中考数学圆的垂径定理试题汇编.docx
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中考数学圆的垂径定理试题汇编
2013年中考数学圆的垂径定理试题汇编
2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理1、(2013年潍坊市)如图,⊙O的直径AB=12,CD是⊙O的弦,CD⊥AB,垂足为P,且BP:
AP=1:
5,则CD的长为().A.B.C.D.
答案:
D.考点:
垂径定理与勾股定理.点评:
连接圆的半径,构造直角三角形,再利用勾股定理与垂径定理解决.
2、(2013年黄石)如右图,在中,,,,以点为圆心,为半径的圆与交于点,则的长为A.B.C.D.答案:
C解析:
由勾股定理得AB=5,则sinA=,作CE⊥AD于E,则AE=DE,在Rt△AEC中,sinA=,即,所以,CE=,AE=,所以,AD=
3、(2013河南省)如图,CD是的直径,弦于点G,直线与相切与点D,则下列结论中不一定正确的是【】(A)(B)∥(C)AD∥BC(D)【解析】由垂径定理可知:
(A)一定正确。
由题可知:
,又因为,所以∥,即(B)一定正确。
因为所对的弧是劣弧,根据同弧所对的圆周角相等可知(D)一定正确。
【答案】C
4、(2013•泸州)已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为( ) A.cmB.cmC.cm或cmD.cm或cm
考点:
垂径定理;勾股定理.专题:
分类讨论.分析:
先根据题意画出图形,由于点C的位置不能确定,故应分两种情况进行讨论.解答:
解:
连接AC,AO,∵⊙O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,当C点位置如图1所示时,∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,∴OM===3cm,∴CM=OC+OM=5+3=8cm,∴AC===4cm;当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,∵OC=5cm,∴MC=5�3=2cm,在Rt△AMC中,AC===2cm.故选C.点评:
本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
5、(2013•广安)如图,已知半径OD与弦AB互相垂直,垂足为点C,若AB=8cm,CD=3cm,则圆O的半径为( ) A.cmB.5cmC.4cmD.cm
考点:
垂径定理;勾股定理.3718684分析:
连接AO,根据垂径定理可知AC=AB=4cm,设半径为x,则OC=x�3,根据勾股定理即可求得x的值.解答:
解:
连接AO,∵半径OD与弦AB互相垂直,∴AC=AB=4cm,设半径为x,则OC=x�3,在Rt△ACO中,AO2=AC2+OC2,即x2=42+(x�3)2,解得:
x=,故半径为cm.故选A.点评:
本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容,难度一般. 6、(2013•绍兴)绍兴市著名的桥乡,如图,石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为( ) A.4mB.5mC.6mD.8m
考点:
垂径定理的应用;勾股定理.3718684分析:
连接OA,根据桥拱半径OC为5m,求出OA=5m,根据CD=8m,求出OD=3m,根据AD=求出AD,最后根据AB=2AD即可得出答案.解答:
解:
连接OA,∵桥拱半径OC为5m,∴OA=5m,∵CD=8m,∴OD=8�5=3m,∴AD===4m,∴AB=2AD=2×4=8(m);故选;D.点评:
此题考查了垂径定理的应用,关键是根据题意做出辅助线,用到的知识点是垂径定理、勾股定理.
7、(2013•温州)如图,在⊙O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是( ) A.B.C.D.
考点:
垂径定理;勾股定理分析:
根据垂径定理可得AC=BC=AB,在Rt△OBC中可求出OB.解答:
解:
∵OC⊥弦AB于点C,∴AC=BC=AB,在Rt△OBC中,OB==.故选B.点评:
本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容.
