常微分方程习题及答案.docx
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常微分方程习题及答案
第十二章常微分方程
(A)
、是非题
1•任意微分方程都有通解。
()
2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
()
3.函数y=3sinx—4cosx是微分方程y"+y=0的解。
()
4.函数y=x2■ex是微分方程y"-2y,+y=0的解。
()
12
5.微分方程xy'-1nX=0的通解是jInx)+C(C为任意常数)。
()
6.
y'
7.
y'
8.
y
9.
dy
dx
、填空题
=siny是一阶线性微分方程。
()
=x3y3+xy不是一阶线性微分方程。
()
-2/+5y=0的特征方程为r2-2r+5=0。
(
=1+x+y2+xy2是可分离变量的微分方程。
()
1.在横线上填上方程的名称
①(y-3Hnxdx-xdy=0是
②(xy2+xdx+(y-X2ydy=0是
2.
3.
4.
5.
③x—.lny是dxx
④xy’=y+x2sinx是
y^+sinxy’—x=cosx的通解中应含
y=sin2x-cosx的通解是
xy'"+2x2y"2+x3y=x4+1是
6.微分方程yry"-(y'6=0是
个独立常数。
阶微分方程。
阶微分方程。
7.y=-所满足的微分方程是
x
12.3阶微分方程yJx3的通解为
三、选择题
1.微分方程xyy"+x(y,3-y4y=0的阶数是()
A.3B.4C.5D.2
2.微分方程厂-x2y"-x5=1的通解中应含的独立常数的个数为()。
A.3B.5C.4D
y=—2xD.y=-X
A.y=2xB.y=X2C.
2
4.微分方程y'=3y3的一个特解是()。
A.y=x3+1B.y=(x+23C.y=(x+C)2D.^C^xf
5.函数y=cosx是下列哪个微分方程的解()。
A.y'+y=OB.y'+2y=0C.yn+y=0D.y"+y=cosx
,其中G,C2为任意常数。
6.y=C1ex+C2e""是方程y"-y=0的()
7.y'=y满足ylxT=2的特解是()
&微分方程于+y=sinx的一个特解具有形式
A.y"—2y=0B.y"_xy+3y2=0
10.微分方程y'-y=0满足初始条件y(0)=1的特解为()
A.exB.ex-1C.ex+1D.2-eX
11.在下列函数中,能够是微分方程y“+y=0的解的函数是()
A.y=1B.y=xC.y=sinxD.ex
12.过点(1,3且切线斜率为2x的曲线方程y=y(x)应满足的关系是(
A.y=sinXB.y=4孑
15.微分方程血+dy=0满足y1x^=4的特解是(yX
19.微分方程2ydy-dx=0的通解为()。
y=—x+C
A.y2-x=CB.y-yfx=CC.y=x+C
20.微分方程cosydy=sinxdx的通解是()
A.
sinX+cosy=C
.cosy-sinX=C
C.
COSX—siny=C
cosX+siny=C
21.
yd的通解为y=(
A.
-Xc-Xc
-eB.eC
+C1X+C2D.-r+C1x+C2
22.按照微分方程通解定义,
y"=sinx的通解是()
A.—sinX+C1X+C2
B.-sinX+Ci+C2
C.sinX+C1X+C2
sinX+Ci+C2
四、解答题
1.验证函数y=C€g+e'X(C为任意常数)是方程②一3y的通解,
dx
并求出满足初始条件ylx=0=0的特解。
2.
求微分方程
3.
求微分方程
[xamx+yd-x2dy=0的通解和特解。
ly[xT=1
^^=乂ran上的通解。
dxXX
4.
求微分方程
『于?
的特解。
LyIxm=2
5.
求微分方程
y'+ycosx的通解。
6.
求微分方程
鱼+y=sinx的通解。
dxX
7.
求微分方程
8.
求微分方程
\7
(仪+1)/-2y-(x+仃=0的特解。
iy二1
孕k满足初始条件x=0,y=1,y'=3的特解。
"x2+1
9.
求微分方程
y"=2yy'满足初始条件x=0,y=1,y=2的特解。
10
.验证二
元方程X2-Xy+y2=C所确定的函数为微分方程
(X-2yy=2x-y的解。
11.求微分方程(e^-exdx+(exT+eydy=0的通解。
12.求d^-ytanx=secx,y|x^=0的特解。
dx一
13.
