平面向量在数学中几何向量也称为欧几里得向量通常简称向量.docx
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平面向量在数学中几何向量也称为欧几里得向量通常简称向量
平面向量在数学中,几何向量(也称为欧几里得向量,通常简称向量
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向量。
在数学中。
几何向量。
指具有大小和方向的量。
与之对应的只有大小。
没有方向的量叫做数量向量可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指:
代表向量的方向;线段长度:
代表向量的大小。
向量的记法:
印刷体记作粗体的字母。
书写时在字母顶上加一小箭头→。
如果给定向量的起点和终点。
可将向量记作AB。
给空间设一直角坐标系。
也能把向量以数对形式表示。
例如Oxy平面中是一向量。
而在物理学和工程学中。
几何向量更常被称为矢量。
许多物理量都是矢量。
比如一个物体的位移。
球撞向墙而对其施加的力等等。
与之相对的是标量。
即只有大小而没有方向的量。
一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系。
例如向量势对应于物理中的势能。
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化。
得到更一般的向量概念。
此处向量定义为向量空间的元素。
要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示。
大小和方向的概念亦不一定适用。
因此。
平日阅读时需按照语境来区分文中所说的”向量”是哪一种概念。
不过。
依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系。
也可以透过选取恰当的定义。
在向量空间上介定范数和内积。
这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。
中文名,向量。
别称,矢量。
应用学科,物理。
解析几何。
计算机编程。
适用领域范围,数学中的平面向量。
适用领域范围,计算机赋值向量。
发展历史。
向量。
最初被应用于物理学。
很多物理量如力。
速度。
位移以及电场强度。
磁感应强度等都是向量。
大约公元前350年前。
古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量。
两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。
“向量”一词来自力学。
解析几何中的有向线段。
最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。
从数学发展史来看。
历史上很长一段时间。
空间的向量结构并未被数学家们所认识。
直到19世纪末20世纪初。
人们才把空间的性质与向量运算联系起来。
使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。
向量能够进入数学并得到发展。
首先应从复数的几何表示谈起。
18世纪末期。
挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi。
并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。
把坐标平面上的点用向量表示出来。
并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。
人们逐步接受了复数。
也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量。
向量就这样平静地进入了数学中。
但复数的利用是受限制的。
因为它仅能用于表示平面。
若有不在同一平面上的力作用于同一物体。
则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系。
19世纪中期。
英国数学家哈密尔顿发明了四元数。
以代表空间的向量。
他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础.随后。
电磁理论的发现者。
英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理。
从而创造了大量的向量分析。
三维向量分析的开创。
以及同四元数的正式分裂。
是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。
他们提出。
一个向量不过是四元数的向量部分。
但不独立于任何四元数。
他们引进了两种类型的乘法。
即数量积和向量积。
并把向量代数推广到变向量的向量微积分.从此。
向量的方法被引进到分析和解析几何中来。
并逐步完善。
成为了一套优良的数学工具。
表达方式。
一般印刷用黑体的小写英文字母来表示。
手写用在a。
b。
c等字母上加一箭头表示。
也可以用大写字母AB。
CD上加一箭头等表示。
向量可以用有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小。
向量的大小。
也就是向量的长度。
长度为0的向量叫做零向量。
记作长度等于1个单位的向量。
叫做单位向量。
箭头所指的方向表示向量的方向。
在平面直角坐标系中。
分别取与x轴。
y轴方向相同的两个单位向量i。
j作为一组基底。
a为平面直角坐标系内的任意向量。
以坐标原点O为起点作向量OP=a。
由平面向量基本定理可知。
有且只有一对实数。
使得。
因此把实数对叫做向量a的坐标。
记作a=。
这就是向量a的坐标表示。
其中就是点P的坐标。
向量OP称为点P的位置向量。
在空间直角坐标系中。
分别取与x轴。
y轴。
z轴方向相同的3个单位向量i。
j。
k作为一组基底。
若a为该坐标系内的任意向量。
以坐标原点O为起点作向量OP=a。
由空间基本定理知。
有且只有一组实数。
使得。
因此把实数对叫做向量a的坐标。
记作a=。
这就是向量a的坐标表示。
其中。
也就是点P的坐标。
向量OP称为点P的位置向量。
当然。
对于多维的空间向量。
可以通过类推得到。
此略。
相关定义。
规定若线段AB的端点A为起点。
B为终点。
则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。
具有方向和长度的线段叫做有向线段。
向量的大小。
也就是向量的长度。
向量a的模记作|a|。
注:
1.向量的模是非负实数。
是可以比较大小的。
向量a=。
。
2.因为方向不能比较大小。
所以向量也就不能比较大小。
对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。
例如是没有意义的。
长度为一个单位的向量。
叫做单位向量.与向量a同向。
且长度为单位1的向量。
叫做a方向上的单位向量。
记作a0。
。
如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反。
