普通高等学校招生全国统一考试全国I卷及参考答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试全国I卷及参考答案
2021年普通高等学校招生全国统一测试(全国I卷)
理科数学
一、选择题:
此题共12小题,每题5分洪60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.
1.集合A={x|x<1},B={x3x<1},那么()
A.AQB=:
xx<0?
b.AUB=RC.A|jB=[xx.1)d.AHB=
【解析】A=
{xx<1},B={x|3x<1}={xx<0}.\ApB={x|x<0},AlJB={xx<1},选A
2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部位于
正方形的中央成中央对称,在正方形内随机取一点,那么此点取自黑色局部的概率是(
1
A.一
4
兀
B.-
8
1C.-
2
兀
D.—
4
【解析】设正方形边长为2,那么圆半径为1那么正方形的面积为2M2=4,圆的面积为启12
兀,图中黑色部
分的概率为』那么此点取自黑色局部的概率为2
3.设有下面四个命题()
1
P1:
假设复数z满足—uR,那么z三R;P2:
假设复数z满足
Z
zzWR,那么z1=z2;P4:
假设复数zWR,那么一zWR.
z2wR,那么zWR;P3:
假设复数
Zi,z2满足
A.Pi,P3
B.P1,P4
C.P2,P3
D.P2
P4
„,11a-bi
【解析】①:
设z=a+bi,那么—二=-2=R得到b=0,所以zWR.故P1正确;
zabiab
P2:
假设Z2=—1,满
足z2ER,而z=i,不满足z2WR,故P2不正确;P3:
假设乙=1,z2=2,那么取2=2,满足取2wR,而
它们实部不相等,不是共轲复数,故P3不正确;
P4:
实数没有虚部,所以它的共轲复数是它本身,也属于实数,故P4正确;
4.记Sn为等差数列
A.1
Q}的前n项和,假设a4+a5=24,S=48,那么匕口}的公差为()
B.2C.4D.8
【解析】
____65
a4+a5=a[十3d+a〔+4d=24S6=6&+d=48联立求得
2
j2a1+7d=24①[6a115d=48②
①父3—②得(21—15户=246d=24:
d=4选C
5.函数
是(
f(x)在(-00,十°°
)A.1-2,2】
)单调递减,且为奇函数.假设f
(1)=-1,那么满足-1&f(x-2)<1的x的取值范围
C.b,4]
【解析】由于f(x)为奇函数,所以f(―1)=-f
(1)=1,于是—14f(x—2丹1等价于
f(1月f(x-2尸f(—1)|又f(x)在(.\+8坤调递减.-.-Kx-2<1,1WxW3应选D
16一一,.c
6.12+x〕展开式中x2的系数为
A.15
【解析】1+
B.20
661
x=11xF
C.30
662
(1+x/〞1+x)的x2项系数为C2=
D.35
65
——=15
2
对m<1+x6的x2项系数为C6=15,x2的系数为15+15=30应选C
x
7
正方形的边
.某多面体的三视图如下图,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成
这些梯形的面积之和为
长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有假设干是梯形
A.10
【解析】由三视图可画出立体图
C.14
D.16
该立体图平面内只有两个相同的梯形的面
S梯=〔2+4J<2-2=6电梯=6父2=12应选B
8
两个空白框中,
.右面程序框图是为了求出满足3n-2n>1000的最小偶数n,那么在O和
可以分别填入
1输出打/
A.A>1000和n=n+1B.A>1000和n=n+2C.AW1000和n=n+1D.Aw1000和n=n+2
解由于要求A大于1000时输出,且框图中在“否〞时输出,«<二>"中不能输入A>1000
排除A、B又要求n为偶数,且n初始值为0,中n依次加2可保证其为偶应选
9曲线G:
y=cosx,C2:
y=sin
2X型
2X3
那么下面结论正确的选项是〔〕
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的
2倍,纵坐标不变
再把得到的曲线向右平移
工个单位长度,得到曲线6
C2
B.把C上各点的横坐标伸长到原来的
2倍,纵坐标不变
再把得到的曲线向左平移
万个单位长度,得到曲线
_1.、一,一,r兀*、,,、,•一,r
C.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的万倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移吊个单位长度,得到曲线
C2
D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的
TT,i
2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移五个单位长度,得到曲线
C2
【答案】D
2兀
【解析】G:
y=cosx,C2:
y=sinI2x一
3
首先曲线Ci、C2统一为一三角函数名,可将Ci:
y=cosx用诱导公式处理.
y=cosx=cos.x+]—2J=sin.x+2卜横坐标变换需将切=1变成@=2,
fc[上各点横坐标缩短它原来1fyf\
即y=sin!
x21y=sinl2x—=sin2lx»
.2.24
2兀兀
——y=sin!
