完整版平面向量中三点共线定理妙用docx.docx
- 文档编号:9446434
- 上传时间:2023-02-04
- 格式:DOCX
- 页数:21
- 大小:26.63KB
完整版平面向量中三点共线定理妙用docx.docx
《完整版平面向量中三点共线定理妙用docx.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《完整版平面向量中三点共线定理妙用docx.docx(21页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
完整版平面向量中三点共线定理妙用docx
实用标准文案
平面向量中“三点共线定理”妙用
对平面内任意的两个向量ab
b
0),
a
//
b
的充要条件是:
存在唯一的实数
,使
a
b
(
由该定理可以得到平面内三点共线定理:
三点共线定理:
在平面中A、B、P三点共线的充要条件是:
对于该平面内任意一点
的O,存在唯一的一对实数x,y
uuuv
uv
uuuv
且xy1。
使得:
xOA
yOB
OP
特别地有:
当点P在线段AB上时,x
0,y0
当点P在线段AB之外时,xy
0
笔者在经过多年高三复习教学中发现,运用平面向量中三点
共线定理与它的两个推广形式解决高考题,模拟题往往会使会问题的解决过程变得
十分简单!
本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点
共线定理与它的两个推广形式的妙用
供同行交流。
例1(06
年江西高考题理科第
7
题)已知等差数列
{an}的前n项和为Sn,若
uuur
uuur
uuur
OB
a1OA
a200OC,且A、B、C三点共线,(设直线不过点O),则S200=(
)
A.100
B.101
C.200
D.201
解:
由平面三点共线的向量式定理可知:
a1+a200=1,∴
S200
200(a1a200)
100,
故选。
2
A
点评:
本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起,是一道经
典的高考题。
例2已知P是ABC的边BC上的任一点,且满足AP
xAB
yAC,x.y
R,则1
4
x
y
的最小值是
解:
Q点P落在VABC的边BC上
B,P,C三点共线
uuur
uuur
uuur
x
y1且x>0,y>0
QAP
xAB
yAC
14
(
14
14
y4x
45
y4x
xy
x
)1(
)(xy)1
y
x
y
y
xy
x
Qx>0,y>0
y
0,4x
0
由基本不等式可知:
y
4x
2
y
4x
4,取等号时
x
y
x
y
x
y
精彩文档
实用标准文案
y
4x
y2
4x2
y
2xQx0,y0y2xQxy1x
1,y
2,符合
x
y
3
3
14
所以的最小值为9
点评:
本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起,
较综合考查了学生基本功.
例3(湖北省2011届高三八校第一次联考理科)如图
2,在△ABC中,
uuur1uuur
uuur
uuur
2
uuur
AN
NC,点P是BC上的一点,若AP
mAB
11
AC,则实数m的
3
值为(
)
A.9
B.
5
C.
3
D.
2
图2
11
11
11
11
QB,P,N
uuur
uuur
2
uuur
uuur
2
uuur
uuur
8
uuur
解:
三点共线,又QAP
mAB
11
AC
mAB
11
4AN
mAB
11
AN
8
3
m
m1
,故选C
11
11
例4(07年江西高考题理科)如图
3,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直
uuur
线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n
的值为
.
解:
Q因为O是BC的中点,故连接AO,如图4,由向量加法的平行
四边形法则可知:
uuur
1
uuur
uuur
AO
2
(AB
AC)
uuur
uuuur
uuur
uuur
图3
Q=
mAM
,AC
nAN
AB
uuur
uuuur
uuur
AO
1(mAM
nAN)
2
uuur
muuuur
nuuur
AO
AM
AN
2
2
又QM,O,N三点共线,
图4
由平面内三点共线定理可得:
m
n
1mn2
22
例5(广东省2010届高三六校第三次联)如图5所示:
点G是△OAB的重心,P、Q分
别是边OA、OB上的动点,且P、G、Q三点共线.
