第八章二元一次方程组.docx
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第八章二元一次方程组
第八章二元一次方程组
8.1二元一次方程组
教学目标
1.了解二元一次方程、二元一次方程组的概念.
2.理解二元一次方程的解及二元一次方程组的解的概念,并会检验一组未知数的值是否是方程或方程组的解.
3.能通过设两个未知数,将实际问题转化为二元一次方程组.
教学重点
了解二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解的含义,并会检验二元一次方程组的解.
教学难点
1.探索实际问题中的等量关系,列出二元一次方程组.
2.判断一组数是不是二元一次方程组的解.
教学过程:
导入新课
师:
同学们都很喜欢篮球明星姚明吧,他在今年的雅典奥运会上带领我国篮球健儿们奋勇拼搏,打进了世界八强,为祖国争得了很高的荣誉.同学们,你们了解篮球联赛的有关规定吗?
请看下列问题:
1.篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一场得1分,某队为了争取较好名次,想在全部22场比赛中得到40分,那么这个队胜负场数应分别是多少?
2.已知某一铁路桥长1000m,有一列火车从桥上通过,测得火车开始上桥到完全过桥共用1min,整列火车完全在桥上的时间为40s,求火车的速度和它的长度.
你能用学过的一元一次方程解决这些问题吗?
请同学们思考、讨论,并积极发表意见.
生:
解:
设这个队胜x场,则负(22-x)场,据题意,得2x+(22-x)=40.
解得x=18,∴22-18=4.
答:
这个队胜18场负4场.
生:
对于问题2,我发现1min减去40s即20s的时间火车走了两个身长,但它们都是未知数.
生:
不用方程也可以解答.
如果把问题转化成从车头上桥到车头出桥为一个过程,则相当于1min加40s走了2个过程,每次行程1000m,所以火车的速度为(1000×2)÷(60+40)=20,再结合上位同学提到的车身长=
×速度×时差=
×20×(60-40)=200(m),所以说火车速度为20m/s,车身长为200m.
师:
同学们的发言都很精彩,特别是第三位同学的深入思考解决了第二位同学的困难,而且他们都用到了数学的化归思想,我们为他们的良好表现鼓掌加油,好吗?
刚才第二位同学提到速度与车身长都是未知数,而且在解决上述两个问题时,大家讨论中也能发现,设一个未知数或用算术解法都需要深入思考才能解决问题,那么我们能不能多设一个未知数来解决大家遇到的困难呢?
推进新课
多条件限制,增设未知元帮忙
师:
对于问题1,我们设这个队胜x场,负y场,请同学们寻求等量关系.
生:
胜场数+负场数=总场数;
胜积分+负积分=总积分.
师:
请同学们根据条件列出方程.
生:
x+y=22;2x+y=40.
师:
能按同样办法解决问题2吗?
(这时老师可参与学生的讨论,帮助学生用示意图寻找等量关系)
(从图中学生不难找出等量关系)
讨论结果:
①桥长+车身长=车速×时间;
②桥长-车身长=车速×时间.
注意:
一个min,一个40s,要单位统一.
设火车速度为xm/s,车身长为ym,根据题意可列出下列方程:
1000+y=x·60,1000-y=x·40.
师:
同学们已经感受到了,设出两个未知元,列方程时简便多了,请大家仔细观察和讨论,我们上面列出的四个方程和我们以前学过的一元一次方程有什么区别与联系.
定义方程、理解含义
生:
上面我们所列的四个方程都含有两个未知数,未知数的次数和含有未知数项的次数都是一次,我们是不是可以称它们为二元一次方程呢?
师:
很好,它们的确都是二元一次方程.老师现在有一个方程,请同学们判断它是不是二元一次方程?
xy+1=0.
它和上面四个方程一样吗?
(同学们各抒己见,激烈争论,最后得出结论)
它和上面四个方程不一样,虽然含有两个未知数,未知数x,y的次数也都是一次的,但xy这一项是二次的,所以它不是二元一次方程.
师:
大家看到了问题的本质,这很好.那么请同学们用自己的语言归纳什么叫二元一次方程,好吗?
归纳结果:
含有两个未知数且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫二元一次方程.
出示投影:
判断下列方程是不是二元一次方程.
1.2x2+y=0()2.
+3y=1()3.x+y=0()4.2x+3y=1+2x()
5.
=y()6.
=1()
答案:
1.×2.×3.∨4.×5.∨6.∨
师:
接下来,我们继续研究方程x+y=22和2x+y=40,它们中的x、y含义相同吗?
