．对一个大学生来说，仅当他刻苦学习，才能取得优异成绩。

（S（x）:

x是大学生；Q（x）:

x取得了优异成绩；H（x）:

x刻苦学习。

）

2．每个不等于0的自然数，都有唯一的前驱数。

（Z（x）:

x是自然数；E（x,y）:

x=y；Q（x,y）:

y是x的前驱数。

）

12.是偏序集，B是A的非空子集。

在括号内分别写入y是B的极小元、最小元、下界相应的谓词表达式。

y是B的极小元（）

y是B的最小元（）

y是B的下界（）

13.设论域D={1,2}又已知a=1b=2f

（1）=2f

（2）=1

P（1,1）=TP（1,2）=TP（2,1）=FP（2,2）=F

求谓词公式xy（P（x,y）P（f（x）,f（y）））的真值。

（要求有解题的过程）

14设论域为{2,3}，Ａ（x,y）表示x+y=xy。

求谓词公式xyA（x,y）的真值。

（要求有解题的过程。

）

15.设谓词P（x,y）表示x是y的因子，论域是{1,2,3}。

求谓词公式xyA（x,y）的真值。

（要求有解题过程）

16.令论域D={a,b}，P（a,a）：

F，Pa,b）：

T，P（b,a）：

T，P（b,b）：

F。

公式（）的真值为真。

A：

xyP（x,y）B：

xyP（x,y）C：

xyP（x,y）D：

xyP（x,y）

17.令论域D={a,b}，P（a,a）:

F，P（a,b）:

T，P（b,a）:

T，P（b,b）:

F，公式（）的真值为真。

a:

xyP（x,y）b:

xyP（x,y）c:

xyP（x,y）d:

xyP（x,y）

18.令Lx,y）表示x

a:

自然数集合b:

整数集合c:

有理数集合d:

实数集合

19.设论域为{1,2,3}，已知谓词公式xP（x,3）（yP（3,y）zP（1,z））的真值为假，则x=2时，使P（x,3）为真。

此说法是否正确？

针对你的答案说明原因。

20.什么叫做对谓词公式赋值？

21.什么叫做谓词公式的永真式？

22.什么叫做谓词公式A与B等价？

23.什么叫做谓词公式A永真蕴含B？

24.设Ｂ是个不含客体变元x的谓词公式，在下面的等价公式中，哪些是不正确？

说明不正确的原因。

1.xA（x）∨Bx（A（x）∨B）

2.xA（x）∧Bx（A（x）∧B）

3.B→xA（x）x（B→A（x））

4.xA（x）→Bx（A（x）→B）

25.证明下面等价公式x（A（x）→B（x））xA（x）→xB（x）

26.证明下面等价公式xA（x）→xB（x）x（A（x）→B（x））

27.下面谓词公式等价成立吗？

对你的回答给予证明或者举反例。

xA（x）∧xB（x）x（A（x）∧B（x））

28.下面谓词公式等价成立吗？

对你的回答给予证明或者举反例。

x（A（x）∨B（x））xA（x）∨xB（x）

29.下面永真蕴涵式成立吗？

对你的回答给予证明或者举反例。

xA（x）∧xB（x）x（A（x）∧B（x））

30.下面永真蕴涵式成立吗？

对你的回答给予证明或者举反例。

x（A（x）∨B（x））xA（x）∨xB（x）

31.什么叫做谓词公式的前束范式？

32.不是谓词公式x（A（x,y）yB（x,y））的前束范式的为（）

a:

xy（A（x,t）B（x,y））b:

xt（A（x,y）B（x,t））

c:

xy（A（x,y）B（x,y））d:

ty（A（t,x）B（t,y））

33.写出谓词公式x（P（x）∧R（x））→（xP（x）∧Q（x））的前束范式。

34.分别指出推理规则US、ES、的名称、形式、作用以及使用这些规则时的注意事项。

35.举例说明在谓词推理时，使用ES时所指定的客体c不应该是在此之前用US规则所指

定的客体c（即本次用ES特指客体c，不应该是以前特指的客体）。

并分析发生的错误。

36.举例说明在谓词推理时，使用ES时所指定的客体c不应该是在此之前用ES规则所

指定的客体c（即本次用ES特指客体c，不应该是以前特指的客体）。

并分析发生的错误。

37.分别指出推理规则EG、UG的名称、形式、作用以及使用这些规则时的注意事项。

38.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。

（要求按照推理的格式书写推理过程。

）

xC（x）,x（A（x）B（x））,x（B（x）C（x））xA（x）

39.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。

（要求按照推理的格式书写推理过程。

）“不认识错误的人，也不能改正错误。

有些诚实的人改正了错误。

所以有些诚实的人是认

识了错误的人。

”

