乘法原理与加法原理学案.docx

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乘法原理与加法原理学案

第十一讲乘法原理与加法原理

知识提要

理解和初步掌握：

加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。

加法原理：

N=m1＋m2＋……＋mn。

乘法原理：

N=m1×m2×……×mn。

经典例题

例1小刚从家到学校要经过一座桥，从家到桥时有3条路可以走，过了桥再到学校时有4条路可以走（如下图）。

小刚从家到学校一共可以有多少种不同的走法？

例2有四张数字卡片，用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？

例3：

由数字1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的四位奇数？

例4：

下图为4×4的棋盘，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在棋盘的方格中，并使每行每列只能出现一个棋子。

问：

共有多少种不同的放法？

例6：

如图：

从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走。

那么，从甲地到丙地共有多少种不同走法？

例7：

有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上标有数字1、2、3、4、5、6，将两个正方体任意放到桌面上，向上一面的两个数字之和为偶数的有多少种情形？

基本训练

1.某校六一班有35人，六二班有40人，六三班有37人。

从中选1人去人民大会堂开会，有多少种选法？

2.某校六一班第一小队有12人，第二小队有11人，第三小队有13人。

从每个小队中各选1人去人民大会堂开会，有多少种选法？

3.某人在小学、初中、高中时分别有两个学校可以选择，那么他共有几种不同的由小学读完高中的不同选择方式？

4．如图所示，三条平行线上分别有两个点、四个点、三个点，且不在同一直线上的三个点一定不共线，在每条直线上各取一点可以画一个三角形，如三角形BEH，问可以画多少个不同的三角形？

