jh0010 相交线平行线综合练习二.docx
- 文档编号:9430852
- 上传时间:2023-02-04
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:55.01KB
jh0010 相交线平行线综合练习二.docx
《jh0010 相交线平行线综合练习二.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《jh0010 相交线平行线综合练习二.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
jh0010相交线平行线综合练习二
平行线
例1:
已知:
如图,直线AB、CD被EF所截,且1+2=180°。
求证:
AB//CD
证一:
∵1+2=180°(已知)
∴1与2互补(补角定义)
∵EF是一条直线(已知)
∴1与3互补(邻补角定义)
有2=3(同角的补角相等)
∴AB//CD(同位角相等两直线平等)
证二:
如图
∵1+2=180°(已知)
2=4(对顶角相等)
∴1+4=180°(等量代换)
∴1与4互补(补角定义)
∵1与3互补(邻补角定义)
∴3=4(同角的补角相等)
∴AB//CD(内错角相等两直线平行)
证三:
如图
∵直线AB与EF相交(已知)
∴1=5(对顶角相等)
∵直线CD与EF相交(已知)
∴2=4(对顶角相等)
∵1+2=180°(已知)
∴4+5=180°(等量代换)
∴AB//CD(同旁内角互补,两直线平行)
例2:
注明理由与看图填空
1、如图1:
∵E=32=1(已知)
∵直线DE与AC相交于F(已知)
∴3=2()
∴3=1()
∴E=1()
∴AD//EC()
2、∵1=2(已知)
∴//()
∵3+4=180°(已知)
∴//()
∵4与5互补(已知)
∴//()
∵A=E(已知)
∴//()
答案:
1、对顶角相等;等量代换;等量代换;同位角相等两直线平等。
2、CE//AD内错角相等两直线平行;CF//AD同旁内角互补两直线平行;CB//FD同旁内角互补两直线平行;EC//AD内错角相等两直线平行。
3、如图:
∵CDAB,FGAB(已知)
∴//()
∴=()
∵1=2(已知)
∴=()
∴//()
4、如图4
∵1=2(已知)
∴//
∴D=
又∵D=3(已知)
∴=
∴//
答案3:
CD//GF垂直于同一直线的两条直线平行;2=3两直线平行同位角相等,
1=3;等量代换;DE//BC内错角相等两直线平行。
答案4:
AD//BE内错角相等两直线平行;D=DBE两直线平行内错角相等;DBE=3等量代换;DB//EC内错角相等两直线平行。
例3:
已知:
如图AB//DF,BC//DE
求证:
1=2
证明:
∵AB//DF(已知)
∴ABD=FDB(两直线平行,内错角相等)
∵BC//DE(已知)
∴CBD=EDB(两直线平行内错角相等)
∴ABD-CBD=FDB-EDB
(等量减等量差相等)
即:
1=2
例4:
已知,如图AB//CD,ABEF
求证:
CDEF
证明:
∵AB//CD(已知)
∴AGE=CHE(两直线平行同位角相等)
∵ABEF(已知)
∴AGE=90°(垂直定义)
∴CHE=90°(等量代换)
∴CDEF(垂直定义)
说明:
1、一条直线垂直平行线中一条,也垂直另一条。
2、本题可仿照例1采用另外的证法2和证法3,即利用两条线平行除了同位角相等之外还有内错角相等,同旁内角互补可用。
例5:
已知:
如图AB//BC,AD//BC
求证:
A=C,B=D
分析:
得用两直线平行同旁内角互补,由已知条件可推出A与B互补,C与B互补,于是A=C,同理可证B=D
证明:
∵AB//CD
∴C+B=180°(两直线平行同旁内角互补)
∵AD//BC(已知)
∴A+B=180°(两直线平行同旁内角互补)
∴A=C(同角的补角相等)
同理B=D
本题的已知条件虽然给出了两组平行线,但是由于原图形中只出现同旁内角,因此只能利用“两直线平行同旁内角互补”这条性质定理,从而得出上面的证法。
