(完整版)复数的定义.doc
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第十四章复数
一、复数的概念
1.虚数单位:
规定:
(1);
(2)虚数单位,可以与实数进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法,乘法运算律仍然成立。
2.复数:
形如,的数叫做复数,叫实部,叫虚部。
3.复数集:
所有复数构成的集合,复数集.
4.分类:
时为实数;时为虚数,时为纯虚数,且.
5.两个复数相等:
且
例1下面五个命题
①比大;②复数的实部为3,虚部为;
③,为复数,,那么;④两个复数互为共轭复数,则其和为实数;⑤两个复数相等:
且.
例2已知:
求为
(1)实数;
(2)虚数;(3)纯虚数时,求的值。
例3已知,求实数的值。
二、复数的几何意义:
与点一一对应。
1.复平面:
轴叫实轴;轴叫虚轴。
轴上点为实数,轴上除原点外的点为纯虚数。
2.;连接点与原点,得到向量,点,向量,之间一一对应。
3.模:
注:
的几何意义:
令,则,由此可知表示复数的点到原点的距离就是的几何意义;的几何意义是复平面内表示复数,的两点之间的距离。
三、复数的四则运算:
1.加减法:
;
即实部与实部,虚部与虚部分别相加减
2.乘法:
即:
按多项式乘法展开,把化为后,合并同类项。
3.除法:
。
四、共轭复数:
与互为共轭复数,的共轭复数记作.
1.是实数;2.
练习
1.设的实部与虚部相等,其中为实数,则()
A.-3B.-2C.2D.3
2.若()
A.1B.-1C.D.
3.若复数满足,其中为虚数单位,则=()
A.B.C.D.
4.设,则=()
A.B.C.D.2
5.设是虚数单位,复数=()
A.B.C.-1D.1
6.已知复数,则()
A.B.C.D.
7.在复平面内,复数对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
8.若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是()
A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)
9.若复数满足,则的虚部为()
A.-4B.C.4D.
10.已知集合,为虚数单位,,则复数()
A.B.C.D.
11.设是虚数单位,则“”是“复数为纯虚数”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
12.若复数。
(其中为虚数单位)的屎部与虚部相等,则()
A.3B.6C.4D.12
13.若复数为纯虚数,则实数的值为()
A.-6B.-2C.4D.6
14.若复数满足为虚数单位),则复数=()
A.1B.2C.D.
15.已知复数,则复数在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
16.复数(其中是虚数单位),则复数的共轭复数=()
A.B.C.D.
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