概念教学必须体现概念的形成过程平面向量的概念的教学与反思解读.docx
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概念教学必须体现概念的形成过程平面向量的概念的教学与反思解读
2010年第49卷第1期数学通报25
概念教学必须体现概念的形成过程
/平面向量的概念0的教学与反思
章建跃陶维林
(人民教育出版社中数室100081南京师范大学附属中学210003
当前,不重视章节起始课的教学,概念教学走过场,以解题教学代替概念教学的现象比较普遍.在章节起始时,许多老师没有把本章节要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中;概念教学常常采用/一个定义,几项注意0的方式,在概念的背景引入上着墨不够,没有给学生提供充分的概括本质特征的机会,认为让学生多做几道题目更实惠.更令人担忧的是,有些老师不知如何教概念.
李邦河院士认为,/数学根本上是玩概念的,不是玩技巧.技巧不足道也!
0以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨,必须纠正.否则,学生在数学上耗费大量时间、精力,结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少,/数学育人0终将落空.
本文是我们继/函数的概念0教学案例[2]后做的又一个案例,主要指导思想是/数学概念,,首要表现在概念的形成0,概念教学必须让学生经历概念的形成过程;基本想法是聚焦概念教学,探索概念教学的基本规律.期待我们的案例能抛砖引玉,希望广大教师积极参与/如何教好数学概念0的讨论.
1对教学内容的基本认识
5平面向量6是/人教A版0数学4的一章,本节课包括/章引言0和/2.1平面向量的实际背景及基本概念0两部分.
在配套的5教师教学用书6中,介绍了章头图和章引言的编写意图,其中有这样的叙述:
/章引言说明了向量的研究对象及研究方法,揭示了向量与几何、代数之间的关系,运用向量法可将几何性质的研究转化为向量的运算,使几何问题通过,[1]
[1]
/章头图0起/导游图0作用,是本章学习的/先行
组织者0,应有充分的重视.教学时,可以渗透在具体内容中,不必作抽象讲解,以避免空洞说教.许多老师认为,/平面向量的实际背景及基本概念0一节/概念多但不难理解0,但我们认为/其实不然0.事实上,从/概念的形成0的角度看,本节内容,重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念,而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法,蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径,这是一个带有/本源0性质的过程.
这里,为了帮助学生建立向量的概念,与数、形的相关概念(数及其运算、直线(段的平行关系等类比与联系是值得重视的.在学生的已有经验中,与本节内容相关的有:
数的抽象过程、实数的绝对值(线段的长度、数的相等、0和1的特殊性、线段的平行或共线等,这些将为学生自觉、有序、有效地认知向量概念提供/固着点0.具体教学时,要设计一个能让学生开展概括活动的过程,引导他们经历从具体事例(位移、力、速度等中领悟向量概念的本质特征,类比数的概念获得向量概念的定义及表示,类比数的集合认识/向量的集合0,类比直线(段的基本关系认识向量的基本关系.要使学生从中体会到认识一个数学概念的/基本套路0:
从具体背景中抽象出共同本质特征定义表示定义/相等0(这件事情很重要,但往往不被注意、/单位元0、/0元0某些特殊关系.由此看来,向量概念的形成并不是一件容易的事情.
2教学过程概述
2009年11月初,在河南省举办的高中数学,
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问题4观察图1中的正六边形ABCDEF.给图中的一些线段加上箭头表示向量,并说说你所标注的向量之间的关系.(举例
何背景明确区分,真正抓住向量的本质特征,完成/数学化0的过程.2.3阅读课本
请同学们把课本看一遍,看看我们的讨论过程与课本讲的是否一致,有什么遗漏?
有什么不同?
意图:
通过阅读,对本课的内容再一次进行归整、明晰.引导学生重视课本.2.4课堂练习
图1
教科书P77中的/练习0部分.
2.5课堂小结
问题7(引导学生自己小结能否画个图,把今天学的内容梳理一下?
(有的学生提出可以把本课的内容分为三个部分,与图2所呈现的内容基本一致,只是把/特殊关系0说成了/向量的性质0,这也是正确的.教师肯定了她的结论,展示了图2.
意图:
不是先给出相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的定义,再做练习巩固,而是让学生参与概念的定义过程,使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物.
留给学生足够的时间,并提出问题5,组织学生交流.
问题5你是怎样研究的?
比如,你画了哪几个向量?
你认为它们有怎样的关系?
意图:
不仅关注结果,更要关注过程.尤其要挖掘学生用向量概念思维的过程.
