正弦函数余弦函数图象教学设计.docx
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正弦函数余弦函数图象教学设计
正弦函数、余弦函数的图象的教学设计
一、教学内容与任务分析
本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修四第一章第四节1.4.1正弦函数、余弦函数的图象。
本节课的教学是以之前的任意角的三角函数,三角函数的诱导公式的相关知识为基础,为之后学习正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基础。
二、学习者分析
学生已经学习了任意三角函数的定义,三角函数的诱导公式,并且刚学习三角函数线,这为用几何法作图提供了基础,但能不能正确应用来画图,这还需要老师做进一步的指导。
三、教学重难点
教学重点:
正弦余弦函数图象的做法及其特征
教学难点:
正弦余弦函数图象的做法,及其相互间的关系
四、教学目标
1.知识与技能目标
(1)了解用正弦线画正弦函数的图象,理解用平移法作余弦函数的图象
(2)掌握正弦函数、余弦函数的图象及特征
(3)掌握利用图象变换作图的方法,体会图象间的联系
(4)掌握“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图
2.过程与方法目标
(1)通过动手作图,合作探究,体会数学知识间的内在联系
(2)体会数形结合的思想
(3)培养分析问题、解决问题的能力
3.情感态度价值观目标
(1)养成寻找、观察数学知识之间的内在联系的意识
(2)激发数学的学习兴趣
(3)体会数学的应用价值
五、教学过程
一、复习引入
师:
实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系,而确定的角又有着唯一确定的正弦(或余弦)值。
这样任意给定一个实数x有唯一确定的值sinx(cosx)与之对应,有这个对应法则所确定的函数y=sinx(或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数),其定义域是R。
遇到一个新的函数,我们很容易想到的就是画函数图象,那怎么画正弦函数、余弦函数的图象呢?
我们先来做一个简弦运动的实验,这就是某个简弦函数的图象,通过实验是不是对正弦函数余弦函数的图象有了直观印象呢
【设计意图】通过动手实验,体会数学与其他的联系,激发学习兴趣。
二、讲授新课
(1)正弦函数y=sinx的图象
下面我们就来一起画这个正弦函数的图象
第一步:
在直角坐标系的x轴上任取一点
,以
为圆心作单位圆,从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.(预备:
取自变量x值—弧度制下角与实数的对应).
第二步:
在单位圆中画出对应于角
,
,
…,2π的正弦线正弦线(等价于“列表”).把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点”).
第三步:
连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象.
【设计意图】通过按步骤自己画图,体会如何画正弦函数的图象。
根据终边相同的同名三角函数值相等,所以函数y=sinx,x∈[2k∏,2(k+1)∏,k∈Z且k≠0的图象,与函数y=sinx,x∈[0,2∏)的图象的形状完全一致。
于是我们只要将y=sinx,x∈[0,2∏)的图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π,就得到y=sinx,x∈R的图象.
【设计意图】由三角函数值的关系,得出正弦函数的整体图象。
把角x
的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.
(2)余弦函数y=cosx的图象
探究1:
你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变得到余弦函数的图象?
根据诱导公式
可以把正弦函数y=sinx的图象向左平移
单位即得余弦函数y=cosx的图象.
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.
【设计意图】通过正弦函数与余弦函数的相互关系,在类比的过程中画出余弦函数的图象,体会数学知识间的联系,以及类比的数学思想。
思考:
在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点?
【设计意图】通过问题,为下面五点法绘图方法介绍做铺垫
2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):
正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:
(0,0)(
1)(,0)(
-1)(2,0)
余弦函数y=cosxx[0,2]的五个点关键是哪几个?
(0,1)(
0)(,-1)(
0)(2,1)
只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图.
3、讲解范例
例1作下列函数的简图
(1)y=1+sinx,x∈[0,2π],
(2)y=-COSx
【设计意图】通过两道例题检验学生对五点画图法的掌握情况,巩固画法步骤。
探究1.如何利用y=sinx,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到
(1)y=1+sinx,x∈〔0,2π〕的图象;
(2)y=sin(x-π/3)的图象?
小结:
函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。
探究2.
如何利用y=cosx,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=-cosx,x∈〔0,2π〕的图象?
小结:
这两个图像关于X轴对称。
探究3.
如何利用y=cosx,x∈〔0,2π〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到y=2-cosx,x∈〔0,2π〕的图象?
小结:
先作y=cosx图象关于x轴对称的图形,得到y=-cosx的图象,
再将y=-cosx的图象向上平移2个单位,得到y=2-cosx的图象。
探究4.
不用作图,你能判断函数y=sin(x-3π/2)和y=cosx的图象有何关系吗?
请在同一坐标系中画出它们的简图,以验证你的猜想。
小结:
sin(x-3π/2)=sin[(x-3π/2)+2π]=sin(x+π/2)=cosx
这两个函数相等,图象重合。
【设计意图】通过四个探究问题,对画图法以及正弦余弦函数及其图象的性质有更深刻的认识。
4、小结作业
对本节课所学内容进行小结
【设计意图】在梳理本节课所学的知识点归纳的过程中进一步加深对正弦函数、余弦函数图象认知。
培养学生归纳总结的能力,自主构建知识体系。
布置分层作业
基础题A题,提高题B题
【设计意图】将课堂延伸,使学生将所学知识与方法再认识和升华,进一步促进学生认知结构内化。
注重学生的个体发展,是每个层次的学生都有所进步。
第一章第二节第一课时函数的概念
教材分析:
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,高中阶段更注重函数模型化的思想.