设A（x）:

x是认识错误的人。

B（x）:

x改正了错误。

C（x）:

x是诚实的人。

命题符号化为：

x（A（x）→B（x）），x（C（x）∧B（x））,x（C（x）∧A（x））

40.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

（要求按照推理格式书写推理过程。

）

x（A（x）（B（x）C（x）））,x（A（x）（C（x）D（x）））,x（A（x）D（x））x（A（x）B（x））

41.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

x（A（x）（B（x）C（x）））,x（A（x）（C（x）D（x）））,x（A（x）D（x））

x（A（x）B（x））

42.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

（要求按照推理格式书写推理过程。

）

“鸟都会飞。

猴子都不会飞。

所以，猴子都不是鸟。

”

43.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

（要求按照推理格式书写推理过程。

）

“一些病人喜欢所有医生。

任何病人都不喜欢庸医。

所以没有医生是庸医。

”

44.给定谓词如下：

S（x）:

x是学生；L（x）:

x是校领导；G（x）:

x是好的；T（x）:

x是老师；P（x）:

x受过处分；C（x,y）:

y表扬x。

用上述谓词表达下面各个命题，并且用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。

“没有受过处分的学生，都受到过校领导的表扬；有些好学生，仅仅受到老师的表扬；所有好学生，都没有受过处分。

所以，有的老师是校领导。

”

45.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

（要求按照推理格式书写推理过程。

）

“任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车；每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。

有的人不爱骑自行车，因此有的人不爱步行。

”

46.给定谓词M（x）:

x是高山俱乐部成员。

H（x）:

x是滑雪者。

D（x）:

x是登山者。

L（x,y）:

x喜欢y。

客体：

a:

小杨；b:

小刘；c:

小林；d:

雨；e:

雪。

用谓词逻辑推理证明方法，解决下面问题。

（要求按照推理格式书写推理过程。

）

“小杨、小刘和小林为高山俱乐部成员，该俱乐部的每个成员是个滑雪者或登山者。

没有一个登山者喜欢雨。

而所有滑雪者都喜欢雪。

凡是小杨喜欢的，小刘就不喜欢。

小杨喜欢雨和雪。

试证明该俱乐部是否有个是登山者而不是滑雪者的成员。

如果有，他是谁？

”

47.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

（要求按照谓词逻辑推理格式，书写推理过程。

）

x（P（x）Q（x））,x（Q（x）R（x））,xR（x）xP（x）

48.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

（要求按照谓词逻辑推理格式，书写推理过程。

）

x（P（x）（Q（x）R（x）））,x（R（x）Q（x））x（R（x）P（x））

49.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

（要求：

按照教材中推理的格式写出推理过程）

x（C（x）（A（x）B（x）））,x（A（x）（C（x）D（x）））,x（A（x）D（x））

x（A（x）B（x））

50.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

（要求：

按照逻辑推理格式书写推理过程）

x（y（S（x,y）M（y））z（（P（z）R（x,z）））zP（z）xy（S（x,y）M（y））

51.设：

Ｎ（x）表示x是自然数；Ｏ（x）表示x是奇数；Ｅ（x）表示x是偶数；Ｃ（x）表示x能被２整除。

用上面给定的谓词表示下面各个命题，然后用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。

（注：

要按照教材中推理的书写格式描述推理过程）

“每个自然数不是奇数就是偶数；所有奇数都不能被２整除；有些自然数能被２整除；因此，有些自然数是偶数。

”