(课堂中,有的学生首先关注大小;有的学生首先画出向量ED与AB认为它们长度相等且方向相同,是相等的向量;也有学生首先画出向量与OB认为它们是共线的向量;等.教师适时介入,解释数学中的向量是自由向量,可以平移,因此,ED与AB也称为共线向量./平行向量0的产生比较顺利,但/相反向量0的产生有困难,其间还类比了/相反数0.
归纳得到:
(1从/方向0角度看,有方向相同或相反的,就是平行向量,记为aMb;
(2从/长度0角度看,有模相等的向量,|a|=|b|;
(3既关注方向,又关注长度,有相等向量a=b,相反向量a=6b.
T:
我们规定:
零向量与任意向量都平行,即0Ma.
问题6由相等向量的概念知道,向量完全由它的方向和模确定.由此,你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗?
另外,向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么联系与区别?
:
图2
T:
今天我们学习了向量的概念及其表示方
法,并初步研究了向量这个集合,发现了其中的两个特殊向量,以及向量之间的一些特殊关系.同学们要认真体会其中的基本思路,即:
从同类具体事例中抽象出共同本质特征下定义符号表示认识特殊对象考察某些特殊关系.
这里特别要注意,因为向量带有方向,所以只用代数的形式已无法表示,必须结合几何的形式.因此,向量具有代数形式和几何形式的/双重身份0.随着学习的深入,我们会看到这种身份给向量带来的力量.
另外,我们用类比数集的方法初步认识了向量的集合.我们知道,数与运算分不开,数的概念的发展也与运算不可分割.例如,为了解方程x2
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=2,我们需要有无理数概念,于是要有/开方0运算.引进一种新的数,就要研究关于它的运算;引进一种运算,就要研究相应的运算律.今天我们引进了一个新的量向量,下面我们该研究它的哪些问题?
如何研究?
请同学们课后认真考虑,下节课来交流.(说罢,教师在/特殊关系0的右边增加了省略号/,,0.2.6布置作业(略.3教学反思
3.1起始课应把/基本套路0作为核心目标本课是/平面向量0的起始课,具有/统领全局0的作用.因此,本课的目标应体现出这一地位.具体有如下三个方面:
(1形成平面向量的概念,特别是要让学生体会/向量集形与数于一身0的特征;
(2让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量(主要是联系数及其运算、直线(段的平行和共线等;
(3通过类比/数及其运算0而获得研究的内容与方法的启发,再一次体会研究一类新的数学问题的基本套路(思路.
如果从更深层次考虑,上述目标更本质的是/数学育人0.数学课堂应始终把育人目标放在首位,当然要将它融入知识的教学中.本课似乎/没什么东西可讲0,也没什么难点,因此不愁完不成教学任务,但这只能指陈述性(或明确知识目标的实现.向量概念的重要性不言而喻,而作为/起始0,本课的教学必须要有/交代问题背景、引入基本概念、构建研究蓝图0的大气.要让学生感受到数学概念产生、发展的基本过程,体会到研究数学问题的基本套路,进而提高提出问题、研究问题的能力,这才算充分挖掘了本课内容的育人资源,才算体现了向量概念的教学价值.
3.2概念课的主旋律是让学生参与概念本质特
征的概括活动
前已述及,许多老师认为本课概念多但不难理解.多次观摩本课的教学,看到的大多是沉闷的课堂,教师讲得乏味,学生学得无趣.事实上,许多概念课都有这种弊端.有的老师可以把解题讲得头头是道,但概念教学就没词、没招了.我们认为,概念再多也不能成为/讲起来枯燥乏味0的理由.
念课生动活泼、优质高效的关键.这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾,激发认知冲突,把学生卷入其中;另一方面要让学生有参与的时间与机会,特别是有思维的实质性参与.
概念的形成过程充满矛盾冲突,这是激发学生学习兴趣与热情的内在条件.比如,考察司空见惯的/量0,有的/只有大小没有方向0,有的/既有大小又有方向0,在比较中就产生了区别的需要,这就是向量概念的生长点.与人出生后要起名字一样,我们要给新的数学对象命名,并且要与它的本质相吻合,要区别于其他概念,/方向0就成了区别的标准,没有/方向0的叫数量,有/方向0的叫向量,概念的产生自然而然.
概念抽象需要典型实例.谁来找例子?
教师自作自画,自己举例、概括,自己给定义,就可能枯燥乏味.比如,告诉学生什么叫平行向量、相等向量、相反向量等,学生被动听,没有参与机会,不仅枯燥乏味,而且会使学生理解不透.如果让学生举例,要求尽量举不同的例,就会迫使他们开动脑子,就有可能举出不同的、有趣的例,就会百花齐放.这样,生动活泼的场面自然形成,而且在举例过程中,有独立思考、合作交流,甚至有争辩,这就形成了促进概念理解的机制.让学生举例可以促进学生思维的深度参与,因为好例子需要以理解概念的本质属性为基础.实际上,概念教学中的/参与0,其关键是参与从典型实例中概括概念本质特征的活动.
