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数学运算技巧.docx
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数学运算技巧
数学运算--代入排除法
代入排除法的方法是:
将选项作为一个常量或者作为题目的一个条件,代入到题干的数量关系中,通过验算,计算出这个选项是否符合题干的要求,如果符合,即为正确答案,如果不符合,再代入下一个选项去做尝试,直至找到正确答案。
下面来看几道例题:
【例1】某市园林部门计划对市区内30处绿化带进行补栽,每处绿化带补栽方案可从甲、乙两种方案中任选其中一方案进行。
甲方案补栽阔叶树80株,针叶树40株:
乙方案补栽阔叶树50株,针叶树90株。
现有阔叶树苗2070株,针叶树苗1800株,为最大限度利用这批树苗,甲、乙两种方案应各选( )
A.甲方案19个、乙方案11个 B.甲方案20个、乙方案10个
C.甲方案17个、乙方案13个 D.甲方案18个,乙方案12个
【解析】D。
这道题从题干入手很难快速解题,因此选用代入排除法,即从选项入手。
A项代入,19×80+11×50=2070,19×40+11×90=1750,阔叶树正好栽完,针叶树还剩50株。
B项代入,20×80+10×50=2100,阔叶树不够,直接排除。
C项代入,17×80+13×50=2010,阔叶树还剩60株,不如A项方案,排除。
D项代入,18×80+12×50=2040,18×40+12×90=1800,阔叶树正还剩30株,针叶树全部栽完,优于A项方案。
因此这道题最后选择D选项。
【点评】这道题求的是“最大限度利用的方案”,因此,直接计算方案相当复杂。
故此时可以考虑选择代入排除法来解题。
这道题另外一个难点在于计算,题干所提供的数字都比较大,涉及到乘法和加法的运算,因此计算量比较大,同学计算时一定要细心。
【例2】根据国务院办公厅部分节假日安排的通知,某年8月份有22个工作日,那么当年的8月1日可能是( )
A.周一或周三 B.周三或周日
C.周一或周四 D.周四或周日
【解析】D。
这道题题干所给出的条件比较少,其中一个隐含条件是8月份有31天,这个需要考生自己明确,故这题需要使用代入排除法:
如果8月1日为周一,则8月将有4个周末8个休息日,23个工作日,这与题干不符,因此排除A、C两项。
若8月1日为周三,则8月29日、8月30日、8月31日将分别为周三、周四、周五,此时8月有4个周末8个休息日,23个工作日,因此排除B项,最终选择D项。
【点评】在做数学运算题目时,解题的第一思维是考虑代入排除法,代入排除法使用方法简单,不用过多考虑解题方法和速算技巧,因此可以节约不少的考试时间。
这道题出题人的目的就是考查考生的逆向思维能力,逆向思维能力转换成方法,就是代入排除法。
【例3】某单位2011年招聘了65名毕业生,拟分配到该单位的7个不同部门。
假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多,问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名( )
A.10 B.11 C.12 D.13
【解析】这道题同样可以使用代入排除法。
首先代入A选项,即:
若行政部门分得的毕业生为10名,则其他6个部门分得55名,平均为
名,其中必有部门分得的毕业生大于或等于10名,这与题干矛盾。
代入B选项,若行政部门分得11名,则其他6个部门分得54名,平均为9名,符合题干要求,因此选择B选项。
【点评】在考场上解这道题的时候,只要尝试A、B两个选项即可确定B选项为正确答案,此时,同学千万不要再去验证C、D两个选项,这样做既浪费了时间,同时也对正确答案的选择帮助不大。
数学运算--尾数判断法
尾数判断法,顾名思义,就是根据数字的尾数,也就是最后一位来判断答案。
这种方法的使用条件是:
选项中的数字尾数各不相同或者有差异。
如果没有这个先决条件,那么即便尾数计算出来,也无法找到正确答案。
尾数判断法的三个步骤如下:
1、查看选项中的数字尾数是否相同,如果相同,则可采用尾数判断法;2、用题干中给出的条件,只计算尾数;3、用求得的尾数去排除错误选项、选出正确答案。
首先来看一道简单的数学运算题,从而理清尾数判断法的使用步骤。
【例1】173×173×173-162×162×162=( )
A.926183 B.936185
C.926187 D.926189
【解析】D。
首先看到四个选项的数字尾数为3、5、7、9,各不相同,因此只要知道正确答案的尾数,就可以选出选项。
再看题目中涉及到六个数的乘法和减法计算,所以用每个数的尾数来计算即可,也就是3×3×3-2×2×2=19,可知答案的尾数为9,故选择D选项。
【点评】这道题出现在国考的行测数学运算部分,很容易发现这道题如果按照正常的解题思路的话,计算量相当大。
如果按照正常的解题思路去做乘法和减法,那么就掉进了出题人设置的陷阱里,因为即便最后算出正确答案,考试时间也浪费了,况且这道题很容易算错。
因此,碰到此类题目,一定要“巧解”,正如这题使用的尾数判断法。
【例2】从装满100克浓度为80%的烧碱溶液的杯中倒出40克,再用水将杯装满,搅匀后再倒出40克,然后还用清水将杯装满,这样反复三次后,杯中烧碱溶液的浓度是多少?
A48% B32% C28.2% D17.28%
【解析】D。
这道题如果可以理解浓度、溶质和溶液的含义,那么不难列出式子:
浓度=80%×60%×60%×60%。
此时可以使用尾数判断法来解这个式子,也就是只要计算8×6×6×6,可知尾数是8,因此选D选项。
【点评】尾数判断法在数学运算中的应用,重在运算速度上的提高,而解题思路仍然不变。
自然数N次方的尾数周期变化情况:
2n是以“4”为周期进行变化的,分别为2,4,8,6……
3n是以“4”为周期进行变化的,分别为3,9,7,1……
7n是以“4”为周期进行变化的,分别为7,9,3,1……
8n是以“4”为周期进行变化的,分别为8,4,2,6……
4n是以“2”为周期进行变化的,分别为4,6……
9n是以“2”为周期进行变化的,分别为9,1……
5n、6n尾数不变。
【例3】22007+32007+42007+52007+62007+72007+82007+92007的值的个位数为是多少?
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】D。
这道题的每个指数都很大,而求的是最终值的个位数,因此只要根据自然数N次方的尾数周期变化情况就可以判断。
例如,22007是以“4”为周期变化的,于是用2007除以4,可得余3,因此22007=23=8,个位数是8。
以此类推将后面几个数的个位数算出来相加即可:
原式等价于23+33+41+5+6+73+83+9,所以最终值的尾数是4。
【点评】国考包括很多地方公务员考试,都涉及到指数的运算,由于一般题干设置的指数都很大,所以采用尾数判断法是必然的选择。
从2到9的N次方的尾数变化情况每个同学都应该记住,在考场上才能运用自如,真正达到速算的目的。
尾数判断法作为最常用的速算技巧,是行测考试必须要掌握的技巧之一。
掌握了尾数判断法可以减少计算的环节,直接从尾数入手、从答案判断入手,最终将正确答案确定下来。
切记尾数判断法使用的条件是四个答案的尾数各不相同或者有差异,这样通过尾数法计算得出的尾数,在选择答案时才能有效运用。
尾数判断法不仅在数学运算题型中可以使用,还可以运用在资料分析的速算中,因此,同学可以在复习数学运算的时候,先将尾数判断法掌握了,这样在复习资料分析的时候就可以做到熟能生巧。
数学运算--倍数关系法
【例1】某城市共有四个区,甲区人口数是全城的4/13,乙区的人口数是甲区的5/6,丙区人口数是前两区人口数的4/11,丁区比丙区多4000人,全城共有人口多少万?