生:
应该相同,在两个方程中x都表示胜的场数,y都表示负的场数.
师:
也就是说x、y同时满足两个二元一次方程,于是我们把这两个方程合在一起,写成
像这样的含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组.
如:
由问题2可得一个二元一次方程组
在这个二元一次方程组中x都表示火车的速度,y都表示车身长.
出示投影:
做一做:
1.x=6,y=2适合方程x+y=8吗?
x=5,y=3呢?
x=4,y=4呢?
你还能找到其他适合x+y=8的x,y的值吗?
2.找一组x,y的值同时适合方程1000+y=60x和1000-y=40x.
3.通过上述问题,归纳总结什么是二元一次方程的解,满足什么条件的一组值才能作为二元一次方程组的解.
(教师参与学生的活动,从中发现问题,及时解决)
师生共析得出:
两个二元一次方程的公共解叫做这个二元一次方程组的解.
应用举例,巩固发展
例1:
若3xm+1+5y2-n=3是一个二元一次方程,则m=______,n=______.
解:
由二元一次方程的定义,得m+1=1,2-n=1.
∴m=0,n=1.
例2:
写出一个以
为解的二元一次方程组.
(开放题,答案不唯一)
如
等.
评价:
像这样的构造型题,构造应按要求进行,越简单越好,不必将问题复杂化.
知能训练
加工某种产品需经两道工序,第一道工序每人每天可完成900件,第二道工序每人每天可完成1200件,现有7位工人参加这两道工序,应怎样安排人力,才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等?
解:
设有x位工人参加第一道工序,y位工人参加第二道工序,
由题意,得
根据问题的实际意义x、y必须是正整数,且x>y>0,取y=1,2,3,得x=6,5,4.经验证可得x=4,y=3,即解
所以安排第一道工序4人,第二道工序3人,才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等.
课堂小结
这节课我们通过对实际问题的分析,进一步体会到方程是刻画现实世界的模型,在此基础上了解了二元一次方程(组)及其解等概念,并学会判断一组未知数的值是不是某个二元一次方程组的解.
布置作业:
习题8.11、2.
活动与探究足球联赛得分规定:
胜1场得3分,平1场得1分,负1场得0分.某队在足球联赛的4场比赛中得6分,这个队胜了几场,平了几场,负了几场?
8.2消元——二元一次方程组的解法
(1)
教学目标
1.体会用“代入法”解二元一次方程组的基本思路;
2.熟练地用代入法解二元一次方程组;
3.掌握“代入法”这一基本数学思想.
教学重点难点
1.用代入法解二元一次方程组;
2.利用代入法解方程组时,灵活运用已学知识;
3.学会选择适当的、简便的、有特点的方程变形.
教学准备
课件.
教学过程
课件展示上节课例“篮球联赛”题.
师:
设一个未知数(设胜x场),
可以用一元一次方程2x+(22-x)=40来解.
如果设两个未知数(设胜x场,负y场),可以列方程组
那么一元一次方程与二元一次方程组有什么关系呢?
点评:
引出的这一问题是建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上,体现了以学生为本的教学观念.
一、探究活动一.一元一次方程与二元一次方程的关系.
生:
我们小组经过讨论,认为二元一次方程组中第一个方程x+y=22可变形为y=22-x,再将第二个方程2x+y=40中的y换为(22-x),二元一次方程组就化为一元一次方程.
解这个方程,得x=18,再把x=18代入y=22-x,得y=4,从而得到这个方程组的解.
师:
二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程,我们就可以先求出一个未知数,然后再设法求另一个未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法,叫做消元思想,这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
点评:
创设学习情境,为学生提供从事数学活动的机会,同时也使学生在学习过程中不断被点拨、提升和指导.
二、探究活动二.如何用代入法解二元一次方程组?
组:
我们小组讨论后认为首先应从方程组中选取一个方程,把其中的某一个未知数用另一个未知数的代数式表示出来.例如,可将
中的第一个方程变形为
y=22-x③.
生:
我们同意他们的做法,接下来就应该将这个代数式代入另一个方程,达到消去一个未知数的目的,得到只含有一个未知数的一元一次方程.
例如,将③代入②,得到方程2x+(22-x)=40,再解这个方程,求出一个未知数x=18,最后将x=18代入第一步所得的式子,求出另外一个未知数的值.
师:
同学们的探究活动进行得很好,如何解二元一次方程组呢?
可以概括为:
(课件展示.)
(1)求表达式;
(2)代入消元;
(3)回代求解.
师:
下面我们用大家总结出来的代入消元法求二元一次方程组的解.
(例题分析.)