但是两直线平行还可推出同位角相等,内错角相等,为了充分利用已知条件,拓广证题思路,我们可以在原图形中添加一些线构选出同位角或内错角,从而利用平行线的其它性质公理或定理来证明。
分析二:
将原图形稍加变化,延长AB至E,如图,利用两直线平行内错角相等,同位角相等,由已知条件可推出C=1,A=1,于是A=C,同理可得B=D。
证明二:
延长AB至E
∵AB//CD(已知)
∴C=1(两直线平行,内错角相等)
∵AD//BC(已知)
∴A=1(两直线平行,同位角相等)
∴A=C(等量代换)
同理B=D
分析三:
原图已有两组平行线,但是本图不能直接使用平行线的性质,我们已经知道它的三条性质都要求两条平行线被第三条直线所截,目前就是缺少这第三条直线,此时,我们应该添加第三条线,能产生出同位角、内错角之一即可,这条辅助线就是AC。
证明三:
连结AC
∵AB//CD(已知)
∴1=2(两直线平行内错角相等)
∵AD//BC(已知)
∴3=4(两直线平行内错角相等)
∴1+3=2+4(等量加等量和相等)
即BAD=BCD
同理B=D(
)
【练习】:
一、判断正误(对的画√,错的画×)
1.不相交的两条直线叫做平行线。
2.在同一平面内如果两条线段不相交,那么这两条线段就平行。
3.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角相等。
4.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么同旁内角互补。
二、选择题
1.如果角的两边有一边在同一条直线上,另一边互相平行,则这两个角
A.相等B.互补C.相等且互补D.相等或互补
2.在同一平面内,直线l1和l2相交于O点,又
,则直线l1和l3的位置关系是
A.平行B.相交C.重合D.平行或重合
3.由图
由AC//ED,可知相等的角有
A.2对B.3对C.4对D.6对
4.如图
由AE//BC可知相等的角有
A.1对B.2对C.3对D.4对
5.两条平行线直线被第三条直线所截时,()的两条角平分线互相平行
A.只有同位角B.只有内错角
C.只有同旁内角D.同位角或内错角
6.两条平行线被第三条直线所截得的角中,角平分线互相垂直的是
A.内错角B.同位角C.同旁内角D.内错角和同位角
7.如图,已知DAC=ACB,D=78°,则BCD等于
A.78°B.112°
C.102°D.12°
三、看图填空,并注明理由
1.∵B=C(已知)
∴//()
∵=(已知)
∴BC//DE()
2.∵BCD是一条直线(已知)
ACB=47°(已知)
∴ACD=°()
∵CE//BA(已知)
∴A=ACE()
B=ECD()
∴A+B=ACD()
∴A+B=°()
四、已知ABC=ADC,BE、DF分别是ABC、ADC的平分线且1=2
求证:
FD//BE
【答案】:
一、1.×2.×3.×4.√
二、1.D2.B3.D4.B5.D
6.C7.C
二提示3:
由AC//ED被直线FB所截,有同位角FAC=FED、BAC=BED相等;由AC//ED被FD所截,有同位角FHA=FDE,内错角CHD=FDE相等,由ED//AC被直线CD所截有同位角EDB=C相等,为此还由直线FD与AC交于H,对顶角AHF=DHC相等
三、1、AB//CD,内错角相等两直线平行;
C=D,内错角相等两直线平行。
2、133°平角定义;两直线平行内错角相等;两直线平行同位角相等;等量加等量和相等。
133°等量代换。
四、证明:
∵ABC=ADC(已知)
∵DF平分ADC(已知)
∴2=
ADC(角平分线定义)
∵EB平分ABC(已知)
∴3=
ABC(角平分线定义)
则2=3(等量的一半相等)
∵2=1(已知)
∴1=3(等量代换)
则DF//BE(同位角相等两直线平行)
简单的几何证明
例1:
如图,直线AB//CD,直线EF分别与ABCD交于M,N,分别过M、N做MP、MQ,使1=2
求证:
MP//NQ
分析:
要证MP//NQ须要使平行线的判定去找角。
要找角——须要确定第三条直线,由图可知,EF即是与MP、QN相交的第三条直线找到EMP和ENQ它们是同位角,它们相等吗?
