复变函数第五章学习要点导学.docx
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复变函数第五章学习要点导学
第四、五章 复级数的学习要点
复级数也是研究解析函数的一种重要的工具,实际上,解析函数的许多重要性质,还需要借助适当的级数才能得到比较好的解决。
例如,解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性、解析函数在其孤立奇点去心邻域内的取值特点等等.
根据所研究解析函数所涉及的问题的需要,在这两章中,我们重点介绍两类特殊的复函数项级数,一类是幂级数(也称泰勒级数Taylorseries),通常考虑函数在其解析的区域内的整体性质或函数在其解析点邻域内的性质时,用这类级数;另一类是洛朗级数(Laurentseries),通常考虑函数在其孤立奇点附近的有关性质时,用这类级数.
在这两章,我们主要介绍以下内容:
首先,平行介绍复数项级数和复函数项级数一般理论(注意:
这些内容大部分与数学分析中的相关内容一致,因此,在学习时,应采用回顾、对照学习法,这样既能获取学习复变函数所需的级数知识,还能对数学分析的相关知识进行必要的复习和巩固,拓展知识的范围,丰富知识应用的手段和技巧).
其次,作为函数项级数的特例,我们平行介绍形式简单且在实际中应用广泛的幂级数,并建立如何将圆形区域内解析的函数表示成幂级数的方法,以及如何利用这种方法来研究解析函数的有关良好的性质(比如:
解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性以及作为解析函数基本理论之一的最大模原理等).
第三,进一步介绍由正、负整数次幂项构成的形式幂级数(也称为洛朗级数或双边幂级数)的概念及其性质,并建立圆环形区域
(
,
)(包括挖去奇点
的去心邻域
)内解析函数的级数表示(即解析函数在圆环形区域内的洛朗展式),然后再用洛朗展式作为工具研究解析函数在其孤立奇点附近的性质.作为解析函数孤立奇点性质的应用,再简要介绍复变函数的进一步研究中经常涉及到的两类重要的函数,即整函数与亚纯函数及其简单分类.
学习要点及基本要求
1.能正确理解复级数收敛和发散以及绝对收敛、条件收敛等概念.掌握复级数收敛的必要条件(例如,通项的极限为零)和充要条件(例如,级数收敛的柯西收敛准则;复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系),特别是复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系,并能熟练地运用这种关系来讨论复级数的有关问题以及利用复级数来讨论实级数的有关问题(例如:
利用复级数的和求实级数的和的问题等,如利用
,其中
,
,求实级数
和
,
的和).
2.了解复级数绝对收敛与条件收敛,掌握收敛以及绝对收敛级数的若干性质,比如:
收敛级数的线性性、添项减项性和添加括号性;绝对收敛级数的项的重排性、乘积性等;两指标级数
二次求和的可交换性,即在
,
以及
,
都是同号级数或至少有一个绝对收敛的条件下,有
,
成立.
注意:
上面所列的性质中,乘积性和二次求和的可交换性也是今后求有些复杂解析函数的幂级数展式或洛朗展式的完整形式时经常用的技巧,而这样的技巧往往是传统数学分析教材中忽略的.
3.了解复函数项级数收敛、一致收敛和内闭(紧)一致收敛的含义;掌握一致收敛的柯西准则和魏尔斯特拉斯判别法,并能熟练运用此判别法判断复函数项级数的一致或内闭一致收敛;掌握一致或内闭一致收敛的函数项级数和函数的连续性、逐项积分性以及解析函数项级数和函数的解析性、逐项求任意阶导数性.
下面关于复函数项级数在区域内(内闭)一致收敛的几个结论是数学分析中忽略或没有的:
●
在区域
内内闭一致收敛
对任意
,存在
的某邻域
,使得
在
内一致收敛(称为内闭一致收敛的局部判别法);
注意:
在数学分析中,我们也可建立类似的平行结论.
●设解析函数项级数
在区域
内收敛,则
在区域
内内闭一致收敛
在区域
内内闭一致收敛
对任意整数
,
在区域
内内闭一致收敛;
●设
为有界区域,
,每一项函数
在
内解析,在
上连续,若
在
上一致收敛,则
在
上一致收敛,进而在
内一致收敛.