举例后,还要让学生讲理由,让其他同学来补充,相互启发、交流互动,生动活泼的局面自然就出现了.比如,探索/向量的表示0时,一个学生在黑板上画了带箭头的线段表示力,但没有用字母标注起点、终点.笔者没有替他标上,而是问:
/大家有什么要补充的吗?
0有几位同学不请自来,有的标上字母,有的标出大小,,经过教师启发和全班努力,终于明确了向量的几何表示的正确方法.在这个过程中,全体同学热情参与,自我教育,互帮互学,想让课堂不生动活泼都难.也许有人认为,这是小题大做,浪费时间.但我们认为这样做不仅使课堂生动活泼,更重要的是体现概念的形成,这才是落实双基的教学,长期坚持可以让学生养成好的学习习惯.如果总是老师替学生完善表,
2010年第49卷第1期夺了学生的思考机会.
数学通报
果.
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事实上,由于数学概念的高度抽象性,对任何一个貌似简单的概念,学生往往都要费很大周折才能理解.许多教师对此不能保持高度警觉,常常认为自己容易的学生也然,没有意识到自己的/容易0是经历了千辛万苦、长期积累才得到的.这种心理导致了师生交流的许多障碍,是造成教师不是从学生的角度出发,针对学生的理解困难展开教学的主要原因.因此,教师要对这种心理保持高度警惕,努力从学生的认知水平出发,保证学生参与概念本质特征的概括活动,确保学生有自己想明白的机会和时间,这是非常要紧的.
3.3概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现
/概念的形成0
/人教A版0的主编寄语中说:
/数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的.如果有人感到某个概念不自然,是强加于人的,那么只要想一下它的背景,它的形成过程,它的应用,以及它与其他概念的联系,你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物,不仅合情合理,甚至很有人情味.0我们认为,这应该成为概念教学的基本指导思想.概念课就应该使概念出得自然、水到渠成,否则就不叫做/教数学0、/学数学0.本课的教学,我们力求使学生了解向量概念的背景和形成过程,了解为什么要引入这个概念,怎样定义这个概念,怎样入手研究一个新的课题.
从课堂教学的要求看,概念教学的自然和水到渠成应包括两方面:
一是知识的逻辑顺序自然;二是学生心理逻辑的自然,主要是思维过程的自然./自然的概念教学过程0是上述两方面的融合.因此,向量概念的教学中,我们注意了从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路,使学生能/抬头看路0,知道往哪里走,这是起始课的重要任务;微观上,引导学生通过类比,有序地给出向量的定义(区别于/只有大小没有方向的量0、讨论向量的表示(重点是几何表示、定义特殊的向量、研究特殊的关系(特别是相等向量.在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中,主要强调了/让学生参与到定义概念的活动中来0,不轻易打断学生的思维和活动,恰时恰点地/以问题引导学习0,在/追问(质疑反思0的过程中深化概念的理解3.4/创造性地使用教材0的前提是深刻理解教
材
本次课改提出/用教材教0/创造性地使用教材0的理念,这对教师理解和处理教材提出了更高要求.我们认为,深刻理解教材的编写意图是/创造性地使用教材0的前提.
/平行向量0、/共线向量0等概念,教材是这样呈现的:
先介绍概念,然后以一个例子作为概念的应用与巩固;/相反向量0在向量的减法运算中给出.教科书按知识的逻辑顺序呈现,无疑是正确的.如果按教材顺序组织教学,一定能顺利完成任务,学生也会掌握得不错.但这是/教师告诉,提醒注意,练习巩固0的办法,学生的主动思维无法调动.因此我们根据教材的基本思路,先让学生研究问题4,目的是给学生参与概括概念本质特征的机会,实实在在地经历概念的形成过程.观察过程中,必然要利用向量的定义,要从/方向0和/大小0两个方面展开思考.于是,平行向量(共线向量就很容易被概括出来;相等向量、相反向量等概念的产生也比较自然.教师适时介入,强化本质特征、规范概念表达,与学生一起完成概念的定义.
值得指出的是,这样处理教材,自然而然地要求学生联系相关概念.比如,由图形呈现的/平行直线段0自然产生了/平行向量0;再增加长度相等、方向相同或相反,就产生了相等向量或相反向量.属差决定了向量之间的区别,就有了引入新概念的必要性.这里,学生还经历了对向量的关系进行分类的思考:
以是否平行为标准,一类是共线向量(平行向量,另一类是不共线向量(不平行向量,这是由向量的/方向0属性决定的.如何区分不平行的向量?
