实验六 线性系统的根轨迹.docx

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实验六线性系统的根轨迹

实验六线性系统的根轨迹

一、实验目的

1.熟悉MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。

2.利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。

3.掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。

4.掌握系统参数变化对特征根位置的影响。

二、基础知识及MATLAB函数

根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s平面上的变化轨迹。

这个参数一般选为开环系统的增益K。

课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。

而用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。

假设系统的对象模型可以表示为

系统的闭环特征方程可以写成

对每一个K的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。

如果我们改变K的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。

若将这些K的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。

1）绘制系统的根轨迹rlocus（）

MATLAB中绘制根轨迹的函数调用格式为：

rlocus（num,den）开环增益k的范围自动设定。

rlocus（num,den,k）开环增益k的范围人工设定。

rlocus（p,z）依据开环零极点绘制根轨迹。

r=rlocus（num,den）不作图，返回闭环根矩阵。

[r,k]=rlocus（num,den）不作图，返回闭环根矩阵r和对应的开环增益向量k。

其中，num,den分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s的降幂排列。

K为根轨迹增益，可设定增益范围。

例3-1：

已知系统的开环传递函数

，绘制系统的根轨迹的matlab的调用语句如下：

num=[11];%定义分子多项式

den=[1429];%定义分母多项式

rlocus（num,den）%绘制系统的根轨迹

grid%画网格标度线

xlabel（‘RealAxis’）,ylabel（‘ImaginaryAxis’）%给坐标轴加上说明

title（‘RootLocus’）%给图形加上标题名

则该系统的根轨迹如图3-1所示：

若上例要绘制K在（1，10）的根轨迹图，则此时的matlab的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-2所示。

num=[11];

den=[1429];

k=1:

0.5:

10;

rlocus（num,den,k）

2）确定闭环根位置对应增益值K的函数rlocfind（）

在MATLAB中，提供了rlocfind函数获取与特定的复根对应的增益K的值。

在求出的根轨迹图上，可确定选定点的增益值K和闭环根r（向量）的值。

该函数的调用格式为：

[k,r]=rlocfind（num,den）

执行前，先执行绘制根轨迹命令rlocus（num,den），作出根轨迹图。

执行rlocfind命令时，出现提示语句“Selectapointinthegraphicswindow”，即要求在根轨迹图上选定闭环极点。

将鼠标移至根轨迹图选定的位置，单击左键确定，根轨迹图上出现“+”标记，即得到了该点的增益K和闭环根r的返回变量值。

例3-2：

系统的开环传递函数为

，试求：

（1）系统的根轨迹；

（2）系统稳定的K的范围；（3）K=1时闭环系统阶跃响应曲线。

则此时的matlab的调用格式为：

G=tf（[1,5,6],[1,8,3,25]）;

rlocus（G）;%绘制系统的根轨迹

[k,r]=rlocfind（G）%确定临界稳定时的增益值k和对应的极点r

G_c=feedback（G,1）;%形成单位负反馈闭环系统

step（G_c）%绘制闭环系统的阶跃响应曲线

则系统的根轨迹图和闭环系统阶跃响应曲线如图3-2所示。

其中，调用rlocfind（）函数，求出系统与虚轴交点的K值，可得与虚轴交点的K值为0.0264，故系统稳定的K的范围为

。

3）绘制阻尼比

和无阻尼自然频率

的栅格线sgrid（）

当对系统的阻尼比

和无阻尼自然频率

有要求时，就希望在根轨迹图上作等

或等

线。

matlab中实现这一要求的函数为sgrid（），该函数的调用格式为：

sgrid（

）已知

和

的数值，作出等于已知参数的等值线。

sgrid（‘new’）作出等间隔分布的等

和

网格线。

例3-3：

系统的开环传递函数为

，由rlocfind函数找出能产生主导极点阻尼

=0.707的合适增益，如图3-3（a）所示。

G=tf（1,[conv（[1,1],[1,2]）,0]）;

zet=[0.1:

0.2:

1];wn=[1:

10];

说明：

sgrid：

在现存的屏幕根轨迹或零极点图上绘制出自然振荡频率wn、阻尼比矢量z对应的格线。

sgrid（‘new’）：

是先清屏，再画格线。

sgrid（z,wn）：

则绘制由用户指定的阻尼比矢量z、自然振荡频率wn的格线

添加：

sgrid（‘new’）;或cle

sgrid（zet,wn）;holdon;rlocus（G）

[k,r]=rlocfind（G）

Selectapointinthegraphicswindow

selected_point=

-0.3791+0.3602i

k=

0.6233

r=

-2.2279

-0.3861+0.3616i

-0.3861-0.3616i

同时我们还可以绘制出该增益下闭环系统的阶跃响应，如图3-3（b）所示。

事实上，等

或等

线在设计系补偿器中是相当实用的，这样设计出的增益K=0.6233将使得整个系统的阻尼比接近0.707。

由下面的MATLAB语句可以求出主导极点，即r（2.3）点的阻尼比和自然频率为

G_c=feedback（G,1）;

step（G_c）

dd0=poly（r（2:

3,:

））;

wn=sqrt（dd0（3））;zet=dd0

（2）/（2*wn）;[zet,wn]

ans=

0.72990.5290

我们可以由图3-3（a）中看出，主导极点的结果与实际系统的闭环响应非常接近，设计的效果是令人满意的。

4）基于根轨迹的系统设计及校正工具rltool

matlab中提供了一个系统根轨迹分析的图形界面，在此界面可以可视地在整个前向通路中添加零极点（亦即设计控制器），从而使得系统的性能得到改善。

实现这一要求的工具为rltool，其调用格式为：

rltool或rltool（G）

例3-4：

单位负反馈系统的开环传递函数

输入系统的数学模型，并对此对象进行设计。

den=[conv（[1,5],conv（[1,20],[1,50]））,0,0];

num=[1,0.125];

G=tf（num,den）;

rltool（G）

该命令将打开rltool工具的界面，显示原开环模型的根轨迹图，如图3-4（a）所示。

单击该图形菜单命令Analysis中的ResponsetoStepCommand复选框，则将打开一个新的窗口，绘制系统的闭环阶跃响应曲线，如图3-4（b）所示。

可见这样直接得出的系统有很强的振荡，就需要给这个对象模型设计一个控制器来改善系统的闭环性能。

单击界面上的零点和极点添加的按钮，可以给系统添加一对共轭复极点，两个稳定零点，调整它们的位置，并调整增益的值，通过观察系统的闭环阶跃响应效果，则可以试凑地设计出一个控制器

在此控制器下分别观察系统的根轨迹和闭环系统阶跃响应曲线。

可见，rltool可以作为系统综合的实用工具，在系统设计中发挥作用。

三、实验内容

1．请绘制下面系统的根轨迹曲线，同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K值的范围。

num=[1];

den=[conv（[1,2,2],[1,6,13]）,0];

G=tf（num,den）;

rlocus（G）;

grid

xlabel（'RealAxis'）,ylabel（'ImageinaryAxis'）

title（'根轨迹'）

[k,r]=rlocfind（G）

G_c=feedback（G,1）;

step（G_c）

结果为：

selected_point=-0.0355+0.9627i

k=26.7666

r=-2.8285+2.1531i

-2.8285-2.1531i

-2.2659

-0.0385+0.9661i

-0.0385-0.9661i

K>26.7666时系统稳定。

num=[1,12];

den=[conv（[1,1],conv（[1,12,100],[1,10]））];

G=tf（num,den）;

rlocus（G）;

grid

xlabel（'RealAxis'）,ylabel（'ImageinaryAxis'）

title（'根轨迹'）

[k,r]=rlocfind（G）

G_c=feedback（G,1）;

step（G_c）

结果为

selected_point=0.0059+10.0000i

k=1.0930e+003

r=-0.0226+10.0243i

-0.0226-10.0243i

-11.4774+2.9573i

-11.4774-2.9573i

当k>1.0930e+003,时系统稳定

num=[0.0051];

den=[conv（[0.012,0.1,1],[0.0714,1]）,0];

G=tf（num,den）;

rlocus（G）;

grid

xlabel（'RealAxis'）,ylabel（'ImageinaryAxis'）

title（'根轨迹'）

[k,r]=rlocfind（G）

G_c=feedback（G,1）;

step（G_c）

结果为：

selected_point=2.2512+7.7640i

k=13.5793

r=-12.8277+6.7024i

-12.8277-6.7024i

1.6583+8.5388i

1.6583-8.5388i

所以当k>13.5793时系统稳定

2.在系统设计工具rltool界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。

1.1

1.2

1.3

四、实验报告

1．根据实验分析增加极点或零点对系统动态性能的影响。

零点极点的位置能显著改变系统的稳定性，闭环系统无零点，闭环极点为实数，则时间响应一定单调，超调量主要取决于闭环复数的衰减率，实数极点零点，减少系统阻尼使峰值时间提前，超调量增大。

五．写出实验的心得与体会。

①学会利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。

②了解了利用根轨迹分析系统性能的图解方法。

③更深刻地练习了MATALAB软件。