注意:
上面的两个结论是解析函数项级数特有的,对数学分析中的可微函数项级数,上面的两个结论一般不成立.
4.熟练掌握幂级数收敛半径的两种计算方法:
记
,
,
是
的不解析点中距
最近的点,则幂级数的收敛半径有下面两个常用的计算公式:
利用系数计算的公式:
.(常规公式,也称柯西—阿达玛公式)
利用和函数的计算公式:
.(技巧性公式,前提是要知道和函数)
5.熟练掌握同类幂级数的运算性质.比如:
设有两个同类幂级数
,
其收敛半径分别为
,
,不妨设
,则在它们收敛的公共圆域
内
● 加、减性:
.
● 乘积性:
.
注意:
(1)在用乘积性时,级数不能缺项,若缺项需要将所缺项补齐后,再用乘积性.
(2)缺奇数项或偶数项幂级数的两种补项技巧:
●对形如
的级数可借用因子
的取值特点进行补项得:
;
对形如
的级数可借用因子
的取值特点进行补项得:
.
●对形如
的级数可借用正弦值
的取值特点进行补项得:
;
对形如
的级数可借用正弦值
的取值特点进行补项得:
.
6.熟练掌握幂级数和函数的如下性质:
设
的收敛半径
,则在其收敛圆
内
● 逐项积分性:
.
● 逐项微分性:
.
● 收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性,即
,
(逐项微分),
(逐项积分)
这三个幂级数具有相同的收敛半径,从而有相同的收敛圆和收敛圆周.
注意:
对收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性,只要注意到下面的上极限等式立即可得
.
●以上第5和6两个要点是求解析函数幂级数展式的间接法的基础之一.
7.掌握泰勒定理的条件和结论,了解解析函数的(幂)级数定义法,从而理解为什么只有当函数在一点解析时,函数在这一点才能展开成幂级数.熟练掌握如何将解析函数在指定的解析点展开成幂级数的方法(常用的有三种:
直接法,间接法和利用解析函数的惟一性的方法)和技巧,并牢记如下几个主要初等解析函数的幂级数展开式(称为基本展式):
①
,
;
②
,
.
,
.
③
,
,其中
表示对数函数
的主值支,即满足
的单值解析分支函数(其中支割线为:
).
,
,其中
表示
的第
个单值解析分支函数.
④
,
,其中
为复常数,
表示一般幂函数的主值支,即满足
的单值解析分支函数(其中支割线为:
).
其中
表示
的第
个单值解析分支函数.
特别,当
时,
;
,
.
注意:
●在间接法中,除常规方法外,还应关注下面两种数学分析中忽略的方法:
①对于两个基本展式中所涉及的函数的商
的幂级数展式,可先分别求出
和
的展式,然后用代数中的辗转相除法;
②对于两个基本展式中所涉及的函数复合而成的函数
在
处的幂级数展式,可先求出外函数展式
,再求出
的展式
,最后用二次求和的可交换性得出结论
,例如,当
时,
●当有些乘积函数可划归为适当简单函数的线性组合时,此时函数的幂级数展式可利用同类幂级数的线性运算更为简单地算出,例如,
,
,
,
等.
8.掌握解析函数零点以及零点阶数的定义,掌握解析函数零点阶数的判别方法(即解析函数
以
为
阶零点
存在
的某邻域
,使得在
内
,
其中
在
内解析,且
.)并能合理利用零点阶数的定义或零点阶数的判别法确定解析函数零点的阶数.
能正确理解并掌握解析函数零点孤立性.掌握解析函数的惟一性及其初步的应用(比如,利用惟一性证明三角恒等式,解析函数的幂级数展式,解析函数的最大模和最小模原理等),掌握解析函数的最大模和最小模原理的初步应用.
解析函数的最大模原理及其几个相关的结论:
最大模原理:
设函数
在区域
内解析,则
在区域
内取得最大值的充要条件是
在区域
内为常函数.
设
为有界区域,
为其边界,若
在
内解析,在闭区域
上连续,则
,即
在
上的最大值一定能在边界
上取得.