从条件出发AB//CD产生了许多同位角,内错角,同旁内角,与本题须求相关的是EMB等于END,已知又有1=2可得到EMP和ENQ相等的关系。
故可证。
证明:
∵AB//CD(已知)
∴EMB=END(两直线平行同位角相等)
∵1=2(已知)
∴EMB-1=END-2(等量减等量差相等)
即EMP=ENQ
∴MP//NQ(同位角相等两直线平行)
例2:
已知:
如图四边形ABCD中,A=106°-,B=74°+,BDDC于D,EFDC于F。
求证:
1=2
分析:
欲证1=2,从图可知,角的两边四条线,构不成两条平行线被第三条线所截。
因此它也不能通过平行去找角相等。
此时须要找第三个角来进行代换。
从图可找到1与DBC是内错角,2与DBC是同位角,它们能不能相等,就须要看AD与BC是否平行?
BD与EF是否平行?
由已知BDDC于D,EFDC于F,可证BD//EF
由已知A=106°-,ABC=74°+可知AD//BC
由须知BD与EF平行AD与BC平行到可乔BD//EF,AD//BC本题思路已经形成。
证明:
∵A=106°-,ABC=74°+(已知)
∴A+ABC=(106°-)+(74°+)=180°
则AD//BC(同旁内角互补两直线平行)
∴1=DBC①(两直线平行同错角相等)
∵BDDC,EFBC(已知)
∴BD//EF(垂直于同一直线的两直线平行)
∴2=DBC②(两直线平行同位角相等)
由①②可知1=2(等量代换)
例3:
已知:
如图DAAB,EBAB,DG平分ADE,CF平分DCF
求证:
DG//CF
分析:
欲证DG//CF,须利用平行线判定定理,须要找到角从图来看就是GDC与
DCF最靠近须知。
从已知条件看,由ADAB,BCAB可知AB//CD。
由此找角可知AD、BC与第三线AB相交,同时又与DC相交,后者更靠近须知,从已知还可以得到GDC和ADC的关系。
FCD和DCE的关系这就要选择一个恰当的方式来表达,因此它有三种方式,最好是GDC=
ADC。
据等量公理,本题可证。
证明:
∵ADABBCAB(已知)
∴AD//BC(垂直于同一直线的两直线平行)
∴ADC=DCE(两直线平行内错角相等)
∵DG平分ADC(已知)
∴GDC=
ADC(角平分线定义)
同理DCF=
DCE
∴GDC=DCF(等量的一半相等)
DG//CF(内错角相等两直线平行)
例4:
已知;如图AB//ED
求证B+BCD+D=360°
分析一:
欲证三个三角的和为360°须要将三个角的和分解出两对平行线的同旁内角,现只有一对平行线这是已知条件,再添加一条直线即可造出两对平行线。
关健是这条线在哪里作更合适。
再看求证三个角的三个顶点的位置,得到法一:
证明:
过C点作CF//AB
∵AB//ED(已知)
∴FC//ED(平行于同一直线的两直线平行)
B+BCF=180°(两直线平行同旁内角互补)
FCD+D=180°(两直线平行同旁内角互补)
∴B+BCF+FCD+D=360°
(等量加等量和相等)
即B+BCD+D=360°
分析二:
欲证三个角和为360°已知周角是360°故须将这三角转化为周角。
证明二:
过C点作CF//AB
∴ABC=BCF
(两直线平行内错角相等)
∵ED//AB(已知)
∴ED//CF(平行于同一直线的两直线平行)
∴EDC=DCF(两直线平行内错角相等)
∵DCB+BCF+FCD=360°(周角定义)
∴DCB+ABC+CDE=360°(等量代换)
即BCD+B+D=360°
分析三:
欲证三个角之和为360°,若转化为两个邻补角之和也是360°,这两个邻角要和三个角有紧密的联系才能解决问题
证明:
延长AB、ED,过C点作CF//AB
∴3=4(两直线平行内错角相等)
∵AB//ED(已知)
∴ED//CF(平行于同一直线的两直线平行)
∴1=2(两直线平行内错角相等)
∵1+EDC=180°(平角定义)
4+ABC=180°(平角定义)
∴1+4+EDC+ABC=360°(等量加等量和相等)