设OP
xOA,OQ
yOB,证明:
1
1
是定值;
x
y
精彩文档
实用标准文案
明:
Q因G是VOAB的重心,
uuur
2
1
uuur
uuur
1uuur
uuur
OG
(OA
OB)
(OA
OB)
3
2
3
图5
uuur
uuur
uuur
1
uuur
uuur
uuur
uuur
1
uuur
QOP
xOA
OA
x
OP
QOQ
yOB
OB
y
OQ
uuur
1
uuur
uuur
1
1uuur
1
uuur
uuur
1
uuur
1uuur
OG
3
(OA
OB)
(
OP
y
OQ)
OG
OP
OQ
3
x
3x
3y
又QP,G,Q三点共,
1
1
1
1
1
3
1
1定3
3x3y
x
y
x
y
例6(汕市山中学
2013届高三第二次模考)如
6所示,
uuur
1uuur
uuur
1uuur
在平行四形ABCD中,AE
AB
AF
AD,CE与BF相交于G
3
4
uuur
ruuur
r
uuur
_______
点,AB
a,AD
b,AG
A.
2r
1r
B.
2r
3r
C.
3r
1r
4r
2r
图6
a
b
a
b
a
bD.
a
b
7
7
7
7
7
7
7
7
分析:
本是以平面几何背景,体,求向量的,所以我很容易想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直上,可用平面内三点共定理求解。
:
三点共,
由平面内三点共定理可得:
存在唯一的一数x使得
解QE,G,C
uuur
uuur
(1
uuur
uuur
1uuur
1r
uuur
r
r
AG
xAE
x)AC
QAE
AB
a,
AC
a
b
1r
3
3
uuur
r
r
2xr
r
AG
x
a(1
x)(a
b)
(1
)a(1
x)b⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
3
3
又QF,G,B三点共,
由平面内三点共定理可得:
存在唯一的一数
使得
uuur
uuur
(1
uuur
uuur
1uuur
1r
AG
AB
)AF
QAF
AD
b,,
uuur
r
1r
4
4
(1
)
②
AG
a
b⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4
1
2x
6
x
uuur
3r
1r
由①②两式可得:
3
7
1
3
AG
a
b
1x
7
7
4
7
点:
本的解法中由两三点共(F、G、B以及E,G,C三点在一条直上),
精彩文档
N
C
P
AMB
实用标准文案
利用平面内三点共定理构造方程求解,避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本的运算复,达到了化解程的效果。
例6的式一:
如7所示,在三角形ABC中,AMAB=13,ANAC=14,BN与CM
相交于点P,且AB
a,AC
b,用a、b表示AP
解:
QN,P,B三点共,
由平面内三点共定理可得:
存在唯一的一数图7x,y
uuur
uuur
uuur
y
1
使得AP
xAB
yAN,x
QAN﹕AC=1﹕4,
AN
1AC
uuur
uuur
yuuur
r
yr
r
1xr
1bAP
xAB
AC
xa
b
xa
b⋯⋯①
4
4
4
4
4
又QC,P,M三点共,
由平面内三点共定理可得:
存在唯一的一数,
使得
uuur
uuuur
uuur
1
∴AM
1AB
1a,,
AP
AM
AC,
∵AM﹕AB=1﹕3
uuur
r
r
1
r
r
3
3
②
AP
a
b
3
a
b⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3
x
1
x
3
3
11
8
由①②两式可得:
Qxy1,y
1
x
2
11
4
11
uuur
3r
2
r
AP
a
b
1111
例6的式二:
如8所示:
直lYABCD的两条角
AC与BD的交点O,与AD交于点N,与AB的延交于
uuur
uuur
点M。
又知AB=mAM,AD=nAN,m+n=
图8
解:
因点O两条角AC与BD的交点,所以点OAC的中点
uuur
1
uuur
uuur
uuur
uuur
AO
(AB
AD)
QAB=mAM,AD=nAN
uuur
2
uuuuruuur
muuuur
nuuur
1
又QM,O,N三点共,
AO
2
(mAM
nAN)
AM
AN
2
2
m
n
由平面内三点共的向量式定理可得:
2
1mn2
2
定理的推广:
推广1:
如9所示:
已知平面内一条直AB,两个不同的点O与P.