8、(2013•嘉兴)如图,⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,连结AO并延长交⊙O于点E,连结EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为( ) A.2B.8C.2D.2
考点:
垂径定理;勾股定理;圆周角定理.专题:
探究型.分析:
先根据垂径定理求出AC的长,设⊙O的半径为r,则OC=r�2,由勾股定理即可得出r的值,故可得出AE的长,连接BE,由圆周角定理可知∠ABE=90°,在Rt△BCE中,根据勾股定理即可求出CE的长.解答:
解:
∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C,AB=8,∴AC=AB=4,设⊙O的半径为r,则OC=r�2,在Rt△AOC中,∵AC=4,OC=r�2,∴OA2=AC2+OC2,即r2=42+(r�2)2,解得r=5,∴AE=2r=10,连接BE,∵AE是⊙O的直径,∴∠ABE=90°,在Rt△ABE中,∵AE=10,AB=8,∴BE===6,在Rt△BCE中,∵BE=6,BC=4,∴CE===2.故选D.点评:
本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
9、(2013•莱芜)将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后,圆弧恰好能经过圆心O,用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为( ) A.B.C.D.
考点:
圆锥的计算.分析:
过O点作OC⊥AB,垂足为D,交⊙O于点C,由折叠的性质可知OD为半径的一半,而OA为半径,可求∠A=30°,同理可得∠B=30°,在△AOB中,由内角和定理求∠AOB,然后求得弧AB的长,利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径,最后利用勾股定理求得其高即可.解答:
解:
过O点作OC⊥AB,垂足为D,交⊙O于点C,由折叠的性质可知,OD=OC=OA,由此可得,在Rt△AOD中,∠A=30°,同理可得∠B=30°,在△AOB中,由内角和定理,得∠AOB=180°�∠A�∠B=120°∴弧AB的长为=2π设围成的圆锥的底面半径为r,则2πr=2π∴r=1cm∴圆锥的高为=2故选A.点评:
本题考查了垂径定理,折叠的性质,特殊直角三角形的判断.关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形.
10、(2013•徐州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P.若CD=8,OP=3,则⊙O的半径为( ) A.10B.8C.5D.3
考点:
垂径定理;勾股定理.专题:
探究型.分析:
连接OC,先根据垂径定理求出PC的长,再根据勾股定理即可得出OC的长.解答:
解:
连接OC,∵CD⊥AB,CD=8,∴PC=CD=×8=4,在Rt△OCP中,∵PC=4,OP=3,∴OC===5.故选C.点评:
本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
11、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC是A.4B.5C.6D.8
12、(2013•宜昌)如图,DC是⊙O直径,弦AB⊥CD于F,连接BC,DB,则下列结论错误的是( ) A.B.AF=BFC.OF=CFD.∠DBC=90°
考点:
垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.分析:
根据垂径定理可判断A、B,根据圆周角定理可判断D,继而可得出答案.解答:
解:
∵DC是⊙O直径,弦AB⊥CD于F,∴点D是优弧AB的中点,点C是劣弧AB的中点,A、=,正确,故本选项错误;B、AF=BF,正确,故本选项错误;C、OF=CF,不能得出,错误,故本选项错误;D、∠DBC=90°,正确,故本选项错误;故选C.点评:
本题考查了垂径定理及圆周角定理,解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容,难度一般.
13、(2013•毕节地区)如图在⊙O中,弦AB=8,OC⊥AB,垂足为C,且OC=3,则⊙O的半径( ) A.5B.10C.8D.6
考点:
垂径定理;勾股定理.专题:
探究型.分析:
连接OB,先根据垂径定理求出BC的长,在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度.解答:
解:
连接OB,∵OC⊥AB,AB=8,∴BC=AB=×8=4,在Rt△OBC中,OB===.故选A.点评:
本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
14、(2013•南宁)如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=∠BOD,则⊙O的半径为( ) A.4B.5C.4D.3
考点:
垂径定理;勾股定理;圆周角定理.3718684专题:
探究型.分析:
先根据∠BAC=∠BOD可得出=,故可得出AB⊥CD,由垂径定理即可求出DE的长,再根据勾股定理即可得出结论.解答:
解:
∵∠BAC=∠BOD,∴=,∴AB⊥CD,∵AE=CD=8,∴DE=CD=4,设OD=r,则OE=AE�r=8�r,在RtODE中,OD=r,DE=4,OE=8�r,∵OD2=DE2+OE2,即r2=42+(8�r)2,解得r=5.故选B.点评:
本题考查的是垂径定理及圆周角定理,熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.