那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量。
也称为相反向量。
长度为0的向量叫做零向量。
记作0。
零向量的始点和终点重合。
所以零向量没有确定的方向。
或说零向量的方向是任意的。
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等。
记作。
规定:
所有的零向量都相等。
当用有向线段表示向量时。
起点可以任意选取。
任意两个相等的非零向量。
都可用同一条有向线段来表示。
并且与有向线段的起点无关.同向且等长的有向线段都表示同一向量。
始点不固定的向量。
它可以任意的平行移动。
而且移动后的向量仍然代表原来的向量。
在自由向量的意义下。
相等的向量都看作是同一个向量。
数学中只研究自由向量。
沿着直线作用的向量称为滑动向量。
作用于一点的向量称为固定向量。
对于坐标平面内的任意一点P。
我们把向量OP叫做点P的位置向量。
记作:
向量P。
直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量。
与a长度相等。
方向相反的向量叫做a的相反向量。
记作-a。
有-=a。
零向量的相反向量仍是零向量。
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a。
b平行。
记作a∥b。
零向量长度为零。
是起点与终点重合的向量。
其方向不确定。
我们规定:
零向量与任一向量平行。
平行于同一直线的一组向量是共线向量。
若a=b=。
则a//b→a×b=xn-ym=0平行于同一平面的三个向量叫做共面向量。
空间中的向量有且只有以下两种位置关系:
⑴共面;⑵不共面。
注意:
只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。
直线l⊥α。
取直线l的方向向量a。
则向量a叫做平面α的法向量。
设平面直角坐标系xOy中。
有点A。
B。
则。
运算。
设a=。
b=。
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
OB+OA=OC。
a+b=。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:
交换律:
a+b=b+a;结合律:
+c=a+。
如果a。
b是互为相反的向量。
那么a=-b。
b=-a。
a+b=0.0的反向量为0OA-OB=BA.即“共同起点。
指向被减”a=。
b=。
则a-b=.如图:
c=a-b以b的结束为起点。
a的结束为终点。
加减变换律:
a+=a-b实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量。
记作λa。
且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。
当λ>0时。
λa的方向与a的方向相同;当λ1时。
表示向量a的有向线段在原方向或反方向(λ。
向量定理。
若b≠0。
则a//b的充要条件是存在唯一实数λ。
使a=λb。
若设a=。
b=。
则有x1y2=x2y1。
即与平行概念相同x1y2-x2y1=0零向量0平行于任何向量。
a⊥b的充要条件是a·b=0。
即x1x2+y1y2=0。
平面向量分解定理:
如果e1。
e2是同一平面内的两个不平行向量。
那么对于这一平面内的任一向量。
有且只有一对实数λ1。
λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1。
e2叫做这一平面内所有向量的一基底。
定比分点公式设P1。
P2是直线上的两点。
P是直线上不同于P1。
P2的任意一点。
则存在一个任意实数λ且λ不等于-1。
使向量P1P=λ·向量PP2。
λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1x=/,y=/。
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式已知0是AB所在直线外一点,若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A。
B。
平面向量C三点共线证明:
∵OC=λOA+OB=λOA-λOB+OB=λBA+OB∴BO+OC=λBA即BC=λBA∴A。
B。
C三点共线在△ABC中。
若GA+GB+GC=O。
则G为△ABC的重心。
在△ABC中。
若HA·HB=HB·HC=HC·HA。
则H为△ABC的垂心。
在△ABC中。
若aIA+bIB+cIC=0。
且PI=/。
则I为△ABC的内心。
在△ABC中。
若|OA|=|OB|=|OC|。
则O为△ABC的外心。
此时O满足(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0。
平面向量
向量空间。
给定域F。
一个F上的向量空间是一个F-模。
给定域F上的两个向量空间V与V’。
如果存在一个双射φ:
V→V’。
并且φ=αφ+bφ。
a,b∈F。
u,v∈V。
这样V与V’便是同构的。
给两个向量空间V和W在同一个F场。
设定由V到W的线性变换或“线性映射”.这些由V到W的映射都有共同点就是它们保持总和及标量商数。
这个集合包含所有由V到W的线性映像。
以L来描述。
也是一个F场里的向量空间。
当V及W被确定后。
线性映射可以用矩阵来表达。
同构是一对一的一张线性映射。
如果在V和W之间存在同构。
我们称这两个空间为同构;他们根本上是然后相同的。
一个在F场的向量空间加上线性映像就可以构成一个范畴。
即阿贝尔范畴。
研究向量空间一般会涉及一些额外结构。
额外结构如下:
一个实数或复数向量空间加上长度概念。
就是范数称为赋范向量空间。
一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念。
称为内积空间。
一个向量空间加上拓扑学符合运算的称为拓扑向量空间。
一个向量空间加上双线性算子是个域代数。
一个向量空间V的一个非空子集合W在加法及标量乘法中表现密闭性。
被称为V的线性子空间。
给出一个向量集合B。
那么包含它的最小子空间就称为它的扩张。
记作span。
给出一个向量集合B。
若它的扩张就是向量空间V。
则称B为V的生成集。
一个向量空间V最大的线性独立子集。
称为这个空间的基。
若V=0。
唯一的基是空集。
对非零向量空间V。
基是V最小的生成集。
如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集。
那么就称V是一个有限维空间。
向量空间的所有基拥有相同基数。
称为该空间的维度。
例如。
实数向量空间:
R0。
R1。
R2。
R3。
R∞。
中。
Rn的维度就是n。
空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。
把基中元素排列。
向量便可以坐标系统来呈现。
向量的中线公式若P为线段AB的中点。
O为平面内一点。
则OP=1/2。
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