线性变换练习题.docx
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线性变换练习题.docx
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线性变换练习题
线性变换习题
一、填空题
1.
设
是P3的线性变换,
(a,b,c)
(2b
c,a
4b,3a),a,b,c
P
,1
(1,0,0),
2
(0,1,0),
3
(0,0,1)
是P3
的一组基,则
在基1,
2,3
下的矩阵为
_______________,又
12
3
P3,则
(
)
_________。
2.
设A为数域P上秩为r的n阶矩阵,定义n维列向量空间
Pn的线性变换
:
(
)
A,
Pn,则dim
1(0)
=
,dim
(Pn)
=
。
1
1
2
3.
设P上三维列向量空间V的线性变换
在基
1,
2,
3下的矩阵是
2
0
1
,则
1
2
1
在基
2,
1,
3下的矩阵是
。
4.
假如矩阵
A
的特点值等于
,则队列式|A
E|
=
。
1
2
1
1
,
(X)
AX是P3上的线性变换,那么
的零度=
。
5.
设A=1
2
1
1
1
2
6.
若A
Pnn,且A2
E,则A的特点值为
。
7.
在P[x]n中,线性变换D(f(x))
f'(x),则D
在基1,x,x2,L
xn1下的矩阵
为
。
在P22中,线性变换
1
0
A在基E1
1
0
E2
0
1
8.
:
A
0
0
0
0
2
0
E3
0
0
0
0
1
E4
0
下的矩阵是
。
0
1
321
9.设A502的三个特点值为1,2,3,则1+2+3=,
114
123=。
10.数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为维线性空间,
它与
同构。
11.
已知n阶方阵A知足A2
A,则A的特点值为
。
12.
已知3
阶矩阵A的特点值为
1,2,3,则|A|
。
13.设为数域P上的线性空间V的线性变换,若是单射,则1(0)=。
14.设三阶方阵A的特点值为1,2,-2,则|2A|=。
15.
在P[x]n中,线性变换
D(f(x))f'(x),则D在基1,2x,3x2,L
nxn
1下的矩阵
为
。
a11
a12
a13
16.
已知线性变换
在基
1,2,3下的矩阵为a21
a22
a23,则
在基
2,
3,1下的矩
a31
a32
a33
阵为
。
1
1
2
17.
设P上三维列向量空间
V的线性变换
在基
1,2,
3下的矩阵是
2
0
1,则
1
2
1
在基2,1,3下的矩阵是。
1,
1
1
2,
18.
设线性变换
在基
2
的矩阵为
,线性变换
在基
1下的矩阵为
0
1
1
0
1,
1
,那么
在基
2下的矩阵为
.
1
19.
已知n阶方阵A知足A2
A,则A的特点值为
。
a11
a12
a13
20.
已知线性变换
在基
1,
2,
3下的矩阵为
a21
a22
a23
,则
在基
3,2,1下的
a31
a32
a33
矩阵为
。
21.
在R3中,若向量组
1
(1,t
1,0),2
(1,2,0),
3
(0,0,t2
1)
线性有关,则
t。
2
1
1
22.
若线性变换
在基
1,2,3下的矩阵为0
1
1
,则
在基
3,2,1下的矩阵为
1
2
1
矩阵为
。
23.
若APnn,且A2
E,则A的特点值为
。
二、选择题
1.以下哪一种变换必定是向量空间Fxn的线性变换()。
A.fxfxx
C.fxfx
B.
f
x
f
xdx
D.
f
x
f2x
fx
2.
当n阶矩阵A合适条件(
)时,它必相像于对角阵。
A.A有n个不一样的特点向量
B.A是三角矩阵
C.A有n个不一样的特点值
D.A是可逆矩阵
3.
设
是向量空间V上的线性变换,且
2
2
,则
的所有特点值为(
)。
A.2
B.0,2
C.0
D.0,2,1
4.
设
是3
维向量空间上的变换,以下
中是线性变换的是(
)。
A.x1,x2,x3=x13,x23,x33
B.x1,x2,x3=2x1
x2,x2x3,x3
C.
x1,x2,x3
=cosx1,sinx2,0
D.
x1,x2,x3
=x12,0,0
5.