15、(2013年佛山)半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是( )A.3 B.4 C. D.分析:
过点O作OD⊥AB于点D,由垂径定理可求出BD的长,在Rt△BOD中,利用勾股定理即可得出OD的长.解:
如图所示:
过点O作OD⊥AB于点D,∵OB=3,AB=3,OD⊥AB,∴BD=AB=×4=2,在Rt△BOD中,OD===.故选C.
点评:
本题考查的是垂径定理,根据题意画出图形,利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键
16、(2013甘肃兰州4分、12)如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8cm,水面最深地方的高度为2cm,则该输水管的半径为( ) A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm考点:
垂径定理的应用;勾股定理.分析:
过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,由垂径定理可知AD=AB,设OA=r,则OD=r�2,在Rt△AOD中,利用勾股定理即可求r的值.解答:
解:
如图所示:
过点O作OD⊥AB于点D,连接OA,∵OD⊥AB,∴AD=AB=×8=4cm,设OA=r,则OD=r�2,在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,即r2=(r�2)2+42,解得r=5cm.故选C.点评:
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
17、(2013•内江)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心的圆过点A(13,0),直线y=kx�3k+4与⊙O交于B、C两点,则弦BC的长的最小值为 24 .
考点:
一次函数综合题.分析:
根据直线y=kx�3k+4必过点D(3,4),求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦,再求出OD的长,再根据以原点O为圆心的圆过点A(13,0),求出OB的长,再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.解答:
解:
∵直线y=kx�3k+4必过点D(3,4),∴最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦,∵点D的坐标是(3,4),∴OD=5,∵以原点O为圆心的圆过点A(13,0),∴圆的半径为13,∴OB=13,∴BD=12,∴BC的长的最小值为24;故答案为:
24.点评:
此题考查了一次函数的综合,用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.
18、(13年安徽省4分、10)如图,点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点,在以下判断中,不正确的是()A、当弦PB最长时,ΔAPC是等腰三角形。
B、当ΔAPC是等腰三角形时,PO⊥AC。
C、当PO⊥AC时,∠ACP=300.D、当∠ACP=300,ΔPBC是直角三角形。
19、(2013•宁波)如图,AE是半圆O的直径,弦AB=BC=4,弦CD=DE=4,连结OB,OD,则图中两个阴影部分的面积和为 10π .
考点:
扇形面积的计算;勾股定理;垂径定理;圆心角、弧、弦的关系.专题:
综合题.分析:
根据弦AB=BC,弦CD=DE,可得∠BOD=90°,∠BOD=90°,过点O作OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,在四边形OFCG中可得∠FCD=135°,过点C作CN∥OF,交OG于点N,判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形,分别求出NG、ON,继而得出OG,在Rt△OGD中求出OD,即得圆O的半径,代入扇形面积公式求解即可.解答:
解:
∵弦AB=BC,弦CD=DE,∴点B是弧AC的中点,点D是弧CE的中点,∴∠BOD=90°,过点O作OF⊥BC于点F,OG⊥CD于点G,则BF=FG=2,CG=GD=2,∠FOG=45°,在四边形OFCG中,∠FCD=135°,过点C作CN∥OF,交OG于点N,则∠FCN=90°,∠NCG=135°�90°=45°,∴△CNG为等腰三角形,∴CG=NG=2,过点N作NM⊥OF于点M,则MN=FC=2,在等腰三角形MNO中,NO=MN=4,∴OG=ON+NG=6,在Rt△OGD中,OD===2,即圆O的半径为2,故S阴影=S扇形OBD==10π.故答案为:
10π.点评:
本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系,综合考察的知识点较多,解答本题的关键是求出圆0的半径,此题难度较大.
20、(2013•宁夏)如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 2 cm.