例1用代入法解方程组
三、探究活动三.如何求二元一次方程组的解?
需注意哪些问题?
师:
选择哪个方程呢?
为什么?
组:
我们认为选取①,因为①中未知数x的系数为1,用含y的代数式表示x,比较简便,把①变为x=3+y③.
师:
把③代入①可以吗?
为什么?
生:
不可以.因为③与①是同一个方程,应将③代入②,得3(3+y)-8y=14.
师:
得到这个方程后,下一步如何解?
生:
先解出这个方程y=-1,再把y=-1代入③,得x=2.
师:
能否将y=-1代入①或②?
生:
可以.
师:
如何表示方程组的解?
生:
把两个未知数的解写在一起,就是方程组的解,一般写成
的形式.
师:
请同学们完整地解出题目.
四、探究活动四.如何用方程(组)解决实际问题.
例2根据市场调查,某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250g)两种产品的销售数量比(按瓶计算)为2∶5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨,这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶?
师:
如何来求解?
生:
我们组认为用方程组解比较好.
设大瓶数为x,小瓶数为y.
两个相等关系分别为:
大瓶数︰小瓶数=2∶5.
大瓶装消毒液+小瓶装消毒液=总生产量.
可列出方程组
师:
不论用一元一次方程还是用二元一次方程组,都能达到解决问题的目的.如何解这个二元一次方程组呢?
由同学们自己独立完成,并以小组为单位,归纳出解二元一次方程组的步骤.
课件展示几个学生的解题过程及解二元一次方程组的步骤.
点评:
不断地帮助学生在自主探索和合作交流的过程中,真正理解和掌握数学的基础知识和基本技能,帮助学生体会数学思想,掌握数学方法.
生:
由①得,5x=2y,变形为
.③
把③代入②,得500x+625x=22500000.
解这个方程,得x=20000.
把x=20000代入③,得y=50000.
这个方程组的解是
生:
小结解二元一次方程组的步骤:
(1)从方程组中选取一个未知数比较简单的方程;
(2)用一个未知数的代数式表示另一个未知数;
(3)把代数式代入到另一个方程,消未知数,得到一元一次方程;
(4)解一元一次方程,求出未知数的值;
(5)把未知数的值代入代数式,求另一个未知数的值;
(6)写出方程组的解.
师:
在解二元一次方程组的解时,往往需先化简方程组.
点评:
给予学生充分展示自我的机会,体现学生学习的主体性,关注学生在学习中成功情感的体验.
五、课堂练习.
解方程组
师:
如何解这个二元一次方程组?
生:
我认为首先要对①进行化简,这样做的目的在于降低计算难度.化简①,得4x-3y=-5,则3y=4x+5,不必化为
,为什么?
生:
因为②中恰好有-3y这一项,故可将3y看成一个整体,代入消元,这样也可以减少计算量.
点评:
从简单的“代入法”到“整体消元”,体现了技巧的灵活性和练习的层次性.
由学生独立写出解题步骤.
师:
如何求
的解?
生:
我们发现方程中x、y都是以x-2,y-1的形式出现的,若将x-2,y-1看成整体,看成新的未知数,解关于x-2,y-1的方程组比较简便.
学生独立完成解题过程.
生:
由①,得3(x-2)=7+4(y-1)③.
把③代入②,得3[7+4(y-1)]-10(y-1)=-25.
2(y-1)=-46,
y-1=-23,
y=-22.
将y-1=-23代入③,得
3(x-2)=-85,
x-2=
,
原方程组的解为
师:
代入法是解二元一次方程组的基本方法之一,其基本思想是“消元”,将“二元”转化为“一元”,同时也体现了数学中的“转化思想”.代入法是在很多地方都用得到的一种基本数学方法,更是一种数学思想.
六、课后小结.
今天的探究学习你们有哪些收获?
以小组为单位总结出来.
七、作业练习.
p1031,2,3.
教学反思:
本节教案的设计以学生为本,重视学生的感悟,主动探究、合作、补充的学习过程.注重激发学生的学习积极性,为学生提供充分从事数学活动的机会,帮助学生在自主探索和合作交流的过程中去理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想与方法,充分体现了学生是学习的主体这一教育理念.
8.2消元——二元一次方程组的解法
(2)
教学目标
1.进一步体会用“代入消元法”解二元一次方程组的基本思想;
2.熟练地用“加减消元法”解二元一次方程组;
3.掌握“加减消元法”这一基本数学思想.
教学重点难点
1.用“加减消元法”解二元一次方程组;
2.利用“加减消元法”解方程组时,灵活运用已学知识;
3.选择适当的、简便的、有特点的方程变形.