13.验证yj=cosbx,y2=sino^x都是y"P2y=0的解,并写出该方程的通
解。
21.试求八x的经过点)且在此点与直线y拧+1相切的积分曲线。
(B)
、是非题
1.可分离变量微分方程不都是全微分方程。
()
2.若yjx),y2(x都是y'+P(x)y=Q(x)的特解,且yjx与y^x)线性无关,
AX
则通解可表为y(x)=y1(x)+CMh)-y2(x)1()
3.函数y-e^+e^是微分方程y”-(打+入2y+)M2y=0的解。
()
4.曲线在点(x,y处的切线斜率等于该点横坐标的平方,则曲线所满足的微
分方程是y'=x2+C(C是任意常数)。
()
1
5.微分方程y'=e2x今,满足初始条件y1x^=0的特解为e^e2^1。
()
二、填空题
1.y1=COSX与y2=sinx是方程y"+y=0的两个解,则该方程的通解为一。
3.微分方程
y"_2y7y=0的通解为
4.微分方程
r=e2x的通解是
5.微分方程
y*的通解是
-2x匕,_2x
e与4e
2ydy=0
6.微分方程dx=2xy的通解是
三、选择题
1.微分方程厂-4yy4y=0的两个线性无关解是()
A2x~:
C2xC—2x~_2xC2x~:
2xi-^
.e与2eB.e与xeC.e与xeD
2.下列方程中,不是全微分方程的为()
A.(3x2+6xy2dx+(6x2y+4y2dy=0B.eydx+(xey
C.y(x-2ydx-x2dy=0
2
(X-y)dx-xdy=0
3.下列函数中,哪个函数是微分方程s7t)=-g的解()。
21212
A.s=—gtB.s=—gtC.s=——gtD.s=-gt
22
4.下列函数中,是微分方程yJ7y+12y=0的解()
A3c2c3x
.y=xB.y=xC.y=e
2x
y=e
5.方程(1-x2y-xy'=0的通解是()
Q
A.y=Cj1—x2B.y=.C
7^7
.y=-lx3+CxD.
2
y=Cxe
6.微分方程y”lnxdx=x”lnydy满足y卜三=1的特解是()
A.In2x=|n2yB.In2x+ln2y=1
C.ln2x+ln2y=0D.ln2x=ln2y+1
7.微分方程(1+x2dy+(1+y2dx=0的通解是()。
A.arctanx+arctany=CB.tanx+tany=C
C.InX+lny=CcotX+coty=C
y=—sin(-X)
A.y=sin(—x)
C.y=-sin(—X)+CiX+C2
y=sin(-x)+Gx+C2
9.方程xy’+y=3的通解是(
3.求微分方程
(3x2+2xy-y2dx+(x2-2xydy=0的通解。
(C)
、是非题
1.只要给出n阶线性微分方程的n个特解,就能写出其通解。
2.已知二阶线性齐次方程y"+P(X)”y'+Q(x)”y=0的一个非零解y,即可
求出它的通解。
(
、填空题
2.已知y=1,
y=x,y=x2某二阶非齐次线性微分方程的三个解,则该方
程的通解为
3.微分方程y"-2y+2y=e的通解为
三、选择题
1.微分方程八;乙丄)的通解为()
11C
A.arctanx+CB.—(arctanx+C)C.—arctanx+CD.arctanx+—XXX
2.微分方程y'-y=1的通解是()。
A.y=C€XB.y=CeX+1C.y=C€X-1D.y=(C+1卜ex
「xy'+y=3
3.yy的解是()ly1x4=0
IB.y=3(1—X)C.y=1-1rX
6.微分方程yjy、ex+1的一个特解应具有形式(式中a,b为常数)()
A.aeX+bB.axeX+bC.ae^bxD.axeX+bx
四、解答题
「设y=ex是微分方程xyQp(xy=x的一个解,求此微分方程满足条件y|xdn2=0的特解。
2.已知y,=xeX+e2x,*=xeX+e^,y^xeX+e*-e一是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程。
3.已知f(0)=1,试确定f(X),使e^f(x)ydx+f(x)dy=0为全微分方程,
并求此全微分方程的通解。
第十二章微分方程
(A)
、是非题
1.X;2.X;3.V;4.X;5.V;6.X;7.X;8.V;9."