2x—=sin2!
x—.
3.3
注意切的系数,在右平移需将曰=2提到括号外面,这时x+」平移至x+」,
43,
根据“左加右减〞原那么,“x才到“x;需加上if,即再向左平移12
9.F为抛物线C:
y2=4x的交点,过F作两条互相垂直li,I2,直线li与C交于A、B两点,直线I2
与C交于D,E两点,AB十DE的最小值为〔〕
A.i6
【答案】A【解析】
B.i4
C.i2
D.i0
设AB倾斜角为9.作AKi垂直准线,AK2垂直x轴
f
!
af|cos6+|GF|=AKi〔几何关系〕
易知?
AKi|=AF|〔抛物线特性〕
GP=P—.1—P]=P
22
|af|cose+p=af同理|af|=—
i-cos二
BF
P
icos二
:
AB二与,
22'
i-cos二sinf
一.一兀,n
又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为鼻十日
DE_2P_2P
sin2,三十g]cos28而y2=4x,即P=2.
2
1.2c.
sin2-i
4'
...ABDE=2P-—^-=4sin]cos'=-2.42
16
2
sin2271
sin1cos【sin?
coS二sinicos二
.TT
>16,当日=—取等号4
即|AB[DE最小值为16,应选A
10.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,那么0
A.2x:
:
3y:
:
;5zB.5z:
:
2x:
:
3yC.3y:
:
5z:
:
;2xD.3y:
:
2x:
:
5z
【答案】D
xln33
【答案】取对数:
xln2=yln3=ln5.—=——>-2x>3y
yln22
一.xln55
xln2=zln5贝U—=——<-:
2x<5z:
3y<2x<5做选D
zln22
11.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码〞的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
数列
1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项为哪一项20,接下来的两项是20,21,在接下来的三项式26,21,22,依次类推,求满足如下条件的最小整数N:
N>100且该数列的前N项和为2的整数哥.那么该款软件的激活码是〔〕
A.440B.330C.220D.110
【答案】A
【解析】设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推.
设第n组的项数为n,那么n组的项数和为也已〕
2
由题,N>100,令叱+n〕>100fn>14且nwN*,即N出现在第13组之后2
第n组的和为=2n—1n组总共的和为41-2〕_n=2n_2.n
假设要使前N项和为2的整数哥,那么N—n-^项的和2k-1应与-2-n互为相反数
2
即2k-1=2+n〔kWN*,n>14〕k=log〔n+3
fn=29,k=5那么n=29*'12'5=440应选A
2
二、填空题沐题共4小题,每小:
5分,:
20分.
12.向量1,b的夹角为60°,a=2,b'=1,那么a+2b=.
【答案】2.3
[角军析】:
+2b2=〔:
+2:
〕2=|:
'2+22bcos60口+〔2b〕=22+2父2M2M;+22=4+4+4=12
.•・a+2b=屈=2点
13.设x,y满足约束条件
_|_x2y<1
不等式组W2x+y2」表示的平面区域如下图
x-yM0
由z=3x—2y得y=?
x,求z的最小值,即求直线y=-x--的纵截距的最大值
2222
当直线y=|x—|过图中点A时,纵截距最大
2xy--1
由J解得A点坐标为(―1,1),此时z=3x(—1)—2父1=-5
x2y=1
22
xy
14.双曲线C:
-,(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C
ab
的一条渐近线交于M,N两点,假设/MAN=600,那么C的离心率为
如图,OA=a,AN=|AM|=b
•••/MAN=60°,AP=
OP=JOA『T|PA『
a2-3b2
4
tan二二
AP
OP
—b
2
a2-3b2
又•:
tan二=
「723
I=
33
••e=
1
15.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中央为O,D、E、F为元O上的点,ADBC/ECA/FAB分别是一BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以
BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合彳导到三棱锥.当△ABC的边长
变化时,所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为.
