届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何95椭圆第2课时学案理北师大版.docx
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届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何95椭圆第2课时学案理北师大版
第2课时 直线与椭圆
题型一 直线与椭圆的位置关系
1.若直线y=kx+1与椭圆+=1总有公共点,则m的取值范围是( )
A.m>1B.m>0
C.0 答案 D 解析 方法一 由于直线y=kx+1恒过点(0,1), 所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上, 则0<≤1且m≠5, 故m≥1且m≠5. 方法二 由 消去y整理得(5k2+m)x2+10kx+5(1-m)=0. 由题意知Δ=100k2-20(1-m)(5k2+m)≥0对一切k∈R恒成立, 即5mk2+m2-m≥0对一切k∈R恒成立, 由于m>0且m≠5,∴m≥1且m≠5. 2.已知直线l: y=2x+m,椭圆C: +=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)有两个不重合的公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点. 解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立, 得方程组 将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③ 方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. (1)当Δ>0,即-3 (2)当Δ=0,即m=±3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)当Δ<0,即m<-3或m>3时,方程③没有实数根,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点. 思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点. 题型二 弦长及弦中点问题 命题点1 弦长问题 典例斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为( ) A.2B.C.D. 答案 C 解析 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 直线l的方程为y=x+t, 由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0, 则x1+x2=-t,x1x2=. ∴|AB|=|x1-x2| =· =·=·, 当t=0时,|AB|max=. 命题点2 弦中点问题 典例已知椭圆E: +=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( ) A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1 答案 D 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以运用点差法, 所以直线AB的斜率为k=, 设直线方程为y=(x-3), 联立直线与椭圆的方程得 (a2+b2)x2-6b2x+9b2-a4=0, 所以x1+x2==2, 又因为a2-b2=9,解得b2=9,a2=18. 命题点3 椭圆与向量等知识的综合 典例(2017·沈阳质检)已知椭圆C: +=1(a>b>0),e=,其中F是椭圆的右焦点,焦距为2,直线l与椭圆C交于点A,B,线段AB的中点横坐标为,且=λ(其中λ>1). (1)求椭圆C的标准方程; (2)求实数λ的值. 解 (1)由椭圆的焦距为2,知c=1,又e=,∴a=2, 故b2=a2-c2=3, ∴椭圆C的标准方程为+=1. (2)由=λ,可知A,B,F三点共线,设点A(x1,y1),点B(x2,y2). 若直线AB⊥x轴,则x1=x2=1,不符合题意; 当AB所在直线l的斜率k存在时, 设l的方程为y=k(x-1). 由消去y得 (3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.① ①的判别式Δ=64k4-4(4k2+3)(4k2-12) =144(k2+1)>0. ∵ ∴x1+x2==2×=,∴k2=. 将k2=代入方程①,得4x2-2x-11=0, 解得x=. 又=(1-x1,-y1),=(x2-1,y2),=λ, 即1-x1=λ(x2-1),λ=,又λ>1, ∴λ=. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,应用根与系数的关系,解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决,往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= =(k为直线斜率). (3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式. 跟踪训练(2018·长春调研)已知椭圆+=1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4),离心率e=,直线l交椭圆于M,N两点. (1)若直线l的方程为y=x-4,求弦MN的长; (2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式. 解 (1)由已知得b=4,且=, 即=,∴=, 解得a2=20,∴椭圆方程为+=1. 将4x2+5y2=80与y=x-4联立, 消去y得9x2-40x=0,∴x1=0,x2=, ∴所求弦长|MN|=|x2-x1|=. (2)椭圆右焦点F的坐标为(2,0), 设线段MN的中点为 Q(x0,y0), 由三角形重心的性质知 =2, 又B(0,4),∴(2,-4)=2(x0-2,y0), 即故得x0=3,y0=-2, 即Q的坐标为(3,-2). 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则x1+x2=6,y1+y2=-4, 且+=1,+=1, 以上两式相减得+=0, ∴kMN==-· =-×=, 故直线MN的方程为y+2=(x-3), 即6x-5y-28=0. 