又有了引入新概念的必要性,这就是向量的夹角(这是后话.
总之,这样处理教材后,我们构建了一个真正的问题情境,学生可以从中学习如何获得研究的对象、如何提出研究的问题、如何找到研究的方法.从课堂小结看,这一目标已经实现.学生不仅能说出具体知识,而且还能准确地说出/分成三个部分0向量的表示、特殊向量、特殊关系(说成向量的性质.这些是课本中找不到的,需要具有一定概括能力.
3.,(
2010年第49卷第1期数学通报33如案例2,通过归纳猜想,探究猜想的证明,值得思考.而案例7则不具备这一原则.(6时代性强调这一点是为着使教学跟上日益变化的社会发展,一方面教学必须快速反映客观现实,与时俱进;另一方面通过富有时代气息的案例教学,引导学生更好地关注现实社会,培养奉献社会的责任感.富有时代感的数学案例教学,具有鲜活生动的教学特色,能充分显示数学教学的强大生命力.如案例2符合人教A版教材的要求,容易与学生的思维产生共鸣.而案例6和案例7则相反(适合老教材,不适合人教A版教材.通过以上分析,笔者以为案例2(教材上的案例是最理想的数学归纳法新课引入教学设计案例.同时也验证了陶维林教授的一句话:
/这部分教材是写得比较好的,大家只要按照教材教就可以了0.我的理解是:
在教了这部分内容之后,你就(上接第29页不过分纠缠于细节本课的教学中,大多数教师都不恰当地在/零向量与任意向量平行0上狠下功夫,原因是/这是考试中的一个陷阱0.我们认为这是对零向量的意义和作用理解不到位的表现.首先,规定/零向量与任意向量平行0是完善概念系统的需要./平行向量0是向量间的关系定义,自然应针对全体向量而言,不能排斥零向量.因此,需要对平行向量的概念加以补充定义.由于零向量的长度为零方向任意,因此,规定/零向量与任意向量平行0也在情理之中.其次,就像数0的作用在于运算一样,零向量的作用在于运算及其表达的几何意义.例如,AB,CD,EF都是非零向量,如果AB+CD=0,则AB与CD是相反向量;如果AB+CD+EF=0,则AB,CD,EF首尾相接围成三角形;等.这些结论在解决几何问题时作用很大.因此,孤立地讨论零向量与任意向量平行没有多少意义,更不应作为考题津津乐道地考学生.本节课上,我们只明确了这一规定,没有耗费过多笔墨.否则,把注意力吸引到这里,就把简单问题复杂化了.4结束语:
追求概念教学的本来面目我们在/中学数学核心概念、思想方法结构体会慢慢地感觉到这部分教材写得好,并且好在哪里.这正是这次课题会议给我的切身体会!
参考文献1章建跃.课题为载体,有效促进教师专业化成长暨/中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践0第八次课题会成果综述.2/中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践0第八次课题会反思材料.345钱珮玲,马波等.高中数学新课程教学法.北京:
高等教育出版社,2007年3月第1版.曹才翰,章建跃.中学数学教学概论.北京:
北京师范大学出版社,2008年4月第2版.何豪明./中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践0第八次课题会研究课的教学设计.67李柏青./中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践0第八次课题会研究课的教学设计.何豪明.例谈案例选编的原则.数学通讯,2004,13系及教学设计的理论与实践0课题研究中提出,一定要重视概念教学,核心概念的教学更要/不惜时、不惜力0.这是因为/数学概念高度凝结着数学家的思维,是数学地认识事物的思想精华,是数学家智慧的结晶,蕴含了最丰富的创新教育素材.数学是玩概念的,数学是用概念思维的,在概念学习中养成的思维方式、方法迁移能力也最强.所以数学概念教学的意义不仅在于使学生掌握-书本知识.,更重要的是让他们从中体验数学家概括数学概念的心路历程,领悟数学家用数学的观点看待和认识世界的思想真谛,学会用概念思维,进而发展智力和培养能力.0[3]概念教学要返璞归真,在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目.要让学生参与概念本质特征的概括过程,这是概念教学中培养学生的创新精神和实践能力的必由之路.参考文献12李邦河.数的概念的发展[J].数学通报,2009,48(8:
1-3章建跃,陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J].数学通报,2009,48(6:
19-24,48(7:
29-31章建跃.数学概念教学中培养创造能力[J].中小学数学(高中版,2009(11,封底普通高中课程标准实验教科书#数学必修4(A版[M].北京:
人民教育出版社,2007,2.第2版34
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