考点:
垂径定理;勾股定理.3718684分析:
通过作辅助线,过点O作OD⊥AB交AB于点D,根据折叠的性质可知OA=2OD,根据勾股定理可将AD的长求出,通过垂径定理可求出AB的长.解答:
解:
过点O作OD⊥AB交AB于点D,∵OA=2OD=2cm,∴AD===cm,∵OD⊥AB,∴AB=2AD=cm.点评:
本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用.
21、(2013•包头)如图,点A、B、C、D在⊙O上,OB⊥AC,若∠BOC=56°,则∠ADB= 28 度.
考点:
圆周角定理;垂径定理.3718684分析:
根据垂径定理可得点B是中点,由圆周角定理可得∠ADB=∠BOC,继而得出答案.解答:
解:
∵OB⊥AC,∴=,∴∠ADB=∠BOC=28°.故答案为:
28.点评:
此题考查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
22、(2013•株洲)如图AB是⊙O的直径,∠BAC=42°,点D是弦AC的中点,则∠DOC的度数是 48 度.
考点:
垂径定理.分析:
根据点D是弦AC的中点,得到OD⊥AC,然后根据∠DOC=∠DOA即可求得答案.解答:
解:
∵AB是⊙O的直径,∴OA=OC∵∠A=42°∴∠ACO=∠A=42°∵D为AC的中点,∴OD⊥AC,∴∠DOC=90°�∠DCO=90°�42°=48°.故答案为:
48.点评:
本题考查了垂径定理的知识,解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线.
23、(2013•黄冈)如图,M是CD的中点,EM⊥CD,若CD=4,EM=8,则所在圆的半径为 .
考点:
垂径定理;勾股定理.3481324专题:
探究型.分析:
首先连接OC,由M是CD的中点,EM⊥CD,可得EM过⊙O的圆心点O,然后设半径为x,由勾股定理即可求得:
(8�x)2+22=x2,解此方程即可求得答案.解答:
解:
连接OC,∵M是CD的中点,EM⊥CD,∴EM过⊙O的圆心点O,设半径为x,∵CD=4,EM=8,∴CM=CD=2,OM=8�OE=8�x,在Rt△OEM中,OM2+CM2=OC2,即(8�x)2+22=x2,解得:
x=.∴所在圆的半径为:
.故答案为:
.点评:
此题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.
24、(2013•绥化)如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC,垂足为D,若⊙O的半径为2,则弦AB的长为 2 .
考点:
垂径定理;勾股定理.专题:
计算题.分析:
连接OA,由AB垂直平分OC,求出OD的长,再利用垂径定理得到D为AB的中点,在直角三角形AOD中,利用垂径定理求出AD的长,即可确定出AB的长.解答:
解:
连接OA,由AB垂直平分OC,得到OD=OC=1,∵OC⊥AB,∴D为AB的中点,则AB=2AD=2=2=2.故答案为:
2.点评:
此题考查了垂径定理,以及勾股定理,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
25、(2013哈尔滨)如图,直线AB与⊙O相切于点A,AC、CD是⊙O的两条弦,且CD∥AB,若⊙O的半径为,CD=4,则弦AC的长为.考点:
垂径定理;勾股定理。
切线的性质。
分析:
:
本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键。
解答:
连接OA,作OE⊥CD于E,易得OA⊥AB,CE=DE=2,由于CD∥AB得EOA三点共线,连OC,在直角三角形OEC中,由勾股定理得OE=,从而AE=4,再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=
26、(2013•张家界)如图,⊙O的直径AB与弦CD垂直,且∠BAC=40°,则∠BOD= 80° .
考点:
圆周角定理;垂径定理.3718684分析:
根据垂径定理可得点B是中点,由圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC,继而得出答案.解答:
解:
∵,⊙O的直径AB与弦CD垂直,∴=,∴∠BOD=2∠BAC=80°.故答案为:
80°.点评:
此题考查了圆周角定理,注意掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
27、(2013•遵义)如图,OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,点P在⊙O上,∠APC=26°,则∠BOC= 52° 度.
考点:
圆周角定理;垂径定理.3718684分析:
由OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,根据垂径定理的即可求得:
=,又由圆周角定理,即可求得答案.解答:
解:
∵OC是⊙O的半径,AB是弦,且OC⊥AB,∴=,∴∠BOC=2∠APC=2×26°=52°.故答案为:
52°.点评:
此题考查了垂径定理与圆周角定理.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.