52.用谓词逻辑推理方法证明下面推理的有效性。

（注：

要按照教材中推理的书写格式描述推理过程）

x（A（x）y（B（y）C（x,y）））,x（A（x）y（D（y）C（x,y）））y（B（y）D（y））

53.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

（要求按照教材格式写出推理过程）

x（A（x）y（B（y）C（x,y）））,x（A（x）y（C（x,y）D（y）））,xA（x）yD（y）

⇒yB（y）

54.给定谓词如下：

A（x）:

x是书刊；B（x）：

x是合法出版的；C（x）：

x是人；D（x）：

x感到忧虑。

先用这些谓词将下面各个命题符号化，再用谓词逻辑推理方法证明这个推理是正确的。

“如果有些书刊是非法出版的，则所有人都感到忧虑。

一些人不感到忧虑。

因此，所有书刊都是合法出版的。

”

55.用谓词逻辑推理证明下面推理的有效性。

（按照教材格式写出推理过程）

xA（x）,x（B（x）C（x））,z（（A（z）xyD（x,y））y（B（y）C（y）））,yxD（x,y）

56.给定谓词：

N（x）:

x是自然数，E（x）:

x是偶数，O（x）:

x是奇数，D（x,y）:

x可被y整除。

用上述谓词表达下面各命题，并用谓词逻辑推理方法证明其推理的有效性。

“每个自然数不是偶数，就是奇数。

自然数为偶数，当且仅当它能被2整除。

并不是所有自然数都可以被2整除。

所以，有的自然数是奇数。

”

