正十七边形尺规作图与详细讲解.docx
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正十七边形尺规作图与详细讲解
解读“数学王子”高斯正十七边形的作法
一、高斯的传奇故事
高斯(CarlFriedrichGauss1777.4.30~1855.2.23),德国数学家、物理学家、天文学家。
有一天,年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。
父亲算了好一会儿,终于将结果算出来了。
可是万万没想到,他身边传来幼嫩的童音说:
“爸爸,你算错了,总数应该是……”父亲感到很惊异,赶忙再算一遍,结果证实高斯的答案是对的。
这时的高斯只有3岁!
高斯上小学了,教他们数学的老师布特勒(Buttner)是一个态度恶劣的人,他讲课时从不考虑学生的接受能力,有时还用鞭子惩罚学生。
有一天,布德勒让全班学生计算1+2+3+4+5+……+98+99+100=?
的总和,并且威胁说:
“谁算不出来,就不准回家吃饭!
”布德勒说完,就坐在一旁独自看起小说来,因为他认为,做这样一道题目是需要些时间的。
小朋友们开始计算:
“1+2=3,3+3=6,6+4=10,……”数越来越大,计算越来越困难。
但是不久,高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。
高斯说:
“老师,我做完了,你看对不对?
“做完了?
这么快就做完了?
肯定是胡乱做的!
”布德勒连头都没抬,挥挥手说:
“错了,错了!
回去再算!
”高斯站着不走,把小石板往前伸了伸说:
“我这个答案是对的。
”
布德勒抬头一看,大吃一惊。
小石板上写着5050,一点也没有错!
高斯的算法是
1+2+3+……+98+99+100
100+99+98+……+3+2+1
101+101+101+……+101+101+101=101×100=10100
10100÷2=5050
高斯并不知道,他用的这种方法,其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法,那时他才八岁!
1796年的一天,德国哥廷根大学。
高斯吃完晚饭,开始做导师给他单独布置的三道数学题。
前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。
第三道题写在另一张小纸条上:
要求只用圆规和没有刻度的直尺,作出一个正十七边形。
这道题把他难住了——所学过的数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助。
时间一分一秒的过去了,第三道题竟毫无进展。
他绞尽脑汁,尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。
当窗口露出曙光时,他终于解决了这道难题。
当他把作业交给导师时,感到很惭愧。
他对导师说:
“您给我布置的第三道题,我竟然做了整整一个通宵,……”导师看完作业后,激动地对他说:
“你知不知道?
你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案!
阿基米得没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了。
你是一个真正的天才!
”原来,导师也一直想解开这道难题。
那天,他是因为拿错了,才将写有这道题目的纸条交给了学生。
在这件事情发生后,高斯曾回忆说:
“如果有人告诉我,那是一道千古难题,我可能永远也没有信心将它解出来。
”
1796年3月30日,当高斯差一个月满十九岁时,在期刊上发表《关于正十七边形作图的问题》。
他显然以此为自豪,还要求以后将正十七边形刻在他的墓碑上。
然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形,而刻着一颗十七角星,原来是负责刻纪念碑的雕刻家认为:
“正十七边形和圆太像了,刻出来之后,每个人都会误以为是一个圆。
”
1877年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章。
上面刻着:
“汉诺威王乔治V.献给数学王子高斯(GeorgiusV.rexHannoverageMathematicorumprincipi)”,自那之后,高斯就以“数学王子”着称于世。
二、高斯正十七边形尺规作图的思路(这里是纯三角法)
作正十七边形的关键是作出cos
,为此要建立求解cos
的方程。
设正17边形中心角为α,则17α=2π,即16α=2π-α
故sin16α=-sinα,而
sin16α
=2sin8αcos8α
=4sin4αcos4αcos8α
=8sin2αcos2αcos4αcos8α
=16sinαcosαcos2αcos4αcos8α
因sinα≠0,两边除以sinα,有
16cosαcos2αcos4αcos8α=-1
由积化和差公式,得
4(cosα+cos3α)(cos4α+cos12α)=-1
展开,得
4(cosαcos4α+cosαcos12α+cos3αcos4α+cos3αcos12α)=-1
再由积化和差公式,得
2[(cos3α+cos5α)+(cos11+cos13α)+(cosα+cos7α)+(cos9α+cos15α)]=-1
注意到cos11α=cos6α,cos13α=cos4α,cos9α=cos8α,cos15α=cos2α,有
2(cosα+cos2α+cos3α+cos4α+cos5α+cos6α+cos7α+cos8α)=-1
设a=2(cosα+cos2α+cos4α+cos8α),b=2(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α),则a+b=-1
又ab=2(cosα+cos2α+cos4α+cos8α)·2(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α)
=4cosα(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α)+4cos2α(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α)+4cos4α(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α)+4cos8α(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α)
再展开之后共16项,对这16项的每一项应用积化和差公式,可得:
ab=2[(cos2α+cos4α)+(cos4α+cos6α)+(cos5α+cos7α)+(cos6α+cos8α)+(cosα+cos5α)+(cos3α+cos7α)+(cos4α+cos8α)+(cos5α+cos9α)+(cosα+cos7α)+(cosα+cos9α)+(cos2α+cos10α)+(cos3α+cos11α)+(cos5α+cos11α)+(cos3α+cos13α)+(cos2α+cos14α)+(cosα+cos15α)]