【答案】415
【解析】由题,连接OD,交BC与点G,由题,OD_LBC
3Q………、…r
OG=—BC,SPOG的长度与BC的长度或成正比
6
设OG=x,那么BC=2.3x,DG=5-x
三棱锥的高h=、;DG2-OG2=125-10xx2-xf25-10x
-1—0-19._
SaABC=2g3x=343x2,那么V=-SAabch=43x2,拉5—10x=第;25x4-10x5
23
令fx=25x4-10x5,x(0,5),fx=100x3-50x4
令f'(x)>0,即x4-2x3<0,x<2,那么f(x尸f
(2)=80
那么VW73M闻=45,:
体积最大值为4#5cm3
17-21题为必'考题,每个试题考
2
a
3sinA
解做题:
共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
〔一〕必考题:
共60分.
16.4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,4ABC的面积为
(1)求sinBsinC;
(2)假设6cosBcosC=1,a=3,求AABC的周长.
【解析】此题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等根底知识的综合应用
a21...
(1).AABC面积S=.且S=-bcsinA
3sinA2
a21232A
..=—bcsinA,a=-bcsinA
3sinA22
23_2
..由正弦7E理得sinA=—sinBsinCsinA,2
「2
由sinA#0得sinBsinC=—.
3
321
(2)由
(1)得sinBsinC=一,cosBcosC=—,/A+B+C=k
36
1
:
cosA=cos(u-B-C)=—cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=—
31
又.—=(0,n),:
A=60,sinA=—,cosA=—
22
由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9①
由正弦定理得b=-a—sinBc=—a—sinCsinA,sinA
2.a
…bc=-2—sinBsinC=8②
sin2A
由①②得b+c=V33a+b+c=3+7^3即^ABC周长为3+V33
17.(12分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD中,且/BAP=/CDP=90..
(1)证实:
平面PAB,平面PAD;
(2)假设PA=PD=AB=DC,ZAPD=902求二面角【解析】
(1)证实:
.一/BAP=/CDP=90.
PA_AB,PD_CD
又•:
ABIICD,.二PD_LAB
又•:
PDI^PA=P,PD、PAU平面PAD
AB_L平面PAD,又ABU平面PAB
••・平面PAB_L平面PAD
(2)取AD中点O,BC中点E,连接PO,OE
•••AB起CD
••・四边形ABCD为平行四边形
A-PB-C的余弦值.
1-
OE.ZAB
由
(1)知,AB_L平面PAD
OE_L平面PAD,又PO、ADU平面PAD
OE_PO,OE_AD
又「PA=PD,.•.PO_AD
PO、OE、AD两两垂直
以O为坐标原点,建立如下图的空间直角坐标系O-xyz
PA
-I
PD
=2,,•,D(W2,0,0)、B(e,2,0卜P(0,0,&)、C(-V2,2,0
=(/,0,—J2)、PB=(J2,2,—J2)、BC=(-2&,0,0)
ey
(x,y,z)为平面PBC的法向量
PB=02x2y-.2z
-,得_
BC=0-2.2x=0
令y=1,那么z=J2,x=0,可得平面PBC的一个法向量n=(0,1,五)
•••幺PD=90;.PD_LPA
又知AB_L平面PAD,PD仁平面PAD
•PD_AB,又PAriAB=A
PD_L平面PAB
—T!
-l
即pd是平面PAB的一个法向量,PD=(t/2,0,72)
cosPD,n
3由图知二面角A-PB弋为钝角,所以它的余弦值为-出
18.(12分)
为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量
其尺寸(单位:
cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态2
分布N(N,仃).
(1)假设生产^态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(N-3仃,卜+3仃)之外的零件
数,求P(X>1/X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(N-3仃,N+3仃)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性:
(II)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04
10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95
16~r~^21~16
经计算得x=£Xi=9.97,s=—£(x-x)=J—^2-16x2L0.212,其中x为抽取的第i个i1:
16-;16
零件的尺寸,i=1,2,HI,16.
用样本平均数x作为N的估计值巴用样本标准差s作为.的估计值口,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除(?
-3仅,?
+39)之外的数据,用剩下的数据估计N和.(精确到
0.01).