最小模原理:
设函数
在区域
内解析,且
,则
在区域
内取得最小值的充要条件是
在区域
内为常函数.
设
为有界区域,
为其边界,若
在
内解析,在闭区域
上连续,且
,则
,即
在
上的最小值一定能在边界
上取得.
9.了解形式幂级数(即洛朗级数或双边幂级数)的含义及其收敛的定义,并能解释其收敛范围为什么一般只能是圆环.掌握洛朗级数在其收敛圆环内的性质(解析性,逐项积分和逐项微分性).掌握圆环形区域内解析函数的洛朗展开定理(即洛朗定理),并能熟练地将解析函数在指定的圆环内展开成洛朗级数.
注意:
●求解析函数在指定圆环形区域内的洛朗展式的方法,基本上是沿用求幂级数展式的方法.不过在运用"基本展式"时要注意,先根据所求展式的要求(一般由指定的圆环或去心邻域来确定),并兼顾所要用的"基本展式"成立的范围,把
的"适当幂"作为一个整体,再用基本展式.例如,将函数
在
内展成洛朗级数,此时,根据基本展式
,
成立的范围是
,我们可以先将函数变形为
,
然后将
作为一个整体,对
在圆环
内用基本展式
得,
.
●解析函数在使其解析的圆形区域内的幂级数展式,也就是它在此圆形区域内的洛朗展式,即洛朗展式是幂级数展式的推广,因此,当函数在一个圆形区域内解析时,要求函数在此圆形区域内的洛朗展式,只须求出此函数在该圆形区域内的幂级数展式即可.
●理解函数在圆环内能展开成洛朗级数的条件是什么(注意:
条件是函数在圆环内解析)?
正确理解函数在使其解析的圆环内的洛朗展式与函数在其孤立奇点去心邻域内洛朗展式的关系和区别(注意:
函数在其孤立奇点去心邻域内洛朗展式是指函数在一个内圆半径为零的特殊圆环内的洛朗展式),能正确地求出函数在其孤立奇点去心邻域内的洛朗展式.
10.了解解析函数孤立奇点(包括
)的含义,会用解析函数在其孤立奇点去心邻域内的洛朗展式,对解析函数的孤立奇点进行分类.
注意:
●孤立奇点的分类是借助函数在其孤立奇点的去心邻域(这是一个特殊圆环)内的洛朗展式来进行的,而不是借助以孤立奇点为心的一般圆环.
●若函数
以
为孤立奇点,
在
的主要部分(或奇异部分)是指
在圆环
内的洛朗展式
中的
部分.这与函数在有限孤立奇点处的主要部分不同.关于函数
的孤立奇点
的类型的判别,虽有类似于有限孤立奇点类型判别的方法,但在实际判别时,我们常常也通过变换
将它化为判别函数
的孤立奇点
的类型进行判别.
11.掌握解析函数的各类孤立奇点的特征定理,并能熟练地运用这些特征定理来判断解析函数的孤立奇点的类型.
注意:
用本性奇点的特征定理判断本性奇点并不一定方便,实际上对本性奇点的判断常用以下方法:
①定义法(也称洛朗展式法);
②排除法(即先确定所考虑的点为孤立奇点,然后用反证法说明所考虑的不是可去奇点和极点,进而得出所考虑的点是本性奇点)---------此方法的依据就是孤立奇点分类的定义;
③利用下面第13点(4)中列举的关于本性奇点的几个结论.
12.(选学内容)初步了解刻画本性奇点本质特征的维尔斯特拉斯定理和毕卡定理的含义,初步掌握整函数与亚纯函数的定义,并会用其奇点(包括
)的类型对它们进行初步的分类.
13.几个有用的结论:
(1)若
分别为解析函数
和
的
阶零点和
阶零点,则
①
必为
的
阶零点.
② 当
时,
必为
的
阶零点;当
时,或者
为
的至少
阶零点,或者
.
③ 当
时,
必为
的
阶零点;当
时,
不是
的零点,且为解析点(可去奇点);当
时,
不是
的零点,
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- 函数 第五 学习 要点