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向量法证明正弦定理完整版
向量法证明正弦定理
向量法证明正弦定理
三级
记向量i,使i垂直于a于,△ab三边ab,b,接着得到正弦定理其他步骤
在锐角△ab中,证明asina=bsinb=sin=2r:
任意三角形ab,
4
过三角形ab的顶点a作b边上的高,垂足为d.当d落在边b上时,向量ab与向量ad的夹角为90°-b,向量a与向量ad的夹角为90°-,由于向量ab、向量a在向量ad方向上的射影相等,有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量a*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*os=向量的a绝对值*向量ad的绝对值*os所以sinb=bsin即bsinb=sin当d落在b的延长线上时,同样可以证得
第五篇:
用正弦定理证明三重向量积
用正弦定理证明三重向量积
作者:
光信1002班李立
内容:
通过对问题的讨论和转化,最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——?
a?
b。
首先,根据叉乘的定义,a、b、a?
b可以构成一个右手系,而且对公式的观察与分析我们发现,在公式中,a与b是等价的,所以我们不妨把a、b、a?
b放在一个空间直角坐标系中,让a与b处于ox面上,a?
b与z轴同向。
如草图所示:
其中,向量可以沿着z轴方向与平行于ox平面的方向分解,即:
?
z?
x
将式子带入三重向量积的公式中,发现,化简得:
(a?
b)?
xab这两个式子等价
现在我们考虑?
刚好被a与b反向夹住的情况,其他的角度情况以此类推。
由图易得,?
与a、b共面,a与b不共线,不妨设?
?
xa?
b,
a,x
?
b,x
?
,所以:
在三角形中使用正弦定理,得
a?
b)?
sin
?
sin
?
?
b,x?
又因为a?
b)?
?
absina,b
所以,解得k=ab,于是解得:
x=bxosb,xaxosa,x
?
b?
xa?
x
由图示和假定的条件,?
在a和b方向上的投影皆为负值,所以x,都取负值,
所以,
(a?
b)?
xab
其他的相对角度关系,以此类推,也能得到相同的答案,所以:
?
a?
b,命题得证。
小结论:
当直观解答有困难时,可以通过分析转化的方法来轻松地解决。
向量法证明正弦定理
附送:
向量积分配律的证明
向量积分配律的证明
·sin.
分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证。
有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。
我们假定已经知道了:
1)外积的反对称性:
a×b=-b×a.
这由外积的定义是显然的。
2)内积的分配律:
a·=a·b+a·,
·=a·+b·.
这由内积的定义a·b=s|osθ,并揭示这个物理模型的实质,即:
力与位移的数量积。
其次,具体分析平面向量的夹角,向量的数量积、重要性质等概念,并巩固练习。
再者,基本概念均简明有效的给出,为之后学生深入学习、探究提供了时间上的保证,从定义出发推导运算律也变得简单易行。
随后,从特殊到一般,得出数量积的几何表示。
在教师为主导、学生为主体的教学模式中,学习活动进展顺利,学生们都显得游刃有余。
在教学过程中,学生对平面向量数量积的定义及运算律的理解有些难度,总的感觉是:
在核心问题上的处理不太容易把握,学生需要较多的时间去探究和体验。
结合多年教学发现学生对数量积的结果是数量重视不够,解题中往往忽略,
?
学生容易忽略;书写中符号“?
”学生容易省略不写,教学和作业中发现问题教师应时常提醒学生及时纠正,避免重复错误;运算律中消去律和结合律不能乱用,要给学生讲清楚一定不能与实数的运算律混淆,这些地方应反复给学生强调。
最后,在有效落实教学目标的同时,如何让学生的“学”更轻松些,让教师的“教”更顺畅些,使“数量积”的概念形成更具一般性,更能揭示“数量积”的本质内含就显得尤为重要。
四、教法及教学反思
教学过程中采用启发引导式与讲练相结合,并借助多媒体教学手段,使学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后引导学生推导数量积的性质,通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识,初步掌握平面向量数量积定义的运用。
这一切主要是通过课堂教学来实现的,因此,要精于课堂教学设计,并在实践中进行反思和再设计,形成一系列适合学生认知、发展的教学方案。
同时,在教学中要注意引导学生不断增强自主性、探索性、合作性和思辨性,促使他们成为学习的主人。
而贯彻数形结合思想是克服难点的有效举措.通过例题、练习的分析讲评和学生积极主动的解题实践,运用知识解决问题的能力将得到提高。
由于课堂教学准备的较充分,基本能达到预定目标。
教学反思,是教师对自身教学工作的检查与评定,是整理教学中的反馈信息,适时总结经验教训、找出教学的成功与不足的重要过程。
因此教学后适时的反思有利于促进教学,以上就是我对本节课的理解和反思。
第四篇:
用正弦定理证明三重向量积
用正弦定理证明三重向量积
作者:
光信1002班李立
内容:
通过对问题的讨论和转化,最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——?