高考中求椭圆的离心率问题 考点分析离心率是椭圆的重要性质,是高考重点考查的一个知识点,这类问题一般有两类: 一类是根据一定的条件求椭圆的离心率;另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围,无论是哪类问题,其难点都是建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),并且最后要把其中的b用a,c表示,转化为关于离心率e的关系式,这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法. 典例1已知椭圆E: +=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l: 3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( ) A.B. C.D. 解析 设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形. ∵|AF|+|BF|=4, ∴|AF|+|AF0|=4, ∴a=2. 设M(0,b),则M到直线l的距离d=≥, ∴1≤b<2. 离心率e====∈, 故选A. 答案 A 典例2(12分)如图,设椭圆方程为+y2=1(a>1). (1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示); (2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围. 规范解答 解 (1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AM, 由 得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,[2分] 故x1=0,x2=-, 因此|AM|=|x1-x2| =·.[4分] (2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|. 记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2, 且k1>0,k2>0,k1≠k2.[5分] 由 (1)知|AP|=, |AQ|=, 故=, 所以(k-k)[1+k+k+a2(2-a2)kk]=0.[7分] 由k1≠k2,k1>0,k2>0得1+k+k+a2(2-a2)kk=0, 因此=1+a2(a2-2),① 因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>. 因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤,[10分] 由e===,得0 所以离心率的取值范围是.[12分] 1.若直线mx+ny=4与⊙O: x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数是( ) A.至多为1B.2 C.1D.0 答案 B 解析 由题意知,>2,即<2, ∴点P(m,n)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2. 2.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( ) A.B. C.D. 答案 B 解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2. 联立解得交点坐标为(0,-2),, 不妨设A点的纵坐标yA=-2,B点的纵坐标yB=, ∴S△OAB=·|OF|·|yA-yB| =×1×=, 故选B. 3.中心为(0,0),一个焦点为F(0,5)的椭圆,截直线y=3x-2所得弦中点的横坐标为,则该椭圆方程是( ) A.+=1B.+=1 C.+=1D.+=1 答案 C 解析 c=5,设椭圆方程为+=1,联立方程得消去y,整理得(10a2-450)x2-12(a2-50)x+4(a2-50)-a2(a2-50)=0,由根与系数的关系得x1+x2==1,解得a2=75,所以椭圆方程为+=1. 4.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为( ) A.+y2=1B.+=1 C.+=1D.+=1 答案 C 解析 设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则c=1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,且|AB|=3,所以=,b2=a2-c2,所以a2=4,b2=a2-c2=4-1=3,椭圆的方程为+=1. 5.从椭圆+=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) A.B. C.D. 答案 C 解析 由题意可设P(-c,y0)(c为半焦距), kOP=-,kAB=-,由于OP∥AB, ∴-=-,y0=, 把P代入椭圆方程得+=1, ∴2=,∴e==.故选C. 6.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P,Q两点,若△PF1F2为直角三角形,则椭圆E的离心率为( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 由题意可知,∠F1PF2是直角,且tan∠PF1F2=2, ∴=2, 又|PF1|+|PF2|=2a, ∴|PF1|=,|PF2|=. 根据勾股定理得2+2=(2c)2, ∴离心率e==. 7.设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(+)·=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是( ) A.4B.3C.2D.1 答案 D 解析 ∵(+)·=(+)·=·=0, ∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°. 设|PF1|=m,|PF2|=n, 则m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,mn=2, ∴=mn=1. 8.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的左焦点为F,椭圆C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF,若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,则椭圆C的离心率e=________. 答案 解析 设椭圆的右焦点为F1,在△ABF中,由余弦定理可解得|BF|=8,所以△ABF为直角三角形,且∠AFB=90°,又
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