人教版九年级数学下册 第27章相似三角形全章导学案.docx
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人教版九年级数学下册 第27章相似三角形全章导学案.docx
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人教版九年级数学下册第27章相似三角形全章导学案
课题:
27.1.图形的相似
(一)
班级
姓名
年级:
九年级课题:
相似课型:
新授
主备人:
审核人:
时间:
2017.1
学习目标
1.理解并掌握两个图形相似的概念.
2.了解成比例线段的概念,会确定线段的比.
3.知道相似多边形的主要特征,即:
相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
4.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似,并会运用其性质进行相关的计算.
重点与难点
重点:
相似图形的概念与成比例线段的概念.相似多边形的主要特征与识别.
难点:
成比例线段概念.运用相似多边形的特征进行相关的计算
学习过程:
课前预习1(课本p24---26)
1.
(1)请同学们先观察第27章章头图,他们的形状、大小有什么关系.
(2)教材P24引入.
(3)相似图形概念:
______________________________________________.
(4)让同学们再举几个相似图形的例子.
2.成比例线段:
对于四条线段a,b,c,d,如果其中____________________________相等,如
(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
【注意】
(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系,在计算时要注意统一单位;
(2)线段的比是一个没有单位的正数;(3)四条线段a,b,c,d成比例,记作
或a:
b=c:
d;
(4)若四条线段满足
,则有ad=bc.
课堂预习2
1.如图的左边格点图中有一个四边形,请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形.
2.问题:
对于图中两个相似的四边形,它们的对应角,对应边的比是否相等.
3.【结论】:
(1)相似多边形的特征:
(2)相似比:
问题:
相似比为1时,相似的两个图形有什么关系?
结论:
二·自主探究
一.、)观察图片,体会相似图形
1、同学们,请观察下列几幅图片,你能发现些什么?
你能对观察到的图片特点进行归纳吗?
(课本图27.1-1)(课本图27.1-2)
2、小组讨论、交流.得到相似图形的概念.
什么是相似图形?
3、思考:
如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像,它们相似吗?
二、)成比例线段概念
1.问题:
如果把老师手中的教鞭与铅笔,分别看成是两条线段AB和CD,那么这两条线段的比是多少?
归纳:
两条线段的比,就是两条线段长度的比.
2、成比例线段:
对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,如
(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
三、)小组探讨什么是相似多边形,相似比应该注意什么?
三.典例分析
例1如图,下面右边的四个图形中,与左边的图形相似的是()
例2已知:
一张地图的比例尺是1:
32000000,量得北京到上海的图上距离大约为3.5cm,求北京到上海的实际距离大约是多少km?
四.课堂练习
1.在比例尺是1:
8000000的“中国政区”地图上,量得福州与上海之间的距离时7.5cm,那么福州与上海之间的实际距离是多少?
2.△ABC与△DEF相似,且相似比是
,则△DEF与△ABC与的相似比是().
A.
B.
C.
D.
3.下列所给的条件中,能确定相似的有()
(1)两个半径不相等的圆;
(2)所有的正方形;(3)所有的等腰三角形;(4)所有的等边三角形;(5)所有的等腰梯形;(6)所有的正六边形.A.3个B.4个C.5个D.6个
4.已知四边形ABCD和四边形A1B1C1D1相似,四边形ABCD的最长边和最短边的长分别是10cm和4cm,如果四边形A1B1C1D1的最短边的长是6cm,那么四边形A1B1C1D1中最长的边长是多少?
课题:
27.2.1相似三角形的判定
(一)
班级
姓名
年级:
九年级课题:
相似课型:
新授
主备人:
审核人:
时间:
2017.1
学习目标
1.经历两个三角形相似的探索过程,体验分析归纳得出数学结论的过程,进一步发展同学们的探究、交流能力.
2.会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题.
重点与难点
教学重点:
理解掌握平行线分线段成比例定理及应用.
教学难点:
掌握平行线分线段成比例定理应用.
学习过程
一·课前预习导学
1.知识回顾
(1)相似多边形的主要特征是什么?
(2)在相似多边形中,最简单的就是相似三角形.
在△ABC与△A′B′C′中,如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且
.我们就说△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC∽△A′B′C′,k就是它们的相似比.
反之如果△ABC∽△A′B′C′,则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且
.
(3)问题:
如果k=1,这两个三角形有怎样的关系?
二·自主探究
教材P29的探究,并引导同学们探索.
3.【归纳】平行线分线段成比例定理:
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),
三角形相似的预备定理:
平行于三角形一边的直线和其它两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
三、例题讲解
例1(补充)如图△ABC∽△DCA,AD∥BC,∠B=∠DCA.
(1)写出对应边的比例式;
(2)写出所有相等的角;
(3)若AB=10,BC=12,CA=6.求AD、DC的长.
例2如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=EC,DB=1cm,AE=4cm,BC=5cm,DE的长.
