小学课本6年级上册第06讲立体图形的计算.docx

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小学课本6年级上册第06讲立体图形的计算

第六讲

立体图形的计算

在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下．见下图．

在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来．

例1下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积．

分析与解答求这个长方体的表面积，如果一面一面地去数，把结果累计相加可以得到答案，但方法太繁．如果仔细观察，会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等．因此列式为：

（9+8+7）X2=48（平方厘米）.

答：

它的表面积是48平方厘米．

例2一个圆柱体底面周长和高相等.如果高缩短了2厘米，

表面积就减少12.56平方厘米.求这个圆柱体的表面积.

分析一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．解题的关键在于求出底周长．根据条件：

高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C=12.56宁2=6.28（厘米）.这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了．

解：

底面周长（也是圆柱体的高）：

12.56-2=6.28（厘米）.

侧面积：

6.28X6.28=39.4384（平方厘米）

两个底面积（取n=3.14）:

表面积：

39.4384＋6.28=45.7184（平方厘米）

答：

这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米.

例3一个正方体形状的木块，棱长为1米.若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，如下图，共得到大大小小的长方体60块，这60块长方体的表面积的和是多少平方米？

分析如果将60个长方体逐个计算表面积是个很复杂的问题，更何况锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事．如果换一个角度考虑问题：

每锯一次就得到两个新的切面，这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积，也就是，每锯一次表面积增加1+1=2平方米，这样只要计算一下锯的总次数就可使问题得到解决．

解：

原正方体表面积：

1X1X6=6（平方米），

一共锯了多少次：

（次数比分的段数少1）

（3－1）+（4－1）+（5－1）=9（次），

表面积：

6+2X9=24（平方米）．

答：

60块长方体表面积的和是24平方米．

例4一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图.已知它的容积为26.4n立方厘米.当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米.问：

瓶内酒精的体积是多少立方厘米？

合多少升？

分析由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6+2）.

62.172立方厘米=62.172毫升

=0.062172升.

答：

酒精的体积是62.172立方厘米，合0.062172升.

例5一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下

图）.圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米.求这个粮囤的体积是多少立方米？

分析按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积.但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆

往体，这时圆柱的髙等于!

风就二（12（米），那么原耒两个形体变咸一个

圆柱体，高是（2+0.2）米.这样求出变化后直圆柱的体积就可以了.

解：

圆锥体化为圆柱体的高：

底面积：

体积：

7.065X（2+0.2）=15.543（立方米）.

答：

粮囤的体积是15.543立方米.

例6皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中．皮球的直径为

12厘米，水桶底面直径为60厘米．皮球有2/3的体积浸在水中（下图）．问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？

分析皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高．这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度．

解：

球的体积：

=288n（立方厘米）.

水桶的底面积：

nX302=900n（平方厘米）.

例7下图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？

（保留一位小数）.

分析直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等.

剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积.

解：

正方体体积：

6=216（立方厘米）.

=56.52（立方厘米）.

剩下体积占正方体的百分之几.

（216—56.52）+216〜0.738〜73.8%.

答：

剩下体积占正方体体积的73.8％．

例8有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图.圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米.如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？

分析解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意到零件的底面是圆环.由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略.但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面.

解：

涂漆面积：

=3.14X（18+60+20）

=3.14X98=307.72（平方厘米）.

答：

涂油漆面积是307.72平方厘米.

习题六

1．一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图．已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4立方厘米．求原来钢材的体积和侧面积．

2．在一只底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中．取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，求铸件的高．

3．在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．

4．如下图所示的一个零件，中间一段是高为10厘米，底面半径为2厘米圆柱体，上端是一个半球体，下端是一个圆锥，它的高是2厘米．求这个零件的体积．

5．塑料制的三棱柱形的筒里装着水（如下页图

（1）是这个筒的展开图，图中数字单位为厘米）．把这个筒的A面作为底面，放在水平桌面上，水面的高度是2厘米（如下页图

（2））．问①若把B面作为底面，放在水平的桌面上，水面的高度是多少厘米？

②若把C面作为底面，放在水平桌面上，水面高度是多少厘米？

6.大、中、加三个正方体形的水缸都盛有秒缸水，它们的内边长分别

为4分米、3分米、2分米.把两堆碎石分别沉浸在中、小水缸的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米.如果将这两堆碎石都沉浸在大水缸中，大水缸中水面将升高多少厘米？

7.如下图是一个正方体，H、GF分别为棱ABADAE的中点.现沿三角形GFH的面锯掉一个角，问锯掉这块的体积是整个立方体体积的几分之几？

（提示：

V棱柱=S•h,

S为底面积，h为高.

可见棱锥的体积是等底等高的棱柱体积的三分之一.）

习题六解答

1.3014.4X2=6028.8（立方厘米），

960Xn=3014.4（平方厘米）.

答：

原钢材体积是6028.8立方厘米，侧面积是3014.4平方厘米.

2.下降部分水的体积:

铸件的高：

答：

铸件的高是24厘米．

3．提示：

大正方体的边长为4厘米，挖去的小正方体边长为1厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的4个侧面积．

解：

6个小洞内新增加面积的总和：

1x1X4X6=24（平方厘米），

原正方体表面积：

42X6=96（平方厘米），

挖洞后木块表面积：

96＋24=120（平方厘米），

体积：

43－13X6=58（立方厘米）．

答：

挖洞后的表面积是120平方厘米，体积是58立方厘米．

=150.72（立方厘米）．

答：

这个零件的体积是48n立方厘米，即约150.72立方厘米．

5.解：

以A为底面时，水的体积为：

①以B面为底面时：

由于以A为底面时，有水的部分占其纵截面（底边

为3厘氷的三角形）面积的屮而以B为底面时，纵截面与上述纵截画栩同"故以4厘米的边为底边"有水部分仍占其面积的/因此水面高度为截面三4

角形高度的一半，即为1.5厘米.

②以C面为底面时，水的高度为：

6.解：

两堆碎石的体积之和：

3分米=30厘米，2分米=20厘米，

302x4+202X11=8000（立方厘米）.

沉浸在大水缸中水面应升咼咼度：

4分米=40厘米，

8000-402=5（厘米）.

答：

如果沉浸在大水缸中，水面升高5厘米.

7.解：

将正方体沿各棱中点，依水平和垂直方向切开，可

得8个相同的小正方体，每个小正方体又可切成2个小三棱柱

体，每个小三棱柱体的体积是等底等高三棱锥（即锯掉的一角）

体积的三倍.因此锯掉的这块体积是

整个正方体的体积的亠.