附:
假设随机变量Z服从正态分布N(N,仃2),那么P(R—3j 0.99740.9592,.,0.0080.09. 【解析】 (1)由题可知尺寸落在(H一3仃,R+3ct)之内的概率为0.9974落在(N—30,卜+3仃)之外的概率为0.0026 P(X=0产C;6(1-0.997400.997416之0.9592 PX_1=1-PX=0: 1-0.9592=0.0408 由题可知X~B06,0.0026),E(X)=16父0.0026=0.0416 (2)(i)尺寸落在(N—3仃,N+3.)之外的概率为0.0026 由正态分布知尺寸落在(N-3仃,N+3.)之外为小概率事件, 因此上述监控生产过程的方法合理. (ii) ''-3'-9.97-30.212=9.334 .二+3;.--9.9730.212=10.606(N—3仃,N+3.)=(9.334,10.606) 79.22正(9.334,10.606),二需对当天的生产过程检查 因此剔除9.22 99716-922剔除数据之后: 二二9.22: 10.02. 15 222222 二二[9.95-10.02i「10.12-10.02i「9.96-10.02i「9.96-10.02ir10.01-10.02 22222 9.92-10.02ir998-10.02: i何10.04-10.02)-1: 10.26-10.02: i): 9.91-10.02 口 15 22222 10.13-10.02iF10.02-10.02i-[10.04-10.02iF10.05-10.02if9.95-10.02] ■0.008 19.(12分) 22 椭圆c: JL a2b2 =1(a>b>0),四点R(1,1),P2(0,1),P31—1,咚j,P4\- 中恰有三点在 椭圆C上. (1)求C的方程; (2)设直线l不经过B点且与C相交于A、B两点,假设直线P2A与直线P2B的斜率的和为_1,证实: l过定点. 【解析】 (1)根据椭圆对称性,必过P3、P4 又R横坐标为1,椭圆必不过P,所以过B,P3,P4三点 3点), 将2(0,1),月.-1,三代入椭圆方程得 「1 X 3,解得a2=4,b2=1, _L+Z_1 ~十尸—1 且b 2 .♦・椭圆C的方程为: —+y2=1. 4 (2)①当斜率不存在时,设l: x=m,A(m,yA),B(m,-yA)kP2AkP2B=7 得m=2,此时l过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足. ②当斜率存在时,设l: y=kx+b(b01) A.,y1}B4,y2) y=kx»b„ 联立422,整理得(1+4kJx+8kbx+4b—4=0 x24y2-4=0 XiX2= -8kb 4b2-4 那么kP2AkPB二"二三Jkx1b-X2x14b^1 22x1x2xx2 8kb2-8k-8kb28kb 14k24b2-4 8kb-1 J=-1,又b#1 4(b+1'(b—1)乂b। 2 14k =b=-2k-1,此时A=-64k,存在k使得△: >0成立. ・,・直线l的方程为y=kx—2k—1 当x=2时,y=-1,所以l过定点(2,-1). 20.(12分) 函数fx=ae2x,a-2ex-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)假设f(x冶两个零点,求a的取值范围. 【解析】 (1)由于f(x)=ae2x+(a-2px-x 故fx)=2ae2xa-2ex-1=]aex-12ex1 ①当a宅0时,aex_1<0,2ex十1>0.从而f'(x户0恒成立. f(x)在R上单调递减 ②当a>0时,令f[x)=0,从而aex_1=0,得x=—lna. x (-℃,—lna) -lna (—lna,+°o) f(x) — 0 + f(X) 单调减 极小值 单调增 综上,当aE0时,f(x)在R上单调递减; 当a>0时,f(x)在(-℃,-lna)上单调递减,在(-lna,收)上单调递增 (2)由 (1)知, 当aM0时,f(x)在R上单调减,故f(x)在r上至多一个零点,不满足条件. 1- 当aA0时,fmin=f(-lna)=1——十lna. 令ga=1 令gai-1- 1. —lna. a 111 -+lnaa>01那么g'(a)==十一>0.从而ga用(.,+如)上单倜增,而aaa g (1)=0.故当 a>1,那么fmin a=1,那么fmin 1 二1一一Ina a 1 =1——Ina a =g(a)>0,故f(x)>0恒成立,从而f(x)无零点,不满足条件. =0,故f(x)=0仅有一个实根x=—lna=0,不满足条件.
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