设
1,2,L
r是向量空间V的线性有关的向量组,
是V的一个线性变换,则向量组
1,
2,L
r
在
下的像
(1),(
2),L,(
r)(
)。
A.线性没关
B.线性有关
C.线性有关性不确立
D.所有是零向量
6.
n阶方阵A有n个不一样的特点值是
A能够对角化的(
)。
A.充要条件
B.充足而非必需条件
C.必需而非充足条件
D.既非充足也非必需条件
7.
设
是向量空间V的线性变换且
2
,则的特点值()。
A.只有1
B.只有
1
C.有1和1
D.有0和1
1
8.
假如方阵A与对角阵D
1
相像,则A10
=(
)。
1
A.E
B.
A
C.
E
D.
10E
9.
设A、B为n阶矩阵,且A与B相像,E为n
阶单位矩阵,则(
)。
A.E
A
E
B
B.A与B有同样的特点向量和特点值
C.A与B相像于同一个对角矩阵
D.A
B
10.
设4级矩阵A与B相像,B的特点值是1,2,3,4,则A的队列式是(
)。
A.-24
B.10
C.24
D.不可以确立
11.
设
是n维线性空间
V
的线性变换,那么以下说法错误的选项是(
)。
A.
是单射
Ker(
)
{0}
B.
是满射
Im(
)
V
C.
是双射
Ker(
)
{0}
D.
是双射
是单位映照
12.
设A为3
阶矩阵,且A
E,A
E,A
2E均不行逆,则错误的选项是(
)。
A.A不相像于对角阵
B.A可逆
C.|A
E|
0
D.|A
E|
0
13.
设A为3
阶矩阵,且其特点多项式为
f()
(
1)(
1)(
2),则错误的选项是(
)。
A.A相像于对角阵
B.
A不行逆
C.|A
E|
0
D.|A
E|
0
14.
n维线性空间V的线性变换能够对角化的充要条件是(
)。
A.
有n个互不同样的特点向量
B.
有n个互不同样的特点根
C.
有n个线性没关的特点向量
D.
不存在n个互不同样的特点根
15.
设
是3
维向量空间上的变换,以下
中是线性变换的是(
)。
A.x,x
x=x3,x3
x3
B.x
x
x=2x
x,x
5x,6x
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
2
3
3
C.
x1,x2,x3=cosx,x
0
D.
x1,x2,x3
=x12,0,x32
1
2
16.
设
是向量空间V上的线性变换,且
2
E,
则
的所有特点值为(
)。
A.2
B.-1,1
C.0
D.0,2,1
17.
n维线性空间V的线性变换
能够对角化的充要条件是(
)。
A.
有n个互不同样的特点向量
B.
有n个互不同样的特点根
C.
有n个线性没关的特点向量
D.
是可逆线性变换
18.
2.设矩阵A的每行元素之和均为1,则(
)必定是A2
3A
2E的特点值。
C.2
D.3
19.
设
是3
维向量空间上的变换,以下
中是线性变换的是(
)。
A.
x1,x2,x3=
x1,x22,x33
B.
x1,x2,x3=2x1,x2
x3,x3
x2
C.
x1,x2,x3=cosx1,sinx2,sinx3
D.
x1,x2,x3
=x12,x2,0
20.
设
L(V),则以下各式建立的是(
)。
A.
dimIm
dimKer
n
B.Im
Ker
V
C.
Im
Ker
V
D.Im
I
Ker
{0}
三、计算题
1.设R[x]3表示实数域上的次数小于3的多项式,再添上零多项式组成的线性空间,而
f1(x)
1x,f2(x)1x2,f3(x)x
2x2是R[x]3的一组基,线性变换
知足
f1(x)2x2,f2(x)
x,
f3(x)1xx2
()求
在已知基下的矩阵;
(2)设f(x)1
2x3x2,求f(x)。
2.设
是二维列向量空间
P2的线性变换:
设x
x1
1
1
x2
P2,定义x
x。
1
1
(1)求值域P2
的基与维数;
(2)求核
1(0)
的基与维数。
1
1
1
3.
设线性变换
在基1,2,3下的矩阵是A
2
2
2
1
1
1
(1)
求矩阵A以及线性变换
的特点值与特点向量;
(2)
判断
能否能够对角化(即线性变换
能否在某组基下的矩阵为对角形),若
不可以对角化,说明原因;若能够对角化,求可逆阵
T,使T
1AT为对角形。
1
1
1
4.