A.18.6万 B.15.6万 C.21.8万 D.22.3万
【解析】B。
这道题给出的条件多而复杂,很多考生看到这样的题目就觉得难度过高而放弃,其实如果使用倍数关系法,这道题非常容易解。
适用倍数关系法的题目特征是一般题干会给出比较多的分数或者百分数,正如这道题给出的4/13、5/6和4/11。
首先看这道题问的是“全城共有人口多少万”,再看条件中和“全城人口”相关的条件只有一个,即“甲区人口数是全城的4/13”,换句话说,就是全城占13份,甲区占4份,因此全城的人数一定是13的倍数。
代入选项之后可以发现:
只有B选项符合要求。
故这道题即便没有使用其他条件,也可以将正确答案选出来。
【点评】这道题从题干入手的话需要列方程、解方程,相当麻烦,而使用倍数关系法就可以很快排除干扰项,最终选出正确答案。
【例2】小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个三角形,正好用完,后来又改围成一个正方形,也正好用完。
如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币,则小红所有五分硬币的总价值是()
A.1元B.2元C.3元D.4元
【解析】C。
这道题的解法有很多,首先想到的是代入排除法,将每个选项换算成5分硬币的个数,再判断是否符合条件。
第二种常规方法是列方程法,但是解题效率比较低。
这题最快的解题方法是运用倍数关系法。
根据题意可以得知:
五分硬币可以围成三角形,说明总的硬币个数是3的倍数;还可以围成正方形,说明硬币个数也是4的倍数。
因此,结合以上两个条件可以推出,硬币总数是3和4的最小公倍数12的倍数。
再将选项转换成5分硬币的个数,发现只有C选项是符合要求的,故选择C选项。
【点评】使用倍数关系法,可以允许考生绕过某些条件,直接通过选项的倍数关系来确定正确答案。
这道题用代入排除法也比较容易解题,在考场上如果一时想不到用倍数关系法,那么用代入排除法解题也是可以的。
【例3】若干学生住若干房间,如果每间住4人则有20人没地方住,如果每间住8人则有一间只有4人住,问共有多少名学生?
()
A.30人B.34人C.40人D.44人
【解析】D。
这道题同样适用倍数关系法,根据条件“如果每间住4人则有20人没地方住”可以推出总人数减去20人之后可以被4整除,故可以排除A、B两项。
“如果每间住8人则有一间只有4人住”可以推出总人数减去4人可以被8整除,可以排除C选项。
因此这道题选择D选项。
【点评】这道题中的“每间”这个词眼,暗示了这道题可以使用倍数关系法。
综上所述,在数学运算题中,有很多出现分数、百分数等词眼的题,都可以尝试使用倍数关系法来去解题。
关键在于找到题目问的是哪个量,再根据这个量在题目中的倍数要求,尝试各个选项是否符合这个要求,从而判断选项。
巧用“倍数关系法”进行求解,不但可以大大减少解题的环节和步骤,节省大量宝贵的时间,而且可以大大提高准确率。
数学运算--方程运算法
方程运算法的思路只有一个,那就是:
列方程、解方程、得答案。
这种方法适合于一些条件充足、等量关系明显、数据计算简单的题目。
遇到这样的题目,如果没有很好的巧解思路和技巧,那么可以采取方程运算法来解题。
下面就方程运算法,举几个例子来详细说明这个方法的运用和原理。