2+3+EDC+ABC=360°(等量代换)
即DCB+D+B=360°
例5:
已知:
如图ABC=50°,ACB=60°,BO平分ABC,OC平分ACB,OB、OC交于O点,求BOC的度数。
分析:
欲求BOC的度数,现在找不到满意的须知。
从条件入手B=50°,C=60°,OB平分B可知
1=25°,OC平分C可知2=60°。
此时BOC的度数要依赖于1与2去求,它们之间的关系小学已经知道但没有证明过,这里不能用。
但是从它们之和为180°想到平角进而想到直线,过O点作一条直线是极容易的事,但随便作一条直线很难发现什么角和1、2的关系,此时可以悟到作平行线才能找到等角。
解:
过O点作BC的平行线交AB于E,交AC于F
∴1=3(两直线平行,内错角相等)
2=4(同上)
∵EOF=180°(平角定义)
∴3+4+BOC=180°
∵B=50°(已知)
OB平分B(已知)
∴1+
B=25°(角平分线定义)
同理2=30°
1+2+BOC=180°(等量代换)
有25°+30°+BOC=180°(等量代换)
∴BOC=125°
答:
BOC为125°的角。
说明:
目前我们所作的辅助线主要是作平行线,应该不断积累经验,在什么条件下作辅助线,怎样作。
作了之后图形结构发生了什么变化,产生了什么新的条件可供使用等等。
例6:
如图所示,已知AB//CD、B=100°,EF平分BEC,GEEF于E
求证:
BEG=DEG
分析:
欲证BEG=DEG须证EG是BEG平分线,或找等量代换或者通过计算。
若从条件出发,标明已知条件如图,还是通过计算来解决问题比较好。
证明:
∵AB//CD(已知)
∴B+BEC=180°(两直线平行同旁内角互补)
∵B=100°(已知)
∴BEC=180°-100°=80°(角平分线定义)
∵FEGE(已知)
∴FEG=90°(垂直定义)
有BEG=90°-40°=50°(互为余角定义)
∵CED是一条直线
∴CEB+BEG+EGD=180°(平角定义)
则GED=180°-CEB-BEG
=180°-80°-50°
=50°
故GED=BEG(等量代换)
说明:
本题还可以有别的证明方法。
【练习】:
1.如图所示,已知1=4,2=6且1+2=180°
求证:
证明:
(1)∵
∴
()
(2)∵2+3=180°(邻补角定义)
1+2=180°(已知)
∴1=3()
或者∵
(已证)
∴1=3()
∴1=4(已知)
∴3=4()
则
()
(3)∵
(已证)
∴3=4①()
∵2+3=180°(平角定义)
5+6=180°(平角定义)
又∵2=6(已知)
∴3=5②()
由①、②得
4=5()
∴
()
(4)∵
(已证)
l2//l4(已证)
∴l1//l4()
答案:
(1)1+2=180°,同旁内角互补两直线平行
(2)同角的补角相等;两直线平行同位角相等;等量代换,同位角相等两直线平行;
(3)两直线平行同位角相等;等角的补角相等;等量代换,内错角相等两直线平等。
(4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
图1图2
2.已知:
如图
(1)B+BCD+D=360°求证AB//DE。
3.已知:
如图
(2)DEAC,BFAC,1=2,求证A=C。
答案2:
证明:
过C点作CF//DE
则1+EDC=180°(?
)
∵EDC+1+2+B=360°(已知)
∴B+2=180°(等量变换)
∴FC//AB(同旁内角互补两直线平行)
有AB//DE(平行于同一直线的两直线平行)
3:
证明:
∵DEAC,BFAC(已知)
∴DE//BF(垂直于同一直线的两直线平行)
∴2=3(两直线平行,同位角相等)
∵1=2(已知)
∴1=3(等量代换)
则AB//CD(内错角相等两直线平行)
∴A=C(两直线平行内错角相等)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- jh0010 相交线平行线综合练习二 相交 平行线 综合 练习