57.用谓词推理证明下面推理的有效性。

（注：

要按照教材中推理的书写格式描述推理过程）

x（A（x）y（B（y）C（x,y）））,x（A（x）y（D（y）C（x,y）））y（B（y）D（y））

58.分析下面推理过程是否正确。

如果有错误，请指出错误所在之处。

并写出正确的推理过程。

x（A（x）→B（x）），xA（x）xB（x）

⑴x（A（x）→B（x））P

⑵A（c）→B（c）US⑴

⑶xA（x）P

⑷A（c）ES⑶

⑸B（c）T⑵⑷I11

⑹xB（x）EG⑸

59.用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。

要求按照推理的格式书写推理过程。

xP（x）,x（Q（x）R（x））,x（P（x）R（x））xQ（x）

1.答案：

定义：

能够独立存在的事物，称之为客体，也称之为个体。

它可以是具体的，也可以是抽象的事物。

通常用小写英文字母a、b、c、...表示。

定义：

用小写英文字母x、y、z...表示任何客体，则称这些字母为客体变元。

2.答案：

定义：

一个大写英文字母后边有括号，括号内是若干个客体变元，用以表示客体的属性或者客体之间的关系，称之为谓词。

如果括号内有n个客体变元，称该谓词为n元谓词。

3.答案：

定义：

在命题函数中客体变元的取值范围，称之为论域，也称之为个体域。

论域是一个集合。

定义：

由所有客体构成的论域，称之为全总个体域。

它是个“最大”的论域。

4.答案：

1．存在量词：

记作（），表示（有些）或者（一些）或者（至少一个）。

2．全称量词：

记作（），表示（每个）或者（任何一个）或者（所有的）。

5.答案：

在谓词公式中，量词的作用范围称之为量词的作用域，也叫量词的辖域。

在x（F（x,y）→yP（y））∧Q（z）∧xA（x）中：

x的作用域：

（F（x,y）→yP（y））

y的作用域：

P（y）

x的作用域：

A（x）

在xyz（A（x,y）→B（x,y,z））∧C（t）中：

x的作用域：

yz（A（x,y）→B（x,y,z））

y的作用域：

z（A（x,y）→B（x,y,z））

z的作用域：

（A（x,y）→B（x,y,z））

6.答案：

定义：

如果客体变元x在x或者x的辖域内，则x在此辖域内约束出现，并称x在此辖域内是约束变元。

否则x是自由出现，并称x是自由变元。

在x（F（x,y）→yP（y））∧Q（z）∧xA（x）中

F（x,y）中的x和P（y）中的y以及A（x）中x是约束变元。

而F（x,y）中的y和Q（z）中的z是自由变元。

7.答案：

（命题）

8.答案：

1．x（J（x）→L（x））

2．x（L（x）∧S（x））

3．x（J（x）∧O（x）∧V（x））

4．J（j）∧O（j）∧V（j）

5．x（L（x）→J（x））或者x（L（x）∧J（x））

6．x（S（x）∧L（x）∧C（x））

7．x（C（x）∧V（x））或者x（C（x）→V（x））

8．x（（O（x）∧C（x））→L（x））

9．x（W（x）∧C（x）∧H（x））

10．x（W（x）∧J（x）∧C（x））

11．x（L（x）→y（J（y）∧A（x,y）））

12．x（S（x）∧y（L（y）→A（x,y）））

9.答案：

1．设：

G（x）：

x是金子。

F（x）：

x闪光。

则命题的表达式为

x（G（x）F（x））x（F（x）G（x））或者

x（G（x）F（x））x（F（x）G（x））

2．设S（x）：

x是大学生。

F（x）：

x是外语。

K（x,y）：

x懂得y。

则命题的表达式为

x（S（x）y（F（y）K（x,y）））或者

x（S（x）y（F（y）K（x,y）））

3．设F（x）：

x是液体。

.S（x）：

x是固体。

D（x,y）：

x可溶解y。

则命题的表达式为

x（F（x）y（S（y）D（x,y）））

4．设S（x）：

x是大学生。

L（x,y）：

x爱好y。

C（x）：

x是文娱活动。

P（x）：

x是体育活动。

则命题的表达式为：

x（S（x）y（（C（y）∨P（y））L（x,y）））

5．设令N（x）：

x是自然数。

A（x,y）：

y是x的后继数。

E（x,y）：

x=y则命题的表达式为

x（N（x）→y（N（y）∧A（x,y）∧z（（N（z）∧A（x,z））→E（y,z））））

10.答案：

1．PxA（x）B（x）

2．Qx（A（x）D（x））

3．x（（A（x）（B（x））C（x））

4．xA（x）B（y）C（x）y（（A（y）B（y）C（y））E（x,y）））

11.答案：

1．x（S（x）→（Q（x）→H（x）））

2．x（（Z（x）∧E（x,0））→y（Z（y）∧Q（x,y）∧z（（Z（z）∧Q（x,z））→E（y,z））））

12.答案：

y是B的极小元（y（y∈B∧x（x∈B∧x≠y∧x≤y）））

y是B的最小元（y（y∈B∧x（x∈B→y≤x）））

y是B的下界（y（y∈A∧x（x∈B→y≤x）））

13.答案：

解：

xy（P（x,y）P（f（x）,f（y）））

y（P（1,y）P（f

（1）,f（y）））y（P（2,y）P（f

（2）,f（y）））

（（P（1,1）P（f

（1）,f

（1）））（P（1,2）P（f

（1）,f

（2））））P（2,1）P（f

（2）,f

（1）））（P（2,2）P（f

（2）,f

（2））））

（（P（1,1）P（2,2））（P（1,2）P（2,1）））（（P（2,1）P（1,2））（P（2,2）P（1,1）））

（（TF）（TF））（（FT）（FT））

（FF）（TT）

FTF

14.答案：

解：

xyA（x,y）xyA（x,y）

yA（2,y）yA（3,y）

（A（2,2）A（2,3））（A（3,2）A（3,3））

（FT）（TT）

FTT

15.答案：

解：

xyA（x,y）

yA（1,y）yA（2,y）yA（3,y）

（A（1,1）A（1,2）A（1,3））（A（2,1）A（2,2）A（2,3））

（A（3,1）A（3,2）A（3,3））

（FF）F）（TF）T）（TTT））

F

16.答案：

A

17.答案：

令论域D={a,b}，P（a,a）:

F，P（a,b）:

T，P（b,a）:

T，P（b,b）:

F，公式（d）的真值为真。

a:

xyP（x,y）b:

xyP（x,y）c:

xyP（x,y）d:

xyP（x,y）

因为a:

xyP（x,y）（yP（a,y）yP（b,y））（P（a,a）P（a,b））（P（b,a）P（b,b））

（（FT）（TF））F

b:

xyP（x,y）yP（a,y）yP（b,y）（P（a,a）P（a,b））（P（b,a）P（b,b））

（FT）（TF）F

c:

xyP（x,y）yP（a,y）yP（b,y）（P（a,a）P（a,b））（P（b,a）P（b,b））

（FT）（TF）F

d:

xyP（x,y）yP（a,y）yP（b,y）（P（a,a）P（a,b））（P（b,a）P（b,b））

（FT）（TF）T

18.答案：

a

19.答案：

解：

此说法正确。

因为xP（x,3）（yP（3,y）zP（1,z））的真值为假，所以xP（x,3）的真值为真，yP（3,y）的真值为真，zP（1,z））的真值为假。

由xP（x,3）的真值为真，得P（1,3）为真，或者P（2,3）为真，或者P（3,3）为真。

由yP（3,y）的真值为真，得P（3,1）、P（3,2）、P（3,3）均为假。

由zP（1,z））的真值为假，得P（1,1）、P（1,2）、P（1,3）均为假。

综合上述情况得,P（2,3）为真，

20.答案：

若将给定的谓词公式中的命题变元，用确定的命题代替，对公式中的客体变元用

论域中的客体代替，这个过程就称之为对谓词公式作指派，或称之为对谓词公式赋值。

21.答案：

给定谓词公式A，E是其论域，如果不论对公式A作任何赋值，都使得A的真值为真，则称公式A在论域E上是永真式。

如果不论对什么论域E，都使得公式A为永真式，则称A为永真式。

22.答案：

给定谓词公式A、B，E是它们的论域，如果不论对公式A、B作任何赋值，都使得A与B的真值相同（或者说AB是永真式），则称公式A与B在论域E上是等价的。

如果不论对什么论域E，都使得公式A与B等价，则称A与B等价，记作AB。

23.答案：

给定谓词公式A、B，E是它们的论域，如果不论对公式A、B作任何赋值，使得

A→B为永真式，则称在论域E上公式A永真蕴含B。

如果不论对什么论域E，都使得公式A→B为永真式，则称A永真蕴含B，记作AB。

24.答案：

解：

4式不正确。

因为

xA（x）→BxA（x）∨BxA（x）∨Bx（A（x）∨B）x（A（x）→B）

所以xA（x）→B不等价于x（A（x）→B），即4式不成立。

25.答案：

证明xA（x）→xB（x）

xA（x）∨xB（x）

xA（x）∨xB（x）

x（A（x）∨B（x））

x（A（x）→B（x））

26.答案：

证明xA（x）→xB（x）

xA（x）∨xB（x）

xA（x）∨xB（x）

x（A（x）∨B（x））

x（A（x）→B（x））

27.答案：

不成立。

因为根据量词分配公式知道，只有公式x（A（x）∧B（x））xA（x）∧xB（x）成立。

而没有xA（x）∧xB（x）x（A（x）∧B（x））。

可以举如下反例说明：

令A（x）表示x是男生，B（x）表示x是女生。

则xA（x）∧xB（x）表示“有些人是男生也有些人是女生”，这显然是真的命题。

而x（A（x）∧B（x））表示“有这样的人，他既是男生也是女生。

”，这显然是假命题。

所以xA（x）∧xB（x）x（A（x）∧B（x））不成立。

所以没有等价公式xA（x）∧xB（x）x（A（x）∧B（x））成立。

28.答案：

不成立。

因为根据量词分配公式知道，只有公式xA（x）∨xB（x）x（A（x）∨B（x））成立。

而没有x（A（x）∨B（x））xA（x）∨xB（x）。

可以举如下反例说明：

令A（x）表示x是男生，B（x）表示x是女生。

则x（A（x）∨B（x））表示“任何一个人来说，他或者是男生或者是女生。

”，这显然是真的命题。

而xA（x）∨xB（x）表示“要么大家都是男生，要么大家都是女生。

”，显然由x（A（x）∨B（x））不能推出xA（x）∨xB（x）。

所以x（A（x）∨B（x））xA（x）∨xB（x）不成立。

所以没有等价公式x（A（x）∨B（x））xA（x）∨xB（x）成立。

29.答案：

不成立。

可以举如下反例说明：

令A（x