【例1】三位专家为10幅作品投票,每位专家分别都投出了5票,并且每幅作品都有专家投票。
如果三位专家都投票的作品列为A等,两位专家投票的列为B等,仅有一位专家投票的作品列为C等,则下列说法正确的是( )
A.A等和B等共6幅 B.B等和C等共7幅
C.A等最多有5幅 D.A等比C等少5幅
【解析】D。
设A等作品数量为x件,B等为y件,C等为z件,由于总共有10幅作品,于是x+y+z=10,3x+2y+z=5×3,其中x、y、z∈N。
两式相减,得:
(3x+2y+z)-(x+y+z)=2x+y=5,解得x=0,y=5,z=5或者x=1,y=3,z=6或者x=2,y=1,z=7。
因此可以知道A等比C等少5幅,故选D。
【点评】一拿到这道题目如果没有明显的解题思路,那么可以考虑尝试用方程运算法来解题。
这道题只要设出A、B、C等作品的数量,那么等量关系非常好找。
这道题有三个未知数、两个方程,因此不能马上解出唯一解,所以在列完式子之后,再设x=0或x=1或x=2,来解出相应的y和z。
当三个未知数都解出之后,选择答案就相对容易了。
【例2】某市气象局观测发现,今年第一、二季度本市降水量分别比去年同期增加了11%和9%,而两个季度降水量的绝对增量刚好相同。
那么今年上半年该市降水量同比增长多少( )
A.9.5% B.10% C.9.9% D.10.5%
【解析】C。
设今年一、二季度降水量增量均为x,一、二季度降水量增长率分别为r1和r2,则今年一、二季度总增长率为。
【点评】这道题目是属于增长率的题型,该题型的原理将在以后的专题精讲中详细介绍,这道题目放在这里的主要目的是为了让同学学会运用方程运算法。
从这道题的题干中很容易可以发现缺少降水量的绝对增量这个条件,因此如果假设为x,那么方程能列出来,并最终解出答案。
【例3】超市将99个苹果装进两种包装盒,大包装盒每个装12个苹果,小包装盒每个装5个苹果,共用了十多个盒子刚好装完。
问两种包装盒相差多少个( )
A.3 B.4 C.7 D.13
【解析】D。
设大盒有x个,小盒有y个,根据条件可以列出方程:
12x+5y=99,解得x=7,y=3(7+3=10,不符合“十多个盒子”的条件,舍去)或者x=2,y=15。
因此两种包装盒相差15-2=13(个),选择D选项。
【点评】这道题目只要未知数假设好之后,方程很容易列出来,难度在于解方程。
和例1类似,一个方程有两个未知数,所以要根据“十多个盒子”这个条件,“拼凑”出x和y的值。
以上三道题目都是通过“列方程、解方程、得答案”的思路来解题的,同学在做数学运算题的时候,除了要有《代入排除法》、《倍数关系法》、《尾数判断法》等解题思路,不妨将“方程运算法”也加入到自己的解题思路当中去,在一时没有很好的思路的时候,或者碰到比较适合列方程求解的题目时,可以尝试运用方程运算法来做题。
数学运算--赋值思维法
•什么是赋值思维法?
顾名思义,就是将题目中没有给出的未知量直接赋值为一个常量,并且运用这个常量得出答案。
•怎样的题目适合用赋值思维法?
一般涉及到“经济利润问题”、“浓度问题”、“行程问题”、“比例问题”等常见的题型,都可以采用赋值思维法。
这些题型在题干中往往有明显的“词眼”,提醒考生可以将某个量赋值为特殊值,考生要做的就是找出这些“词眼”并且赋值计算。
•赋怎样的值最合适?
