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眉山市高中届第一次诊断性考试理数
眉山市高中2019届第一次诊断性考试
数学试题卷(理科)2019.12
注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。
5.参考公式:
如果事件A、B互斥,那么
如果事件A、B相互独立,那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为
6.考试结束,将答题卡上交。
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个备选项中.只有一项是符合题目要求的.
1.若复数,,则=
A.B.C.D.
2.已知集合,则是
A.[-1,2] B.(-1,2) C.{-1,0,1,2} D.{-1,2}
3.设P是所在平面内的一点,,则
A.0B.0C.0D.0
4.设M={平面内的点(m,n)},N={},给出M到N的映射f:
(m,n),则点的像的最小正周期是
A.B.C.2D.
5.在标准正态总体N(0,1)中,已知,则标准正态总体在区间内取值的概率是
A.0.9672B.0.9706C.0.9412D.0.9524
6.已知数列是首项为1的等比数列,是的前n项和,且,则数列的通项公式是
A.B.C.3D.
7.函数的值域是
A.(0,1)B.[1,+∞)C.(1,+∞)D.[0,1]
8.将函数的图像按向量平移,则平移后得到的图像的解析式是
A.B.C.D.
9.在上海世博会期间,将举行以低碳生活的家庭经验交流.交流的家庭分别是来自中国的3个家庭,外国的5个家庭.若任意排列8个家庭交流次序,则最先和最后交流的都是外国家庭的概率是
A.B.C.D.
10.给出下面四个命题:
①“直线a,b是异面直线”的充分非必要条件是“直线a,b不相交”;
②“直线n内所有直线”的充要条件是“直线n”;
③“直线”的充分非必要条件是“垂直于b在平面内的射影”;
④“直线平行平面”的必要非充分条件是“直线至少平行于平面内的一条直线”.其中正确命题的个数是
A.1个B.2个C.3个D.4个
11.若,定义:
,则函数的图像关于
A.y轴对称B.x轴对称C.y=x对称D.原点对称
12.已知A、B、C是平面内不共线的三点,P为平面内的动点,且
,则P的轨迹过的
A.重心B.垂心C.内心D.外心
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡相应位置上
13.已知函数在定义域内连续,则
14.若展开式中第3项是288,则=
15.已知三棱锥P-ABC,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=2PC=2a,三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=,则实数a的值为
16.表示实数中的最大者.设,
记.设,,若,则实数的取值范围是
三、解答题:
本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本题满分12分)已知△ABC中,角A、B、C所对边为a、b、c,其中,,.
(1)求.
(2)求△ABC的面积.
18.(本题满分12分)
2019年广州亚运会乒乓球团体赛中,每场比赛女选手采用三局两胜制,男选手采用五局三胜制,按选手实力估计,每位中国男、女选手战胜国外对应选手的概率大致为。
(1)求中国某男选手甲以3:
2战胜国外男选手乙的概率;
(2)用概率知识解释每场比赛中,赛制对中国男选手有利还是对中国女选手更有利。
(3)中国女选手丙与国外女选手丁比赛中,求丁获胜局数的分布列和数学期望。
19.(本题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD。
底面ABCD为梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB。
(1)求证:
PD∥平面EAC;
(2)求二面角A-EC-P的大小。
20.(本题满分12分)
已知函数(为常数),且方程有两个实数根分别为
(1)求函数的解析式;
(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
21.(本题满分12分)
设数列的前项的和为,
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:
数列是等比数列;
(3)设数列是等比数列且成等比数列,为的前项的和,,试比较与的大小,并加以证明。
22.(本题满分14分)
设
(e为自然对数的底数)
(1)求与的关系;
(2)若在区间上单调递减,求的取值范围;
(3)证明:
①;
②
眉山市高中2019届第一次诊断性考试
数学参考答案(理科)
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
D
A
D
A
C
B
B
B
A
D
二、填空题:
13.
14.
15.
16.
1
2
1
三、解答题:
17.解:
(1)△ABC中,由知A为锐角,
则…………1分
又
得…………3分
若B为钝角<
得<A即A+B>这不可能……………………4分
故B为锐角,……………………5分
∴……………………6分
(2)△ABC中,
×+×…………8分
由正弦定理得
…………10分
∴×5××=………12分
18.解:
(1)甲3:
2战胜乙,说明前四局中甲胜2局,第5局甲胜。
………………3分
(2)设A表示“采用三局两胜制,中国女选手获胜”。
则………………5分
设B表示“采用五局三胜制,中国男选手获胜”
则………………7分
∵P(A)<P(B)
∴赛制对中国男选手更有利。
………………8分
(3)的可能取值为0,1,2
0
1
2
P
4/9
8/27
7/27
∴的分布列为
………………10分
×+1×+2×=………………12分
19.解法一:
(1)∵PA⊥底面ABCD,
∴AC为PC在平面ABCD内的射影
又∵PC⊥AD∴AC⊥AD
在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得
∠BAC=,∠DCA=∠BAC=
又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形
∴DC=AC=(AB)=2AB
连接BD,交AC于点M,则
在△BPD中,
∴PD∥EM………………4分
又PD平面EAC,EM平面EAC,
∴PD∥平面EAC…………………………5分
(3)在等腰直角△PAB中,取PB的中点N,连接AN,则AN⊥PB
∵平面PAB⊥平面PCB,且平面PAB∩平面PCB=PB
∴AN⊥平面PBC
在平面PBC内,过N作NH⊥CE于H,连结AH,由于NH为AH在平面CEB内的射影,故AH⊥CE
∴∠AHN就是二面角A-CE-P的平面角……………………7分
在Rt△PBC中,设CB=,则PB=,BE=,
NE=,CE=
由NH⊥CE,EB⊥CB,可知:
△NEH∽△CEB
∴
代入解得:
………………9分
在Rt△AHN中,
∴………………11分
即二面角A-CE-P的大小为………………12分
解法二:
(1)建立空间直角坐标系A-,如图,设PA=AB=BC=,………………1分
则A(0,0,0),B(0,,0),C(,,0),P(0,0,),E(0,,)
设D(0),则
,………………2分
∵CP⊥AD
∴
解得:
连结BD,交AC于点M,
则
在△BPD中,
∴PD∥EM………………4分
又PD平面EAC,EM平面EAC
∴PD∥平面EAC…………………………5分
(2)设为平面EAC的一个法向量,则
解得:
………………7分
设为平面EBC的一个法向量,则
又
解得:
…………10分
∴二面角A-CE-P的大小为…………12分
20.解:
(1)….1分
依题意,,解之可得………………………………4分
故………………………………………………………………………..……5分
(2)令,则,,…..7分
当且仅当即时等号成立
因此,当时,………………………………………….…………………9分
不等式恒成立………………………...11分
故的取值范围为……………………………………………………………………12分
21.解:
(1)当时,
即即…………………………………………2分
而当时,,,……………………………...3分
而当时,符合上式,综上………...4分
(2)证明:
由
(1),
…..........................................................................................................6分
当时
是以为首项为公比的等比数列………………………………………..8分
(3)由
(1)成等比数列
……………………………………………………………9分
而由
(2)
………….10分
当且时,
当且时,………………………………………………………12分
22.解:
(1)则
即,…………………………………3分
(2)由
(1),……………………4分
在区间上单调递减,则在区间上恒成立………………5分
由得即
而,则区间上恒成立
令,则
而,则……………………………………………………………7分
由知
故的取值范围为………………………………………………………8分
(3)证明:
①令则
,由得
在上递减,在上递增,
即…………………………………………………………………10分
由易知,当时即
当时,,
…………………………11分
时
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