a?
b。
首先,根据叉乘的定义,a、b、a?
b可以构成一个右手系,而且对公式的观察与分析我们发现,在公式中,a与b是等价的,所以我们不妨把a、b、a?
b放在一个空间直角坐标系中,让a与b处于ox面上,a?
b与z轴同向。
如草图所示:
其中,向量可以沿着z轴方向与平行于ox平面的方向分解,即:
?
z?
x
将式子带入三重向量积的公式中,发现,化简得:
(a?
b)?
xab这两个式子等价
现在我们考虑?
刚好被a与b反向夹住的情况,其他的角度情况以此类推。
由图易得,?
与a、b共面,a与b不共线,不妨设?
?
xa?
b,
a,x
?
b,x
?
,所以:
在三角形中使用正弦定理,得
a?
b)?
sin
?
sin
?
?
b,x?
又因为a?
b)?
?
absina,b
所以,解得k=ab,于是解得:
x=bxosb,xaxosa,x
?
b?
xa?
x
由图示和假定的条件,?
在a和b方向上的投影皆为负值,所以x,都取负值,
所以,
(a?
b)?
xab
其他的相对角度关系,以此类推,也能得到相同的答案,所以:
?
a?
b,命题得证。
小结论:
当直观解答有困难时,可以通过分析转化的方法来轻松地解决。
第五篇:
两个向量的数量积
8、《两个向量的数量积》说课稿
尊敬的各位评委老师:
大家好!
今天我说课的内容是《两个向量的数量积》。
现代教育理论指出学生是教学的主体,教师的教应本着从学生的认知规律出发、以学生活动为主线、在原有认知结构基础上、建构新的知识体系。
本节课的教学设计中,我将此理念贯穿于整个教学过程中。
下面就从教材分析、教学目标分析、重难点分析、教法分析、学法分析、教学设计、板书设计及教学评价等方面进行说明。
一、教材分析
《两个向量的数量积》是现行人教版高中数学第二册下第九章第5节的内容。
在本节之前,同学们已经学习了空间向量的一些知识,包括空间向量的坐标运算、共线向量和共面向量、空间向量基本定律,这些知识是学习本节的基础。
向量概念的引入是数学学习的一个捷径,同时也引入了一种新的解决数学问题的方法:
坐标法,同时也引入了一种新的数学思想:
数形结合的思想。
同时,两个向量之间的位置关系可以通过数量积来表示。
因此,研究两个向量的数量积是高中数学的一个重点知识。
二、教学目标
根据上述教材结构与内容分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征,制定如下教学目标:
1.基础知识目标:
掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法,掌握两个向量数量积的概念、性质、计算方法及运算律;
2.能力训练目标:
掌握两个向量数量积的主要用途,会用它解决立体几何中的一些简单问题。
3.个性品质目标:
训练学生分析问题、解决问题的能力,了解数量积在实际问题中的初步应用。
4.创新素质目标:
培养学生数形结合的思想。
三、重难点分析
教学的重点是两个向量数量积的计算方法及其应用,在此基础上应该让学生理解两个向量数量积的几何意义,这也就是本节课的难点。
下面,为了讲清重点、难点,使学生能达到本节设定的教学目标,我将从教法和学法上进行讲解。
四、教法
教学过程是教师和学生共同参与的过程,启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性;有效地渗透数学思想方法,提高学生素质。
根据这样的原则和所要完成的教学目标,并为激发学生的学习兴趣,采用采用引导式、讲练结合法进行讲解。
五、学法
教给学生方法比教给学生知识更重要,本节课注重调动学生积极思考、主动探索,尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间,我进行了以下学法指导:
联想法:
要求学生联想学过的向量知识,特别加深理解数学知识之间的相互渗透性。
1
观察分析法:
让学生要学会观察问题,分析问题和解决问题新。
练习巩固法:
让学生知道数学重在运用,从而检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其差距。
下面,我将具体谈谈这堂课的教学过程。
六、教学程序及设想
七、板书设计
板书要基本体现整堂课的内容与方法,体现课堂进程,能简明扼要反映知识结构及其相互联系;能指导教师的教学进程、引导学生探索知识;同时不完全按课本上的呈现方式来编
排板书。
即体现系统性、程序性、概括性、指导性、启发性、创造性的原则;(原则性)
以上就是我说课的内容,希望各位老师对本堂课的说课提出宝贵的意见。
谢谢。
6
向量积分配律的证明
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