同学可以根据题目的具体情况,假设某个未知量为“最小公倍数”、“份数”、0、1、2、-1等特殊值。
通过本章的练习和平常的做题,每个同学自然而然就会理解赋怎样的值最为合适。
【例1】一只装有动力桨的船,其单靠人工划船顺流而下的速度是水速的3倍。
现该船靠人工划动从A地顺流到达B地,原路返回时只开足动力桨行驶,用时比来时少2/5。
问船在静水中开足动力桨行驶的速度是人工划船速度的多少倍( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】B。
设水速为1,则顺水速度为3,船速=3-1=2。
从“原路返回时只开足动力桨行驶,用时比来时少2/5”这句话可以得到,顺水时间︰逆水时间=1︰(1-2/5)=5︰3,于是,顺水速度︰逆水速度=3︰5。
又因为顺水速度为3,所以逆水速度为5,动力桨速度=5+1=6,因此动力桨速度和人工划船速度之间的比例为6︰2=3︰1。
【点评】这道题看到“其单靠人工划船顺流而下的速度是水速的3倍”就要想到如果假设水速是1,那么顺水速度就为3。
又因为题目问的是两个量之间的比例关系,因此赋值的量就可以直接代入题目中去运算,最终求得比例。
【例2】某人银行账户今年底余额减去1500元后,正好比去年底余额减少了25%,去年底余额比前年底余额的120%少2000元。
则此人银行账户今年底余额一定比前年底余额( )
A.少10% B.多10% C.少1000元 D.多1000元
【解析】A。
这道题涉及到“今年年底余额”、“去年年底余额”、“前年年底余额”三个量,并且给出了“今年”和“去年”之间的关系、“去年”和“前年”之间的关系,求“今年”和“前年”之间的关系。
因此,这道题如果给其中的一个量赋值,那么这三者的关系便可以更加容易计算。
于是,假设前年底余额为5000元,则去年底余额为5000×120%-2000=4000(元),今年底余额则为4000×75%+1500=4500(元),因此今年底余额比前面底余额少(5000-4500)÷5000=10%。
通过以上两道例题可以看出,如果不赋值,计算也可以进行,但是极为不便,一旦给一个量假设了一个合适的值,那么运算就变得非常简便,并且思路也更加清晰。
因此,赋值思维法针对的题型大多都可以直接解题但是计算较麻烦,令考生感觉“总是少一个量”,碰到这样的题型时,就应该提醒自己是否可以赋一个特殊值,并且这个特殊值不会影响到题干中其他的条件关系,之后就利用这个特殊值,代入到题目中去解题
数学运算--顺逆水问题
顺逆水问题常用的公式有:
(1)顺水速度(V顺)=船速(V船)+水速(V水)
(2)逆水速度(V逆)=船速(V船)-水速(V水)
由
(1)和
(2)公式推导可以得出:
(3)船速(V船)=[顺水速度(V顺)+逆水速度(V逆)]÷2
(4)水速(V水)=[顺水速度(V顺)-逆水速度(V逆)]÷2
(3)、(4)两个公式是顺逆水问题中最核心最常用的两个公式,同学应该将该公式熟记于心。
记忆的时候可以这么理解:
船速一般要大于水速(不然船就无法在逆水中前行),所以船速是“顺逆相加除以二”、水速是“顺逆相减除以二”。
熟记以上公式,就可以解决大部分顺逆问题了。
【例1】某船在静水中的速度是每小时15千米,它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时,水速每小时3千米,问从乙地返回甲地需要多少时间?
A.10小时 B.12小时 C.14小时 D.16小时
【解析】B。
由题意得:
V船=15,V水=3,顺水速度(V顺)=船速(V船)+水速(V水),则V顺=15+3=18,甲乙两地的路程=18×8=144。
逆水速度(V逆)=船速(V船)-水速(V水),则V逆=15-3=12,所以逆水的时间为144÷12=12小时。
【点评】这道题属于简单题,只要会运用顺水速度(V顺)=船速(V船)+水速(V水) 、逆水速度(V逆)=船速(V船)-水速(V水)这两个公式即可。
直接用公式代入求解。
【例2】甲、乙两港间的水路长208千米,一只船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达,则船速和水速各为多少?