教学准备课件.
教学过程
师:
观察方程组
并求解
师:
(待同学们解出后,教师根据学生解题情况小结)同学们大多用代入消元法解出,“代入”的目的是“消元”,把“二元”消成“一元”,把不会解的转化为会解的,同学们观察方程组,它还有什么特征?
你还能发现新的消元方法吗?
点评:
所提出的问题,能帮助学生明确探究方向.
一、探究活动一.如何消元?
生:
在这个方程组的两个方程中,y的系数相同,若将②—①,即可消去未知数y.
2x+y-(x+y)=40-22,
x=18.
师:
用②—①的理论依据是什么?
生:
利用等式的性质.
师:
当二元一次方程组中某一未知数的系数相同时,可以利用等式的性质,消去这一未知数,达到化“二元”为“一元”的目的.
点评:
所提出的问题,让学生认识到推理必须要有依据,引导学生从问题出发,利用观察、比较、归纳等思维活动,寻求解决问题的方法.
二、探究活动二.如何解方程组?
师:
联系上一解法,思考一下如何解方程组:
生:
二元一次方程组中y的系数相反,②+①可消去未知数y,得19x=11.6.
师:
什么情况下,可以用这种方法消元?
生:
在两个二元一次方程中,同一未知数的系数相反或相同时,可以用这种方法.
师:
在两个二元一次方程中,同一未知数的系数相等或相反时,将两个方程的两边分别相减或相加,就能消去这个未知数,得到一元一次方程,这种方法叫做“加减消元法”,简称加减法.
三、探究活动三.能否用加减消元法解方程组?
师:
方程组
能用加减消元法吗?
生:
这两个方程中没有同一个未知数的系数相同或相反,不能直接用加减消元法,如果将
①×3,得9x+12y=48.③
②×2,得10x-12y=66.④
③④组成的新方程组中未知数y的系数相反,就可以用加减消元法.
师:
③④组成的新方程组的解一定是①②组成的方程组的解吗?
生:
一定是.因为③与①是同解方程,④与②是同解方程,所以③④的解一定是①②的解.
师:
如果用加减法消去x,应如何解?
生:
要想消去x,那么就需要将y的系数化成相等或相反.因此①×5,②×3之后,x的系数就相等了.
①×5得,15x+20y=80.③
②×3得,15x-18y=99.④
③-④消去x,得一元一次方程38y=-19.
师:
在解一个二元一次方程组时,首先要根据两个方程的未知数的系数特征,选择合适的未知数消元.
四、探究活动四.如何选择消元的对象?
生:
我们小组经过讨论交流后认为:
一般选择系数绝对值较小的未知数消元;
(1)当某一未知数绝对值相等:
若符号不同,用加法消元;若符号相同,用减法消元.
(2)当相同未知数的系数都不相同时:
找出某一个未知数系数的最小公倍数,同时对两个方程进行变形,使得某未知数系数的绝对值相同,再用加减消元法求解.
师:
在用加减法解二元一次方程组时,应仔细观察两个方程的系数特征,通过比较后,选择一个易于消去的未知数,通过变形再用加减法.加减消元法是解二元一次方程组不同于代入消元法的另一基本方法.
点评:
引导学生体会数学方法之间的联系,感受数学的整体性,不断地丰富解题的方法,提高解决问题的能力.
五、探究活动五.如何用加减法解二元一次方程组?
生:
我们经过讨论后,总结出如下步骤:
(1)把一个方程或两个方程的两边乘以适当的数,使两个方程中的某一未知数的系数的绝对值相等;
(2)把所得的两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;
(3)解这个方程,求得一个未知数的值;
(4)把所求得的未知数的值代入方程组中某一个方程,求出另一个未知数的值;
(5)把求得的未知数的值写成
的形式.
师:
这个组总结得很好.总之,以上步骤可以概括为:
变换系数,加减消元,回代求解.
点评:
此处体现了教师是数学教学活动的组织者、引导者和合作者,教师的作用在于启迪学生的思维.
为学生提供从事数学活动的机会,帮助学生在合作交流、自主探索的过程中掌握数学知识与技能,获取广泛的数学活动经验.
六、探究活动六.如何列方程组解应用题?
师:
运用方程组的知识如何解决实际问题,请看例题(课件展示):
2台大收割机和5台小收割机,工作2小时收割小麦3.6公顷;3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷.求1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷?
学生自主学习合作交流,师点评。
七、探究活动七.用什么方法解方程组呢?