四、课堂练习
1.下列各组三角形一定相似的是()
A.两个直角三角形B.两个钝角三角形C.两个等腰三角形D.两个等边三角形
2.如图,DE∥BC,EF∥AB,则图中相似三角形一共有()
A.1对B.2对C.3对D.4对
3.如图,DE∥BC,
(1)如果AD=2,DB=3,求DE:
BC的值;
(2)如果AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC的长.
4.如图,在□ABCD中,EF∥AB,DE:
EA=2:
3,EF=4,求CD的长.
2.如图,△ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,求证:
△ABC∽△DEF.
课题:
27.2.1相似三角形的判定
(二)
班级
姓名
年级:
九年级课题:
相似课型:
新授
主备人:
审核人:
时间:
2017.1
学习目标
1.初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法,以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法.
2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
重点与难点
能够运用三角形相似的判定定理解决简单的问题
一·课前预习导学
1.复习提问:
(1)两个三角形全等有哪些判定方法?
(2)我们学习过哪些判定三角形相似的方法?
(3)全等三角形与相似三角形有怎样的关系?
(4)如图,如果要判定△ABC与△A’B’C’相似,是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系?
2.
(1)思考:
首先,由三角形全等的SSS判定方法,我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么能否判定这两个三角形相似呢?
二·自主探究
教材P32的探究,并引导同学们探索
【归纳结论】
三角形相似的判定方法1
1.
(1)提出问题:
怎样证明这个命题是正确的呢?
(2)引领同学们探求证明方法.
2.用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件:
(1)提出问题:
由三角形全等的SAS判定方法,我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,那么能否判定这两个三角形相似呢?
(2)同学们画图,自主展开探究活动.
(3)【归纳结论】
三角形相似的判定方法2
三.例题讲解
例1
已知:
如图,在四边形ABCD中,∠B=∠ACD,AB=6,BC=4,AC=5,CD=
,求AD的长.
四.课堂练习
1.如果在△ABC中∠B=30°,AB=5㎝,AC=4㎝,在△A’B’C’中,∠B’=30°A’B’=10㎝,A’C’=8㎝,这两个三角形一定相似吗?
试着画一画、看一看?
2.如图,△ABC中,点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,求证:
△ABC∽△DEF.
3.已知:
如图,P为△ABC中线AD上的一点,且BD2=PD•AD,
求证:
△ADC∽△CDP.
课题:
27.2.1相似三角形的判定(三)
班级
姓名
年级:
九年级课题:
相似课型:
新授
主备人:
审核人:
时间:
2017.1
学习目标
1.掌握“两角对应相等,两个三角形相似”的判定方法.
2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题.
学习重点:
掌握两种判定方法,会运用两种判定方法判定两个三角形相似。
学习难点:
(1)三角形相似的条件归纳、证明;
(2)会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似.
一·课前预习导学
(1)我们已学习过哪些判定三角形相似的方法?
(2)如图,△ABC中,点D在AB上,如果AC2=AD•AB,
那么△ACD与△ABC相似吗?
说说你的理由.
二·自主探究
(1)如
(2)题图,△ABC中,点D在AB上,如果∠ACD=∠B,
那么△ACD与△ABC相似吗?
(2)教材P35的探究.
三.例题讲解
例1(教材P35例2).证明:
略(见教材P35例2).
例2已知:
如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F,若AB=4,AD=5,AE=6,求DF的长.
解:
四.课堂练习
1.已知:
如图,∠1=∠2=∠3,求证:
△ABC∽△ADE.
2.下列说法是否正确,并说明理由.
(1)有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形;
(2)有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形.
3.已知:
如图,△ABC的高AD、BE交于点F.
求证:
.
4.已知:
如图,BE是△ABC的外接圆O的直径,CD是△ABC的高.
(1)求证:
AC•BC=BE•CD;
(2)若CD=6,AD=3,BD=8,求⊙O的直径BE的长.
课题:
27.2.2相似三角形的性质
班级
姓名
年级:
九年级课题:
相似课型:
新授
主备人:
审核人:
时间:
2017.1
学习目标
1.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方.
2.
能用三角形的性质解决简单的问题.
一·课前预习导学
1.复习提问:
已知:
∆ABC∽∆A’B’C’,根据相似的定义,我们有哪些结论?
问:
两个三角形相似,除了对应边成比例、对应角相等之外,我们还可以得到哪些结论?
2.思考:
看教材p37
(1)如果两个三角形相似,它们的对应边高、对应中线、对应角平分线的比与相似比之间有什么关系?
(2)如果两个三角形相似,它们的周长之间有什么关系?
(3)如果两个三角形相似,它们的面积之间有什么关系?
(4)两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系?
二·合作与探究
结论——相似三角形的性质:
性质1
即:
性质2
即:
.
性质3
即:
三.例题讲解
例1.p38例3
例2已知:
如图:
△ABC∽△A′B′C′,它们的周长分别是60cm和72cm,且AB=15cm,B′C′=24cm,求BC、AB、A′B′、A′C′的长.
分析:
根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC等边的长.
四.课堂练习
1.填空:
(1)如果两个相似三角形对应边的比为3∶5,那么它们的相似比为________,周长的比为_____,面积的比为_____.