二、填空题
1.在横线上填上方程的名称
①可分离变量微分方程;②可分离变量微分方程;③齐次方程;
12X1
2.3;3.e"+C1X+C2;4.-sin2x+cosx+C1X+C25.3;
44
6.2;7.yqy2=0;8.y=Cx2;9.
16J
y=x+C1^+C2^C3。
120
X2
10.y=C(x+12;11.y=Cxe2;12.
三、选择题
22.A.
四、解答题
并求出满足初始条件y|x三的特解。
2■求微分方程忙如心*0的通解和特解。
解:
C,2x2+y2=1。
1-X
解:
y2=2x2(lnx+2)。
5.求微分方程y=y'cosx=e^nx的通解。
解:
y=eaX(X+C)。
6.求微分方程dy+y=sinx的通解。
dxx
1
解:
y=—(sinX-xcosx+C)。
x
7.求微分方程*x+1M_2y_(x+1)2=0的特解。
[ylx卫二1
解:
y=[2(x+1)2+1仁
L33」
&求微分方程yJ孕冬满足初始条件x=0,y=1,才=3的特解。
x+1
解:
y=x3+3x+1。
9.求微分方程y”=2yy,满足初始条件x=0,y=1,y=2的特解。
10.验证二元方程X2-xy+y2=C所确定的函数为微分方程
(X-2yy=2x—y的解。
解:
略。
11.求微分方程(ex〔-exdx+(ex旳+eydy=0的通解。
解:
(ex+li(ey-1)=C。
解。
14.求微分方程y'=——的通解。
x
解:
y=Cx2-x2Inx。
1
15.求微分方程y'+-y+ex=0满足初始条件y
(1)=0的特解。
x
x
解:
y=e-ex。
x
17.求微分方程命dx-祇g满足条件y(0)=1的特解。
解:
2(y—X3)+3(y—x2)=5。
18.求微分方程y“+yJ2y=0的通解。
解:
+C2eS。
19.求微分方程y"+2y*5y=0的通解。
解:
y=ed(Cicos2x+C2sin2x。
20.求微分方程y"+4y'+4y=0的通解。
解:
yg+C2xrx。
x
y=2+1相切的积分曲线。
21.试求y“=X的经过点M(0,1)且在此点与直线
(B)
、是非题
1.y=0cosx+C2sinx;
3.
求微分方程(3x2+2xy-y2dx+(x2—2xydy=0的通解。
(C)
、是非题
、填空题
3.y=ex(Gcosx+C2sinx+1)
三、选择题
1.B;2.C;3.A;4.A;5.D;6.D.
四、解答题
1.设y=ex是微分方程xy+p(xy=x的一个解,求此微分方程满足条件
y|xjn2=0的特解。
原方程为xy'+(xe」-X)”y=x
y=eX(1+Cee」),y'-1)”y=1
•/X=1n2,y=0/.C=-e
x4
y=e1-e
齐次微分方程的三个解,求此微分方程。
解:
y1-y3,『3-y?
=e2x-2e^均是齐次方程的解且线性无关。
Cie""+C2(e2x-2ej是齐次方程的通解。
当0=2,C^1时,齐次方程的
特解为e2x
e^、e2x都是齐次方程的解且线性无关。
•••C1^^+C2e2x是齐次方程的通解。
相应的齐次方程为y"_yJ—2y=0故所求的二阶非齐方程为
yi是非齐次方程的特解代入上式得f(x)=(1-2x)ex
所以y“—y-2y=(1-2xex为所求的微分方程。
3.已知f(0)=1,试确定f(X),使e^f(x)ydx+f(x)dy=0为全微分方程,
并求此全微分方程的通解。
解:
P=(eX+f(x))y,Q=f(x),由—-^Pex
f'(X)=ex+f(X),即f'(X)-f(X)=ex
•••f(X)=e~VX[jeXeS+CLeX(x+C)
T诧)=丄=5.・.f(x)=eX
2
G],
I2丿
得全微分方程:
1
px+eX|x+丄lydx+eX
2丿」
匕”=0
1
解得u(x,yi00dx+j0er2jdy=
故此全微分方程的通解为ex
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