A.21、5 B.36、10 C.18、8 D.20、9
【解析】A。
要求船速和水速,只要知道顺水速度和逆水速度即可,在运用公式代入就可以得到。
因此,根据题目条件可知,V顺=208÷8=26,V逆=208÷13=16。
根据公式船速(V船)=[顺水速度(V顺)+逆水速度(V逆)]÷2、水速(V水)=[顺水速度(V顺)-逆水速度(V逆)]÷2可得,V船=(26+16)÷2=21,V水=(26-16)÷2=5。
【例3】某旅游部门规划一条从甲景点到乙景点的旅游线路,经测试,旅游船从甲到乙顺水匀速行驶需3小时;从乙返回甲逆水匀速行驶需4小时,假设水流速度恒定,甲乙之间的距离为y公里,旅游船在静水中匀速行驶y公里需x小时,则满足x的方程为( )
【解析】D。
这道题的条件中提供了甲乙之间的距离和顺水逆水所需的时间,因此可以写出顺水和逆水的速度:
V顺=y÷3,V逆=y÷4。
由于“旅游船在静水中匀速行驶y公里需x小时”,所以V船=y÷x。
再根据公式V船=(V顺+V逆)÷2,代入后得y/x=(y/3+y/4)/2,将y约掉后整理可得:
(1/3)-(1/x)=(1/x)-(1/4),故选D。
综上所述,对于顺逆水问题,实质上就是根据公式去求解,只要将公式熟记,并且根据题目要求灵活运用即可。
数学运算--利润问题
一、怎样的题目算是“利润问题”
一般涉及到利润问题的题目,在题干中都会出现“成本”、“售价”、“利润”、“利润率”等词眼。
在审题时如果看见这几个词眼,那么八九不离十就是“利润问题”。
二、要搞清几个基本概念
要解出利润问题,那么搞清几个基本的概念是基础中的基础。
利润问题一般涉及到“成本”、“售价”、“利润”、“利润率”等几个常见的概念。
它们之间的关系是:
1、售价(标价、定价)-成本(进价)=利润
2、利润÷成本×100%=利润率
3、总利润=单个利润×数量
关于利润问题还有几个其他的公式,但都是由以上三个基本公式变形而来,因此只要记住这三个公式,所有的利润问题都可以解出来。
这三个公式一定要记住!
三、利润问题的解题思路
1、利润问题一定可以解出。
所有利润问题在数学运算题型中都不是难题,同学们不要看到利润、成本等概念就犯怵,心中一定要有做出此类题目的信心。
2、直接计算。
简单的利润问题,采用直接计算是最快最有效的方法。
3、设x、列方程计算。
如果利润问题涉及到多个条件,并且几个条件之间关系比较复杂,那么可以将未知量假设成x,列出方程,最后求出未知量。
4、赋特殊值计算。
很多利润问题可以采用《赋值思维法》去解题,也就是将某个值假设成一个常量,代入到条件中去求出未知量。
【例1】某种汉堡包每个成本4.5元,售价10.5元,当天卖不完的汉堡包即不再出售。
在过去十天里,餐厅每天都会准备200个汉堡包,其中有六天正好卖完,四天各剩余25个,问这十天该餐厅卖汉堡包共赚了多少元( )
A.10850 B.10950 C.11050 D.11350
【解析】B。
这道题是2013年国考的题目,题干中出现“成本”、“售价”等词眼,很明显可以判断出是属于利润问题。
并且这道题是属于简单题,只要搞清几个基本概念和公式,通过直接计算即可。
读到第一句话“某种汉堡包每个成本4.5元,售价10.5元”就可以在草稿纸上写上每个赚6元(利润)。
“在过去十天里,餐厅每天都会准备200个汉堡包,其中有六天正好卖完,四天各剩余25个”这句话可以得知,十天内总共卖了200×6+(200-25)×4=1900个,剩了25×4=100个。
问的是总共赚了多少,因此就是1900×6-100×4.5=10950元。
所以选B。
【点评】这道题唯一的难点在于很多同学将四天每天剩余25个汉堡包的成本没有减去,导致算出来没有答案。
【例2】某商店花10000元进了一批商品,按期望获得相当于进价25%的利润来定价,结果只销售了商品总量的30%,为尽快完成资金周转,商店决定打折销售,这样卖完全部商品后,亏本1000元,问商店是按定价打几折销售的( )
A.九折 B.七五折 C.六折 D.四八折
【解析】C。
这道题是一道典型的利润问题,很多同学看到这么多复杂的条件就望而却步。
实际上只要设x列方程即可。
假设一共有10件商品,折扣为x,则每件商品进价为1000元,每件利润为250元,打折前销售了3件,打折后销售了7件,可列方程1250×3+1250x×7=10000-1000,解得x=0.6,所以是六折。
【点评】这道题是2011年国考真题,体现了国
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