点O,P位于直AB异的充要条件是:
存在唯一的一数x,y
uuuv
uv
uuuv
图9
使得:
OP
xOA
yOB且xy1。
精彩文档
实用标准文案
推广2:
如图10所示:
已知平面内一条直线AB,两个不同的点O与P.
点O,P位于直线
AB同侧的充要条件是:
存在唯一的一对实数
x,y
使得:
uuuv
uv
uuuv
y
1。
图10
OP
xOA
yOB且x
例7
已知点P为VABC所在平面内一点,且
uuur
1uuur
uuur
R),若点P落在
AP
AB
tAC(t
VABC的内部,如图11,则实数t的取值范围是(
3
)
A.(0,3)
B.
(1,3)
C.
(0,1)
D.
(0,2)
4
2
4
3
解:
Q点P落在VABC的内部
A,P两点在直线BC的同一侧,
图11
由推论2知:
1
t
1
t
2,所以选D
3
3
例8(06年湖南高考题文科)
如图12:
OM∥AB,点P由射线
OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)
.且
B
OP
xOA
yOB,则实数对(x,y)可以是(
)
M
A.(1,3)
2,2)
(1,3)
(1,7)
O
A
B.(
C.
D.
图12
4
4
3
3
4
4
5
5
解:
由题目的条件知:
点
O与点P在直线AB的同侧,所以xy
1,所以A,D两选
项不符合。
对于选项B、C,都有x
y
1
但当x
2时,
3
5
①如果点P在直线AB上,则由平面内三点共线的向量式定理可知:
y
uuur
uuur
3
②如果点P在直线OM上,OM∥AB可知:
OP||AB,由平面向理共线定理可知:
存在
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
OP
xOA
yOBt
x,ty
唯一的实数t,使得OP
tAB
t(OB
OA)
tOA
tOB,Q
t
2,y
2
3
3
又因为点P在两平行直线AB、OM之间,所以2
y
5,故B选不符合。
3
3
对选项C同理可知:
当x
1时,1
y
5,故y
3符合,所以选C
4
4
4
4
例9(06年湖南高考题理科)如图
13,OM∥AB,点P在由射线
OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运
精彩文档
实用标准文案
uuur
uuur
uuur
1时,y的取值范围是
.
动,且OP
xOA
yOB,当x
1
2
解:
当x
图13
时,
2
①如果点P在直线AB上,则由平面内三点共线的向量式定理可知:
3
y
uuur
uuur
2
②如果点P在直线OM上,OM∥AB可知:
OPPAB,由平面向理共线定理可知:
存在
uuur
uuur
uuuruuur
uuur
uuur
yOBtx,ty
唯一的实数t,使得OP
tAB
t(OBOA)
tOA
tOB,QOP
xOA
t
1,y
1,又因为点P在两平行直线AB、OM之间,所以1
y
3,所以实数y
2
2
1
3
2
2
的取值范围是:
(,
)
2
2
练习:
uuur
uuuruuur
ruuur
r
O
3.OAB,点P在边AB上,AB
3AP,设OA
a,OB
b,
uuur
则OP
(
)
A.
1r
2r
B.
2r
1r
a
b
a
b
3
3
3
3
C.
1r
2r
D.
2r
1r
a
b
a
b
3
3
3
3
1、平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),
uuur
βOB,其中α,β∈R且α+β=1,则x,y所满足的关系式为(
A.3
+2-11=0B
.(
x
-1)2
+(
y
-2)2
=5
C.2-
y
=0
x
y
x
b
a
ABP
uuuruuur
若点C(x,y)满足OC=αOA+
)
D.x+2y-5=0
、已知P
是
ABC的边BC上的任一点,且满足
APxAByAC,x.yR
,则1
4
2
x
y
的最小值是
精彩文档
实用标准文案
3、在平行四边形
ABCD中,O是对角线AC与BD的交点,E是BC边的中点,连接
DE交AC于点
?
F。
已知AB=a,AD=b,则OF=(
)
A.1a+1bB.1(a+b)C.1(a+b)D.1a+1b
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 完整版 平面 向量 中三点 共线 定理 妙用 docx