(2)如果两个相似三角形面积的比为3∶5,那么它们的相似比为________,周长的比为________.
(3)连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______,面积比等于_______.
(4)两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm,若较大三角形的周长是42cm,面积是12cm2,则较小三角形的周长为________cm,面积为_______cm2.
2.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?
如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.
3.已知:
如图,△ABC中,DE∥BC,
(1)若
,①求
的值;②求
的值;
③若
,求△ADE的面积;
(2)若
,
,过点E作EF∥AB交BC于F,求□BFED的面积;
(3)若
,
,过点E作EF∥AB交BC于F,求□BFED的面积.
27.2.3相似三角形的应用举例
班级
姓名
年级:
九年级课题:
相似课型:
新授
主备人:
审核人:
时间:
2017.1
学习目标
1.进一步巩固相似三角形的知识.
2.能够运用三角形相似的知识,解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等的一些实际问题.
学习重点:
运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度.
学习难点:
灵活运用三角形相似的知识解决实际问题(如何把实际问题抽象为数学问题).
合作与探究
一、问题1:
学校操场上的国旗旗杆的高度是多少?
你有什么办法测量?
问题2:
世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家,叫什么金字塔?
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,每边长约230多米.据考证,为建成大金字塔,共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低.
在古希腊,有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:
“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!
”,这在当时条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗?
二、例题讲解
例1(教材P39例4——测量金字塔高度问题)
解:
略(见教材P40)
练习:
在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为90米,那么高楼的高度是多少米?
(在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.)
例2(教材P40例5——测量河宽问题)
解:
略(见教材P40)
问:
你还可以用什么方法来测量河的宽度?
解法二:
如图构造相似三角形(解法略).
例3(教材P40例6——盲区问题)
分析:
略(见教材P40)解:
略(见教材P41)
三、课堂练习
1.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?
2.小明要测量一座古塔的高度,从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影,已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米,塔底中心B到积水处C的距离是40米.求塔高?
3.小明想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上,如图,他先测得留在墙上的影高1.2m,又测得地面部分的影长2.7m,他求得的树高是多少?
27.3位似
(一)
班级
姓名
年级:
九年级课题:
相似课型:
新授
主备人:
审核人:
时间:
2017.1
学习目标
1.了解位似图形及其有关概念,了解位似与相似的联系和区别,掌握位似图形的性质.
2.掌握位似图形的画法,能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小.
一.课堂引入
1.观察:
在日常生活中,我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形,它们有什么特征?
2.问:
已知:
如图,多边形ABCDE,把它放大为原来的2倍,即新图与原图的相似比为2.应该怎样做?
你能说出画相似图形的一种方法吗?
三、例题讲解
例1(补充)如图,指出下列各图中的两个图形是否是位似图形,如果是位似图形,请指出其位似中心.
分析:
位似图形是特殊位置上的相似图形,因此判断两个图形是否为位似图形,首先要看这两个图形是否相似,再看对应点的连线是否都经过同一点,这两个方面缺一不可.
解:
例2(教材P47例题)把图1中的四边形ABCD缩小到原来的
.
分析:
把原图形缩小到原来的
,也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2.
四、课堂练习
1.画出所给图中的位似中心.
2.把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍.
3.已知:
如图,△ABC,画△A′B′C′,
使△A′B′C′∽△ABC,且使相似比为1.5,要求
(1)位似中心在△ABC的外部;
(2)位似中心在△ABC的内部;
(3)位似中心在△ABC的一条边上;
(4)以点C为位似中心.
27.3位似
(二)
班级
姓名
年级:
九年级课题:
相似课型:
新授
主备人:
审核人:
时间:
学习目标
1.巩固位似图形及其有关概念.
2.会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换,掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后,点的坐标变化的规律.
3.了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同,并能在复杂图形中找出这些变换.
一.课堂引入
1.如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),
(1)将△ABC向左平移三个单位得到△A1B1C1,写出A1、B1、C1三点的坐标;
(2)写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标;
(3)将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3,写出A3、B3、C3三点的坐标.
2.在前面几册教科书中,我们学习了在平面直角坐标系中,如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换,相似也是一种图形的变换,一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示.
二.合作探究:
(1)如图,在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0).以原点O为位似中心,相似比为
,把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化,你有什么发现?
(2)如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大,观察对应顶点坐标的变化,你有什么发现?
【归纳】位似变换中对应点的坐标的变化规律:
三.例题讲解
例1(教材P49的例题)
解:
问:
你还可以得到其他图形吗?
请你自己试一试!
解法二:
四.课堂练习
1.
△ABO的定点坐标分别为A(-1,4),B(3,2),O(0,0),试将△ABO放大为△EFO,使△EFO与△ABO的相似比为2.5∶1,求点E和点F的坐标.
2.如图,△AOB缩小后得到△COD,观察变化前后的三角形顶点,坐标发生了什么变化,并求出其相似比和面积比.
3.如图,将图中的△ABC以A为位似中心,放大到1.5倍,请画出图形,并指出三个顶点的坐标所发生的变化.
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