状态空间与simulink仿真.docx
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状态空间与simulink仿真.docx
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状态空间与simulink仿真
考虑以下系统
■-1
-2-21
■21
X’=0
-11
x+
1
0-1
1
对系统设计一个状态反馈控制器使得闭环阶跃响应的超调量小于5%,且在稳态
值1%范围的调节时间小于4.6S
1主导二阶极点方法配置极点
分析:
超调量小于5%,即
一転
ej2岂5%
算得.-0.69
稳态值1%范围的调节时间小于4.6S,即
4.6
<4.6
二-1
下面首先对系统的能控性进行判断,以编程方式实现
a=[-1-2-2;0-11;10-1];
b=[2;0;1];%输入a,b矩阵
q=[ba*baA2*b]
rank(q)
计算结果为
2-40
q=010
J1-5一
q的秩为3
因此该系统为完全能控型系统,在满足系统要求的前提下,理论上能任意配置期望极点
F面根据具体的求解思路进行编程求解反馈控制器k
a2=g
(2);a1=g(3);a0=g⑷;w=[100;a210;a1a21];q1=[aA2*ba*bb];
p=q1*w;
deta=1;
zeta=0.75;
%求解转换矩阵
%输入满足条件的Z和5
wn=deta/zeta;
(其中sys1为未加控制器的原系统)
由图可知,系统在进行配置之前并未满足系统要求,在增加控制器之后,系统要求得到满足。
2对称根轨迹(SRL方法配置极点将SRL方程写成标准的根轨迹形式
N(_s)N(s)
D(-S)D(s)
由此,我们需要先将上面的状态空间形式转换为传递函数形式,编程实现如下:
a=[-1-2-2;0-11;10-1];b=[2;0;1];
c=[100];
d=0;
[num,den]=ss2tf(a,b,c,d)num=[02.00002.0000-2.0000]
den=[1.00003.00005.00005.0000]
下面再画出根轨迹图,寻找满足条件的p
num仁conv([22-2],[2-2-2]);%此处计算的参数根据num(s)和num(-s)
den仁conv([1355],[-13-55]);%此处计算的参数根据den(s)和den(-s)
%画根轨迹图
sys1=tf(num1,den1);rlocus(sys1);
gridon;
S4tnc^nE-
RCKItLOCuB
:
根据系统要求•-0.69和匚-1
如图所示,配置的极点将满足系统要求,现选取两组进行验证
0
1.p=2
p1=[-2.09-1.42+0.845*1-1.42-0.845*1i];
k仁acker(a,b,p1)
得k1=[0.70790.19310.5143]
如上题所写程序画出响应图(其中sys1为未加控制器的原系统)
2.p=3
得k1=[0.92710.27690.6857]
作出响应图如下(其中sysl为未加控制器的原系统)
将两个不同的p值阶跃响应图进行对比(sys2为p=3,sys为p=2)
世PFIUO.UV
Timeisec;
有比较可知:
较小的p值的响应速度较慢,较大的p值响应速度快。
3全阶观测器的设计
首先检验系统的是否完全能观
a=[-1-2-2;0-11;10-1];
c=[100];
q=[c;c*a;c*a*a]rank(q)
100
q=-1-2-2
L42一
rank(q)=3
说明系统是完全能观的
下面就是观测器期望极点选择,一般为了考虑观测器的响应速度要比闭环系统快,又要考虑干扰抑制,一般极点为闭环极点的2---5倍。
根据主导二阶极点方法所配置的极点为s1=-4s2,3=-1±0.88i
由此可进一步求出观测器增益矩阵I
a=[-1-2-2;0-11;10-1];
c=[100];
pe=[-12;-3+0.88*i;-3-0.88*i];lt=acker(a',c',pe);
l=lt'
求得l=[15;1.872;-25.2592];
可得全维观测器的方程为
■-18.9556
-5.2888
-2.0888"
■21
斤=(a_bk_lc)斤+bu+ly=
-1.872
-1
-1
x+
0
u+
i
24.7814
-1.6444
-1.0444
1
1
-15【
1.872y
-25.2592
F面可依据上式构建simulink图,据此观察观测器的跟踪能力
跟踪效果图如下
X2
1.2
据此发现观测器跟踪效果较好。
4降阶控制系统设计
从输出方程可以看出,此系统输出就等于第一个状态,即变换矩阵P为单位阵,
而最小阶观测器的阶次为2。
a二a
b=b
c=c
d=d
最小阶观测器的期望特征根选为-3±0.88i
X"二伍22-ia12)xn7(a2^la11)y(b2-Ib1)uly
据此求观测器增益a22=[-11;0-1];
a12=[-2-2];
pe=[-3+1i*2*7A(1/2)/3;-3-1产2*7八(1/2)/3];
It=acker(a22',a12',pe);
l=lt'
求得I
1.5556
-3.5556
得到
二_2.11124.1112L「1.55561
Xn卫=Xnq*y
-7.1112-8.1112-2.5556
引入中间变量
_1.55561
~n"一-3.5556y
得最小阶观测器的状态方程为
[211124.1112「严778]严⑷叫
[-7.1112-8.1112一[15.2224一〔8.1112
-y1
*=S+2y
『2+4y一
下面可依据上式构建simulink图,据此观察观测器的跟踪能力
X2
X3
1.5
012345673910
由上面可见,观测器跟踪能力较好。
⑥带反馈观测系统的设计
由分离定理可知,观测器与反馈可单独设计,互不影响。
反馈k=1.47781.64440.04441
1=[15;1.872;-25.2592]
>~=(a-lc-bk)>~bvlex
下面可依据上式构建simulink图,据此观察观测器的跟踪能力
其中Gain7为增益调整设计
a=[-1-2-2;0-11;10-1];
b=[2;0;1];k仁[1.47781.64440.0444];y=a-b*k1;
c=[100];
d=0;
k=1/dcgain(y,b,c,d)
k=-3.5554
或使用书本上的参考输入法计算k
-1
Nx=-1.5
-1.5
N=NuKNx=3.5554
结果相同
下面看一下系统输出对阶跃的跟踪曲线
-开始出现较大误差,但还是能跟踪上阶跃F面再看看系统对白噪声干扰的抑制能力
由上图可见,系统的抗干扰能力一般
⑥积分控制器的设计
积分控制相当于增加了额外状态,状态方程变为
由题意可知原系统可等价于
0
0
0
1
-1
0
1
0
-2
-1
0
积分控制器的极点配置为
0
1
-1
s4=-4
利用编程求出k
a=[0100;0-1-2-2;00-11;010-1];>>b=[0;2;0;1];
>>pe=[-12;-3+0.88*i;-3-0.88*i;-4];
>>k=acker(a,b,pe)
K=[-234.5856-77.427577.3805173.8550]构建simulink图有
分别加入两个阶跃,先加step1,阶跃图有
1.5
由此可见,积分控制系统对于干扰有很好的抑制作用,并且具有很好的跟踪效果,动态特性也相对于简单的参考输入设计有了一定的改善。
总结
从以上的设计可总结出状态空间的控制器的设计思路。
1.首先对观测器的能观性与能控性进行判断;
2.如果完全能观或能控,则进行以下分析;如果不是,可以进行能控与能观分解出来;
3.如果使用原系统状态反馈,可以根据系统要求进行极点配置,进而设计出控制器;如果还需要设计观测器,可合理配置观测器极点,进而设计整个系统
4.如果使用观测器状态反馈,由于分离定理,观测器与反馈可分别设计,所以设计过程基本和上面一样;
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