注意到cos9α=cos8α,cos10α=cos7α,cos11α=cos6α,cos13α=cos4α,cos14α=cos3α,cos15α=cos2α,有
ab=2×4(cosα+cos2α+cos3α+cos4α+cos5α+cos6α+cos7α+cos8α)=-4
因为cosα+cos2α+cos8α=(cos
+cos
)+cos
=2cos
cos
-cos
=2cos
(cos
-
)
又0<
<
<
所以cos
>
即cosα+cos2α+cos8α>0
又因为cos4α=cos
>0
所以a=cosα+cos2α+cos4α+cos8α>0
又ab=-4<0
所以有a>0,b<0
可解得
a=
,b=
再设c=2(cosα+cos4α),d=2(cos2α+cos8α),
则c+d=a
cd=2(cosα+cos4α)·2(cos2α+cos8α)
=4(cosαcos2α+cosαcos8α+cos4αcos2α+cos4αcos8α)
=2[(cosα+cos3α)+(cos7α+cos9α)+(cos2α+cos6α)+(cos4α+cos12α)]
注意到cos9α=cos8α,cos12α=cos5α,有
cd=2[(cosα+cos3α)+(cos7α+cos8α)+(cos2α+cos6α)+(cos4α+cos5α)]
=2(cosα+cos2α+cos3α+cos4α+cos5α+cos6α+cos7α+cos8α)
=-1
因为0<α<2α<4α<8α<π
所以cosα>cos2α,cos4α>cos8α
两式相加得cosα+cos4α>cos2α+cos8α
或2(cosα+cos4α)>2(cos2α+cos8α)
即c>d,又cd=-1<0
所以有c>0,d<0
可解得
c=
,【d=
】
类似地,设e=2(cos3α+cos5α),f=2(cos6α+cos7α)
则e+f=b
ef=2(cos3α+cos5α)·2(cos6α+cos7α)
=4(cos3αcos6α+cos3αcos7α+cos5αcos6α+cos5αcos7α)
=2[(cos3α+cos9α)+(cos4α+cos10α)+(cosα+cos11α)+(cos2α+cos12α)]
注意到cos9α=cos8α,cos10α=cos7α,cos11α=cos6α,cos12α=cos5α,有
ef=2[(cos3α+cos8α)+(cos4α+cos7α)+(cosα+cos6α)+(cos2α+cos5α)]
=2(cosα+cos2α+cos3α+cos4α+cos5α+cos6α+cos7α+cos8α)
=-1
因为0<3α<5α<6α<7α<π
所以有cos3α>cos6α,cos5α>cos7α
两式相加得cos3α+cos5α>cos6α+cos7α
2(cos3α+cos5α)>2(cos6α+cos7α)
即e>f,又ef=-1<0
所以有e>0,f<0
可解得
e=
,【f=
】
由c=2(cosα+cos4α),得cosα+cos4α=
,即cos
+cos
=
e=2(cos3α+cos5α),应用积化和差公式,得cosαcos4α=
,即cos
cos
=
因为0<
<
<
,所以cos
>cos
>0
所以cos
=
,【cos
=
】
于是,我们得到一系列的等式:
a=
,b=
,c=
,e=
,
cos
=
有了这些等式,只要依次作出a、b、c、e,便可作出cos
。
步骤一:
给一圆O,作两垂直的半径OA、OB,
作C点使OC=1/4OB,
作D点使∠OCD=1/4∠OCA,
作AO延长线上E点使得∠DCE=45度。
步骤二:
作AE中点M,并以M为圆心作一圆过A点,此圆交OB于F点,
再以D为圆心,作一圆过F点,此圆交直线OA于G4和G6两点。
步骤三:
过G4作OA垂直线交圆O于P4,
过G6作OA垂直线交圆O于P6,
则以圆O为基准圆,A为正十七边形之第一顶点P4为第四顶点,P6为第六顶点。
连接P4P6,以1/2弧P4P6为半径,在圆上不断截取,即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
历史
最早的十七边形画法创造人为高斯。
高斯(1777~1855年),德国数学家、物理学家和天文学家。
在童年时代就表现出非凡的数学天才。
三岁学会算术,八岁因发现等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。
1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获得博士学位。
高斯的数学成就遍及各个领域,其中许多都有着划时代的意义。
同时,高斯在天文学、大地测量学和磁学的研究中也都有杰出的贡献。
1801年,高斯证明:
如果k是质数的费马数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。
高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形,解决了两千年来悬而未决的难题。
道理
当时,如果高斯的老师告诉了高斯这是道2000多年没人解答出来的题目,高斯就不会画出这个正十七边形。
这说明了你不怕困难,困难就会被攻克,当你惧怕困难,你就不会胜利。
正十七边形的证明方法
正十七边形的尺规作图存在之证明:
设正17边形中心角为a,则17a=360度,即16a=360度-a
故sin16a=-sina,而
sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等于0,两边除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a等,有
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1
注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a,令
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8№a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cosa+cos15a)
经计算知xy=-1
又有
x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4
其次再设:
x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+根号17)/4
y1+y2=(-1-根号17)/4
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合,故正17边形可用尺规作出
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- 十七 边形尺规 作图 详细 讲解