令R3表示实数域
R上的三元列向量空间,令
A
1
1
1
,若
R3,作变换
2
2
2
()
A
。
(1)证明为R3上的线性变换;
(2)求ker()及其维数;(3)求Im()及其维数。
1
2
1
5.设矩阵A
0
0
0
,
0
0
0
(1)
求A的特点值和特点向量;
(2)
求可逆矩阵
P,使P1AP为对角矩阵。
1
1
0
1
0
6.令R3表示实数域
R上的三元列向量空间,A0
1
1
,1
0,2
1,
12100
1
3
0
。
0
(1)
若1
1
2,
2
2
3,
3
31,证明1,2,3为R3的一组基;
(2)
求1,
2,3到
1,
2,
3的过渡矩阵;
(3)
若
R3,作变换
(
)
A
,证明
为R3上的线性变换;
(4)求ker()及其维数;
(5)求Im()及其维数。
7.设是R3的线性变换,(x1,x2,x3)(x12x2x3,x2x3,x1x22x3)。
(1)求ker()及其维数;
(2)求Im()及其维数。
1
1
1
8.
设线性变换
在基1,2,
3下的矩阵是A
2
2
2
。
1
1
1
(1)
求矩阵A以及线性变换
的特点值与特点向量;
(2)
判断
能否能够对角化(即线性变换
能否
在某组基下的矩阵为对角形),若不可以对角化,说明原因;若能够对角化,求
可逆阵T,使T
1AT为对角形矩阵。
1
1
1
9.
令R3表示实数域R上的三元列向量空间,令
A
0
1
2,若
R3,作变换
1
2
3
()
A
。
(
1)证明
为R3上的线性变换;
(2)求ker(
)及其维数;(3)求Im(
)及其维数。
1
0
0
10.设
1,
2,3为V的基,且线性变换
在此基下的矩阵为A3
5
0
。
3
6
1
(1)求的特点值与特点向量;
(2)求可逆矩阵T,使T1AT是对角矩阵。
112
11.设三维线性空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵为A011。
101
(1)求的值域及其维数;
(2)求的核及其维数。
12.设R[x]3表示实数域上的次数小于3的多项式,再添上零多项式组成的线性空间,而
f1(x)
1
x,f2(x)1
x2,f3(x)x
2x2
是R[x]3
的一组基,线性变换
知足
f1(x)
2x2,f2(x)
x,f3(x)1xx2
(1)
求
在已知基下的矩阵;
(2)
设f(x)12x
3x2,求f(x)。
13.
给
定
P3
的
两
组基
1(1,0,1),
2
(2,1,0),
3
(1,1,1);1
(1,2,1),
2
(2,2,
1),
3
(2,
1
1)。
定义线性变换
:
i
i,i
1,2,3。
(1)
写出由基
1,2,
3到基1,2,3的过渡矩阵;
(2)
写出
在基1,2,
3下的矩阵;
(3)
写出
在基1,
2,
3下的矩阵。
3
2
1
14.
设线性变
换
在基
1,
2,
3下的矩阵是
A
2
2
2
求可逆矩阵
T,使得
3
6
1
T1AT为对角形矩阵。
1
0
1
15.
设A
0
2
0。
1
0
1
(
1)求A的所有特点值;
(2)求A的属于每个特点值的特点向量;
(
3)求一个可逆矩阵
X,使X1AX为对角形。
1
2
2
16.设
L(V),且
在V的基
1,2,3下的矩阵A=2
2
4
。
问
2
4
2
(1)能否能够对角化
(2)若能对角化,求出V的一个基,使在此基下的矩阵为对角矩阵。
17.设数域P上三维线性空间V的线性变换在基1,2,3下的矩阵A
460
350。
361
(1)
求
在基1
2
12,2
21
2
3,312
3下的矩
阵;
(2)
设
1
22
3,求
在基
1,
2,3下的坐标。
四、证明题
1.
设
是数域F上的n维向量空间V的线性变换,又
1,2,,n是V的一个基,证明
V
L
1,2,L
n。
2.
设
,都是向量空间V的线性变换,S是
,
的不变子空间,证明
S也是
的不
变子空间。
3.
设
是数域P上线性空间V的线性变换且
2
。
证明:
(1)的特点值为
1或0;
(2)
1(0)
{
()|
V};(3)V
1(0)
(V)。
4.
设W1,W2是向量空间V的两个子空间,
是V的一个线性变换,证明:
若W1,W2都是
的不变子空间,则W1W2也是的不变子空间。
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