教学目的:
使学生掌握函数的概念,并能应用函数的概念解决一些实际问题。
知识与技能:
(1)通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;
(2)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;
(3)掌握区间的概念,学会正确使用“区间”的符号表示函数的定义域与值域;
过程与方法:
(1)经历从实例中概括出“函数”定义的过程,培养抽象概括的能力;
(2)经历本节课的学习,学会运用函数解决问题;
情感态度与价值观:
理解函数的模型化思想。
教学重点:
理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数;
教学难点:
符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示;
教学方法:
自学法和尝试指导法
教学过程:
(一)引入问题
问题1初中我们学过哪些函数?
(正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数)
问题2初中所学函数的定义是什么?
(设在某变化过程中有两个变量x和y,,如果给定了一个x的值,相应地确定唯一的一个y值,那么就称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量)。
(二)函数的感性认识
教材例子
(1):
炮弹飞行时间的变化范围是数集,炮弹距地面的高度h的变化范围是数集,对应关系(*)。
从问题的实际意义可知,对于数集A中的任意一个时间t,按照对应关系(*),在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应。
例子
(2)中数集,,并且对于数集A中的任意一个时间t,按图中曲线,在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应。
例子(3)中数集,且对于数集A中的每一个时间(年份),按表格,在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数和它对应。
(三)归纳总结给函数“定性”
归纳以上三例,三个实数中变量之间的关系都可以描述为两个数集A、B间的一种对应关系:
对数集A中的每一个x,按照某个对应关系,在数集B中都有唯一确定的y和它对应,记作。
(四)理性认识函数的定义
设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称为从集合A到集合B的一个函数,记作,其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域。
定义域、值域、对应法则,称为函数的三个要素,缺一不可;
(1)对应法则f(x)是一个函数符号,表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”,在不同的函数中,f的具体含义不一样;
y=f(x)不一定是解析式,在不少问题中,对应法则f可能不便使用或不能使用解析式,这时就必须采用其它方式,如数表和图象,在研究函数时,除用符号f(x)表示外,还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示;
自变量x在其定义域内任取一个确定的值a时,对应的函数值用符号f(a)来表示。
如函数f(x)=x2+3x+1,当x=2时的函数值是:
f
(2)=22+3×2+1=11。
注意:
f(a)是常量,f(x)是变量,f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。
(2)定义域是自变量x的取值范围;
注意:
①定义域不同,而对应法则相同的函数,应看作两个不同函数;
如:
y=x2(xy=x2(x>0);y=1与y=x0
②若未加以特别说明,函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合;在实际中,还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围;
如:
一个矩形的宽为xm,长是宽的2倍,其面积为y=2x2,此函数的定义域为x>0,而不是。
(3)值域是全体函数值所组成的集合,在大多数情况下,一旦定义域和对应法则确定,函数的值域也随之确定。
(
例1.已知函数,(教材第17页例1)
(1)求函数的定义域;
(2)求的值;
(3)当a>0时,求的值。
分析:
函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如前述的三个实例。
如果只给出解析式,而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。
(解略)
例2.求下列函数的定义域。
(1);
(2);(3)
分析:
给定函数时,要指明函数的定义域,对于用解析式表示的函数,如果没有给出定义域,那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量取值的集合。
从上例可以看出,当确定用解析式y=f(x)表示的函数的定义域时,常有以下几种情况:
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;
(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合;
(3)如果f(x)是偶次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合;
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集);
(5)如果f(x)是由实际问题列出的,那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合。
由以上分析可知:
函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定。
例3.下列函数中,哪个与函数y=x是同一函数?
(教材18页例2)
(1)y=()2;
(2)y=;(3)y=;(4)y=.
分析:
判断两个函数是否相同,要看定义域和对应法则是否完全相同。
只有完全一致时,这两个函数才算相同。
(解略)
课堂练习:
课时小结:
本节课我们学习了函数的定义(包括定义域、值域的概念)及求函数定义域的方法。
函数定义中注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视。
课后作业
1、书面作业:
课本P24习题1.2A组题第1,2,3,4题;B组第1、2题。
2、预习作业:
(1)预习内容:
课本P19—P22;课时学案
(2)预习提纲:
a.函数的表示方法分别有哪几种?
c.回顾初中学过的做函数图象的方法步骤;
板书设计
函数的概念
一、函数的概念:
例题思考与作业
二、函数三要素:
三、确定定义域两步骤:
四、函数相等:
教学反思
函数是高中数学中一个非常重要的内容之一,贯穿整个高中数学学习。
其重要性体现在:
1、函数源于在现实生活,具有广泛的应用。
2、函数是沟通代数、几何、三角等内容的桥梁。
3、函数部分内容蕴涵重要数学方法,分类讨论的思想 ,数形结合的思想,化归的思想等。
这些思想方法是进一步学习数学和解决数学问题的基础。
然而函数这部分知识在教学中又是一大难点这主要是因为概念的抽象性,学生理解起来不容易,由于函数这部份知识的主要思想特点体现于一个“变”字,接受起来就更难。
研究的主要是“变量”与“变量”之间的关系,要求用变量的眼光,运动变化的观点去看待相关问题,所以函数成了高一新生进入高中的一条拦路虎。
突破了它后面的学习就容易了。
函数的概念表现出来的都是抽象的数学形式,在数学的教学中,要强调对数学本质的认识,否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里。
所以函数概念的教学更忌照本宣科,我注意对知识进行重组。
努力去提示函数概念的本质,使学生真正理解它,觉得它有用,而乐于学习它。
课堂气氛较为活跃。
学生不仅能在课堂上勇于发言,而且能做到言之有理,还能积极参与小组讨论交流,共同分享团队协作的成果,基本完成教学目标。
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