28、(2013陕西)如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点,若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值为.考点:
此题一般考查的是与圆有关的计算,考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系,及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。
解析:
本题考查圆心角与圆周角的关系应用,中位线及最值问题。
连接OA,OB,因为∠ACB=30°,所以∠AOB=60°,所以OA=OB=AB=7,因为E、F中AC、BC的中点,所以EF==3.5,因为GE+FH=GH-EF,要使GE+FH最大,而EF为定值,所以GH取最大值时GE+FH有最大值,所以当GH为直径时,GE+FH的最大值为14-3.5=10.5
29、(2013年广州市)如图7,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,与轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),的半径为,则点P的坐标为____________.分析:
过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,先由垂径定理求出OD的长,再根据勾股定理求出PD的长,故可得出答案.解:
过点P作PD⊥x轴于点D,连接OP,∵A(6,0),PD⊥OA,∴OD=OA=3,在Rt△OPD中,∵OP=,OD=3,∴PD===2,∴P(3,2).故答案为:
(3,2).
点评:
本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键
30、(2013年深圳市)如图5所示,该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上,于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。
小刚身高1.6米,测得其影长为2.4米,同时测得EG的长为3米,HF的长为1米,测得拱高(弧GH的中点到弦GH的距离,即MN的长)为2米,求小桥所在圆的半径。
解析:
(2013•白银)如图,在⊙O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为点E.
(1)若OC=5,AB=8,求tan∠BAC;
(2)若∠DAC=∠BAC,且点D在⊙O的外部,判断直线AD与⊙O的位置关系,并加以证明.
考点:
切线的判定;勾股定理;垂径定理.专题:
计算题.分析:
(1)根据垂径定理由半径OC垂直于弦AB,AE=AB=4,再根据勾股定理计算出OE=3,则EC=2,然后在Rt△AEC中根据正切的定义可得到tan∠BAC的值;
(2)根据垂径定理得到AC弧=BC弧,再利用圆周角定理可得到∠AOC=2∠BAC,由于∠DAC=∠BAC,所以∠AOC=∠BAD,利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°,然后根据切线的判定方法得AD为⊙O的切线.解答:
解:
(1)∵半径OC垂直于弦AB,∴AE=BE=AB=4,在Rt△OAE中,OA=5,AE=4,∴OE==3,∴EC=OC�OE=5�3=2,在Rt△AEC中,AE=4,EC=2,∴tan∠BAC===;
(2)AD与⊙O相切.理由如下:
∵半径OC垂直于弦AB,∵AC弧=BC弧,∴∠AOC=2∠BAC,∵∠DAC=∠BAC,∴∠AOC=∠BAD,∵∠AOC+∠OAE=90°,∴∠BAD+∠OAE=90°,∴OA⊥AD,∴AD为⊙O的切线.点评:
本题考查了切线的判定定理:
过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了勾股定理以及垂径定理、圆周角定理.
31、(2013•黔西南州)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,点P在⊙O上,∠1=∠C,
(1)求证:
CB∥PD;
(2)若BC=3,sin∠P=,求⊙O的直径.
考点:
圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系;锐角三角函数的定义.专题:
几何综合题.分析:
(1)要证明CB∥PD,可以求得∠1=∠P,根据=可以确定∠C=∠P,又知∠1=∠C,即可得∠1=∠P;
(2)根据题意可知∠P=∠CAB,则sin∠CAB=,即=,所以可以求得圆的直径.解答:
(1)证明:
∵∠C=∠P又∵∠1=∠C∴∠1=∠P∴CB∥PD;
(2)解:
连接AC∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°又∵CD⊥AB,∴=,∴∠P=∠CAB,∴sin∠CAB=,即=,又知,BC=3,∴AB=5,∴直径为5.点评:
本题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质,解题时细心是解答好本题的关键.
32、(2013•恩施州)如图所示,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,
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