生:
我认为
(1)可以用代入消元法,具体做法是:
由①,得y=1.5-2x.③
把③代入②,得3.2x+2.4(1.5-2x)=5.2.
化为一元一次方程,-1.6x=1.6.
解一元一次方程,得x=-1.
代入③,求出另一个未知数的值y=3.5.
方程组
(1)的解为
生:
在求二元一次方程组的解时,当某一个未知数的系数为1或-1时,用代入消元法更合适.
组:
我们发现第
(2)题中y的系数有倍数关系,只要②×4,得12x-8y=10,y的系数相反了,可以用加减消元法.
点评:
教师通过设计教学活动内容,及时发现学生认知水平和能力的差异,满足学生多样化的学习.
具体做法是:
②×4,得12x-8=20.③
③+①,得16x=32.解这个一元一次方程,得x=2.
将x=2代入②,得
写出方程组的解
师:
解二元一次方程组时,当某一个未知数的系数相等或相反时,可以直接用加减消元法;当某一个未知数的系数成倍数关系时,直接将一个方程变形,使其系数绝对值相等,再运用加减消元法.
点评:
为学有余力的学生提供足够的学习材料,帮助他们发展数学才能.
生:
第(3)题既不可以直接用代入消元法,也不可以直接用加减消元法,但是我们可以将x+y,x-y看成一个整体,解关于x+y,x-y的二元一次方程组,具体做法是:
设x+y=A,x-y=B.
原方程组变为
①×8,得4A+4B=56.③
A的系数就化为相同的了,再用加减消元法.
师:
非常好!
这位同学的想法实际上是换元法.通过观察、分析、比较题目特征,选择适当的解题方法,灵活解决问题,恰是解方程组的关键所在.
师:
下面请同学们独立完成第(3)题,体会换元法的好处.
点评:
对于学习暂时有困难的学生,不断地鼓励他们参与数学学习活动,给他们发表自己看法的机会,及时鼓励他们的进步.
八、拓展探索.
一个长方形的长减少5cm,宽增加2cm,就变成一个正方形,并且两个图形的面积相等,求这个长方形的长、宽各是多少?
生:
设长方形的长为xcm,宽为ycm.
两个相等关系是:
(1)长减少5cm,宽增加2cm,变成正方形;
(2)长方形的面积二正方形的面积.
列方程组为
师:
这个方程组该如何解呢?
生:
化简②就可以变成一元一次方程
xy=xy+2x-5y-10,
即2x-5y=10.③
再解由①③组成的二元一次方程组.
师:
②表面看起来不是二元一次方程,经过化简变为二元一次方程.所以同学们一定要仔细观察方程的特征,再选择适当的方法解二元一次方程组.
九、课后小结.
1.通过今天的探究学习,你有哪些收获?
以小组为单位讨论,个人再以书面的形式写出来;
2.小结一下解二元一次方程组的方法.
作业练习p1032,3,4,5,6,7,8.
教学反思:
此节教案的设计,让学生经历知识的形成与应用的过程,从而让学生更好地体会、理解数学知识的意义,同时也将新课标的理念化繁为简,化难为易,并逐条逐项地落实到教学中,重点突出,注重培养学生的能力,突出教材中知识、能力、素质三元合一的教学模式,侧重学法指导,启迪思维方法,在整个教学过程中,不断鼓励学生大胆实践.
8.2消元——二元一次方程组的解法(3)
【学习目标】
1
.会运用加减消元法解二元一次方程组.
2.进一步体会解二元一次方程组的基本思想----“消元”.
【重点难点】
重点:
用加减法解二元一次方程组
难点:
灵活对方程进行恒等变形使之便于加减消元
【学前准备】
解下列方程组:
【课中探究】
解方程组:
方程组
中,x的系数特点是______;方程组
中,y的系数特点是________.这两个方程组用______法解比较方便.解出以上两个方程组
解方程组:
方程组中的x、y的系数特点是,讨论用加减法怎样去解.
总结:
两个二元一次方程中同一未知数的系数时,将两个方程的两边分别,就能消
去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫
【尝试应用】
①②
1.用加减法解下列方程组
较简便的消元方法是:
将两个方程_______,消去未知数_______.毛已知方程组
用加减法消x的方法是__________;用加减法消y的方法是________.
3.用加减法解下列方程.
(1)
(2)
(3)
(4)
【学习体会】
让我们
总结一下这节课的内容吧:
加减消元法的步骤:
①将原方程组的两个方程化为有一个未知数的系数_____________的两个
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- 第八章 二元一次方程组 第八 二元 一次 方程组