5.由数字1、2、3、4、5、6、7、8可以组成多少个

（1）三位数？

（2）三位偶数？

（3）没有重复数字的三位偶数？

（4）百位有8的没有重复数字的三位数？

（5）百位为8的没有重复数字的三位偶数？

拓展提高

1．某个地区的电话号码是八位数，如果首位不是0，其余各位上可以是0～9这十个数字中的任意一个，不同数位上的数字可以重复，那么，这个地区可以有多少个电话号码？

2．两位数中个位数字加十位数字的和是双数，这样的两位数一共有多少个？

3．某公司买了8辆汽车，这8辆汽车的钥匙混装在一个纸袋里，要想把每辆汽车的钥匙挑出来，最多要试多少次？

奥赛训练

1．超市的一个货架上摆放着10种不同的蔬菜，另一个货架上摆放着8种不同的水果。

如果妈妈从这两个货架中至少选购一种，最多选购两种，一共有多少种不同的选购方法？

2.从1～30这三十个自然数中，选出两个数，使它们的和大于30，一共有多少中不同的选法？

3．自然数1～1000中，“0”这个数字一共出现了多少次？

第十二讲简单的排列与组合

知识提要

1、理解和初步掌握：

加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法。

加法原理：

N=m1＋m2＋……＋mn。

乘法原理：

N=m1×m2×……×mn。

排列：

=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）（m≤n）

组合：

=

÷

2、能够应用加法原理、乘法原理、排列和组合的概念及计算方法解决一些简单的实际问题。

经典例题

例1有四张数字卡片，用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？

例2有红、黄、粉、紫和蓝色的花各有很多支，现在用三种颜色的花各一支扎成一束，可以扎成多少不同的束？

例3从甲地到乙地的铁路沿线连同甲、乙两站共有10个车站，那么，火车票应有多少种不同票价？

例4平面上共有7个点（没有3个点在同一条直线上），通过这些点可以画出多少个三角形或四边形？

例5如图。

共有多少个平行四边形？

基本训练

1.一次乒乓球比赛，最后有6名选手进入决赛，如果赛前写出冠、亚军名单，可

以写出多少种？

2.在一张纸上有9个点，没有三个点在一条直线上。

通过这些点一共可以画出多少条线段？

3.第三小队共有队员12人，要选出正、副小队长各一人，选出的结果可以有多少种不同的情况？

4.六一班有40名同学，现在要选派2名同学参加国庆活动，共有多少种不同的选法？

5.小红有4件不同花色的衬衫，有3条不同样式的裙子，如果用一件衬衫和一条裙子搭配成一套，一共可以搭配成多少套？

6.学校食堂今天中午的主食有：

米饭、馒头、花卷和烙饼，炒菜有：

炒芹菜、炒肉片、炒三丁、炒豆角和红烧肉。

张老师要买一种主食和一种炒菜作为中午饭，张老师可以有多少种不同的买法？

拓展提高

1.用0、1、2、3、4、5、6写出没有重复数字的四位数，可以写出多少个？

2.用0、1、2、3、4写出没有重复数字的两位数、三位数和四位数，一共可以写出多少个？

3.六一班的图书角现在有6本科技书，有8本故事书，有3本词典，小刚想借其中的一本，一共可以有多少种不同的借法？

4.有6名学生和班主任老师照相留念，分成两排，前排3人，后排4人，班主任要站在前排中间。

他们一共有多少种不同的排法？

5.有7名学生毕业前照相留念，分成两排，前排3人，后排4人，张刚说：

“我不站在后排的边上。

”。

他们一共有多少种不同的排法？

6.有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个，只选用其中的两个砝码，在天平上能称出多少种不同重量的物体？

奥赛训练

1.

一张纸上共画有10个点，其中有3个点在一条直线上，以这些点为三角形的顶点，一共可以画出多少个三角形？

2.有1分、2分、5分、1角、5角和1元的硬币各一枚，共可以组成多少种不同币值？

第十三讲巧求面积

知识提要

1、掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形这些直线形图形的特征：

2、理解和掌握正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导过程：

　　　正方形面积=边长×边长=a2，

　　长方形面积=长×宽=ab，

　　平行四边形面积=底×高=ah，

三角形面积=底×高÷2=

梯形面积=（上底＋下底）×高÷2=

经典例题

例1算出下面每个图形中阴影部分的面积.（已知大正方形边长10厘米，小正方形边长6厘米）

图二

图一

例2小两个正方形组成下图所示的组合图形。

已知大正方形的边长10厘米，小正方形的边长6厘米，求阴影部分的面积。

例3用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．

例4如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：

△AOB与△COD面积相等．

例5一个三角形的底长5米，如果底延长1米，那么面积就增加1.5平方米，（如图），那么原来三角形的面积是多少平方米?

例6如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．

例7如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积

例8如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．

基本训练

1．选择题（有且只有一个正确答案）：

（1）如下左图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有______个．

　（A）0个（B）1个

　　（C）2个（D）3个　

（2）如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个．

　　（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

　　（3）如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有______对．

　　（A）0对（B）1对

　　（C）2对（D）3对

　　（4）如上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形，那么草地与空地面积之比是______．

　　（A）1∶1（B）1∶1.1

　　（C）1∶1.2（D）1∶1.4

2．填空题：

（1）如下左图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积的______．

（2）如上右图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是______．

（3）如下左图，正方形ABCD的面积为1平方厘米，S△BEG∶S△CEG=2∶1，S△CFG∶S△DFG=1∶1，那么这四个小三角形面积之和______．

（4）如上右图，在△ABC中，EF平行BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙面积的连比是______．

拓展提高

1.如图1，在边长为6厘米的正方形内有一个三角形BEF，已知线段AE=3厘米，DF=2厘米，求阴影部分的面积是多少？

2.左下图是一块长方形草地，长方形的长是160米，宽是102米。

中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积等于多少平方米？

3.如图，梯形的下底为8厘米，高为4厘米。

阴影部分面积是多少平方厘米？

4.如图，四边形ABCD是长方形，A、D、E、F在同一条直线上。

AB＝7，BC＝5，DG＝3。

求DE的长。

5.如图，正方形ABCD与长方形AEFG重叠放在一起，已知AB=4厘米，BE=3厘米，AE=5厘米。

请你计算出长方形AEFG的面积。

6.如图，三角形ABC的面积是144平方厘米，BD＝18厘米，DC＝6厘米，AE＝10厘米，EC＝5厘米。

求三角形ADE的面积。

奥赛训练

1.如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形。

第十四讲用等量代换求面积

知识提要

一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。

前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。

这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。

经典例题

例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：

厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。

已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。

例3在下图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。

求ED的长。

例4如下图，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。

例6左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。

基本训练

1.如右图（单位：

厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，

求阴影部分的面积。

2.在右图的三角形中，D，E分别是所在边的中点，求四边形ADFE的面积。

3.下页左上图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9厘米2，求ED的长。

4.右上图中，CA=AB=4厘米，三角形ABE比三角形CDE的面积大2厘米2，求CD的长。

5.如图，平行四边形ABCD的面积是120平方厘米，BE＝3AE，BF＝2DF。

求三角形DEF的面积。

拓展提高

1.如图，ABCD是梯形，对角线AC和BD相交于O，三角形ABD的面积是12平方厘米，三角形ADB的面积比三角形COD的面积少15平方厘米。

求梯形ABCD的面积。

2.如图，四边形ABCD是边长12厘米的正方形，E、F分别是BC和CD的中点，DE和BF相交于O。

求四边形ABOD的面积。

奥赛训练

1.如图，△ABC中，AD：

DB=2：

1，BE：

EC=3：

1，CF：

FA=4：

1，那么△DEF是△ABC的面积的几分之几？

第十五讲用长方形图巧解题

知识提要

用长方形图来表示数量关系，可以使抽象的数量更加形象、具体，可以帮助我们分析解答应用题，这一讲我们就来学习画长方形图解应用题的方法。

经典例题

1、用长方形图巧计算

例1计算：

1999×2105-1993×2108

例2计算：

2、画长方形图解“平均数”问题

例3甲种糖每千克8.8元，乙种糖每千克7.2元，用5千克甲种糖与多少千克乙种糖混合后，能使混合糖每千克8.2元？

例4某校有60名学生参加区里举行的数学竞赛，平均分是63分，其中参赛的男选手平均成绩为60分，女同学平均成绩为70分，那么该校参赛的男同学比女同学多多少人？

3、画长方形图解“盈亏问题”

例5数学奥林匹克学校招收了一批新生，准备把这批新生编成几个班。

若每班55人，则还可以再招30名新生；若每班50人，则还可以再招10名新生。

请问现在招了多少名新生？

例6解放军某部赶往长江干堤支援抗洪。

计划每辆汽车乘30人，剩下3人随意搭乘在某辆车上。

但由于另有紧急任务，调走了一辆汽车，这样只好改为每辆汽车乘坐34人，剩下5人随意搭乘在各辆车上。

请问原来有多少辆汽车？

共派出多少名解放军战士去抗洪？

4、画长方形图解“鸡兔同笼”问题

例7“希望小学”100名师生参加植树活动，共植树175棵，教师每人植4棵树，学生每两人植3棵树。

参加植树的教师和学生各有多少人？

基本训练

1.计算：

1234×5678－1233×5679

2.某班级一次考试的平均分是80分，其中及格人数是不及格人数的5倍，及格同学的平均分是85分，那么不及格同学的平均分是多少？

3.在一个停车场上，现有的车辆数恰好是24，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有86个轮子，那么，三轮摩托车有多少辆？

4.有一些糖，如果每人分5块则余10块；如果现有的人数增加到原来的1.5倍，那么每人分4块则少2块。

这些糖共有多少块？

5.水果店运来橘子、苹果和梨一共80箱，共重1164千克。

每箱橘子重12千克，每箱苹果重16千克，每箱梨重14千克，已知苹果和梨的箱数相同。

运来橘子、苹果和梨各多少箱？

6.A、B两地相距650千米，某车从A第开往B地，共行了14小时。

已知在平原上每小时行55千米，在山区每小时行40千米。

汽车在平原和山区各行了几小时？

拓展提高

1.某校五年级举行英语竞赛，所有参赛同学的平均成绩是80分，已知男同学的平均成绩是77分，女同学的平均成绩是85分，已知参赛的男同学比女同学多25人，求该校五年级共有多少名学生参加了英语竞赛？

2.学校规定早晨7:

30到校，小刚从家出来时，看看剩下的时间，心里计算了一下：

若每分钟走60米，要迟到5分钟；若每分钟走90米，能提前5分钟。

他想按时到校，请你帮他计算一下，每分钟要走多少米？

3.一只螃蟹有10只脚，蜻蜓有6只脚，2对翅膀；螳螂有6只脚，1对翅膀。

现在有螃蟹、蜻蜓、螳螂共37只，合计有脚250只，翅膀32对。

求螃蟹、蜻蜓、螳螂各有多少只？

奥赛训练

1.小明每天早晨6：

50从家出发，7：

20准时到校。

老师要求他每天提早6分钟到校。

如果小明明天早晨还是6：

50从家出发，那么每分钟必须比往常多走25米，才能按老师的要求准时到校。

问：

小明家距学校多少米？