离散数学课后题答案.docx
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离散数学课后题答案离散数学课后题答案1-1,1-2
(1)解:
a)是命题,真值为T。
b)不是命题。
c)是命题,真值要根据具体情况确定。
d)不是命题。
e)是命题,真值为T。
f)是命题,真值为T。
g)是命题,真值为F。
h)不是命题。
i)不是命题。
(2)解:
原子命题:
我爱北京天安门。
复合命题:
如果不是练健美操,我就出外旅游拉。
(3)解:
a)(PR)Qb)QRc)Pd)PQ(4)解:
a)设Q:
我将去参加舞会。
R:
我有时间。
P:
天下雨。
Q(RP):
我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b)设R:
我在看电视。
Q:
我在吃苹果。
RQ:
我在看电视边吃苹果。
c)设Q:
一个数是奇数。
R:
一个数不能被2除。
(QR)(RQ):
一个数是奇数,则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。
(5)解:
a)设P:
王强身体很好。
Q:
王强成绩很好。
PQb)设P:
小李看书。
Q:
小李听音乐。
PQc)设P:
气候很好。
Q:
气候很热。
PQd)设P:
a和b是偶数。
Q:
a+b是偶数。
PQe)设P:
四边形ABCD是平行四边形。
Q:
四边形ABCD的对边平行。
PQf)设P:
语法错误。
Q:
程序错误。
R:
停机。
(PQ)R(6)解:
a)P:
天气炎热。
Q:
正在下雨。
PQb)P:
天气炎热。
R:
湿度较低。
PRc)R:
天正在下雨。
S:
湿度很高。
RSd)A:
刘英上山。
B:
李进上山。
ABe)M:
老王是革新者。
N:
小李是革新者。
MNf)L:
你看电影。
M:
我看电影。
LMg)P:
我不看电视。
Q:
我不外出。
R:
我在睡觉。
PQRh)P:
控制台打字机作输入设备。
Q:
控制台打字机作输出设备。
PQ1-3
(1)解:
a)不是合式公式,没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可作为合式公式)b)是合式公式c)不是合式公式(括弧不配对)d)不是合式公式(R和S之间缺少联结词)e)是合式公式。
(2)解:
a)A是合式公式,(AB)是合式公式,(A(AB)是合式公式。
这个过程可以简记为:
A;(AB);(A(AB)同理可记b)A;A;(AB);(AB)A)c)A;A;B;(AB);(BA);(AB)(BA)d)A;B;(AB);(BA);(AB)(BA)(3)解:
a)(AC)(BC)A)(BC)A)(AC)b)(BA)(AB)。
(4)解:
a)是由c)式进行代换得到,在c)中用Q代换P,(PP)代换Q.d)是由a)式进行代换得到,在a)中用P(QP)代换Q.e)是由b)式进行代换得到,用R代换P,S代换Q,Q代换R,P代换S.(5)解:
a)P:
你没有给我写信。
R:
信在途中丢失了。
PQb)P:
张三不去。
Q:
李四不去。
R:
他就去。
(PQ)Rc)P:
我们能划船。
Q:
我们能跑步。
(PQ)d)P:
你来了。
Q:
他唱歌。
R:
你伴奏。
P(QR)(6)解:
P:
它占据空间。
Q:
它有质量。
R:
它不断变化。
S:
它是物质。
这个人起初主张:
(PQR)S后来主张:
(PQS)(SR)这个人开头主张与后来主张的不同点在于:
后来认为有PQ必同时有R,开头时没有这样的主张。
(7)解:
a)P:
上午下雨。
Q:
我去看电影。
R:
我在家里读书。
S:
我在家里看报。
(PQ)(P(RS)b)P:
我今天进城。
Q:
天下雨。
QPc)P:
你走了。
Q:
我留下。
QP1-4(4)解:
a)PQRQRP(QR)PQ(PQ)RTTTTTFTFTTFFFTTFTFFFTFFFTFFFTFFFTFFFFFFFTTFFFFFFTFFFFFFF所以,P(QR)(PQ)Rb)PQRQRP(QR)PQ(PQ)RTTTTTFTFTTFFFTTFTFFFTFFF所以,P(QR)(PQ)R)()()()所以,P(QR)(PQ)(PR))PQPQPQ(PQ)PQ(PQ)TTTFFTFFFFTTFTFTFTTTFTTTFFFTFFFT所以,(PQ)PQ,(PQ)PQ(5)解:
如表,对问好所填的地方,可得公式F1F6,可表达为PQRF1F2F3F4F5F6TTTTFTTFFTTFFFTFFFTFTTFFTTFTFFFTFTTFFTTTFFTTFFTFTFFFTFFFTTFTTTFFFFFTFTTTF1:
(QP)RF2:
(PQR)(PQR)F3:
(PQ)(QR)F4:
(PQR)(PQR)F5:
(PQR)(PQR)F6:
(PQR)(6)PQ12345678910111213141516FFFTFTFTFTFTFTFTFTFTFFTTFFTTFFTTFFTTTFFFFFTTTTFFFFTTTTTTFFFFFFFFTTTTTTTT解:
由上表可得有关公式为1.F2.(PQ)3.(QP)4.P5.(PQ)6.Q7.(PQ)8.(PQ)9.PQ10.PQ11.Q12.PQ13.P14.QP15.PQ16.T(7)证明:
a)A(BA)A(BA)A(AB)A(AB)1A(AB)b)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)或(AB)(AB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AA)(BB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AB)(AB)(AB)c)(AB)(AB)ABd)(AB)(AB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AB)e)(ABC)D)(C(ABD)(ABC)D)(C(ABD)(ABC)D)(ABC)D)(ABC)(ABC)D(ABC)(ABC)D(AB)(AB)C)D(C(AB)D)f)A(BC)A(BC)(AB)C(AB)C(AB)Cg)(AD)(BD)(AD)(BD)(AB)D(AB)D(AB)Dh)(AB)C)(B(DC)(AB)C)(B(DC)(AB)(BD)C(AB)(DB)C(AB)(DB)C(AD)B)C(B(DA)C(8)解:
a)(AB)(BA)C(AB)(BA)C(AB)(AB)CTCCb)A(A(BB)(AA)(BB)TFTc)(ABC)(ABC)(AA)(BC)T(BC)BC(9)解:
1)设C为T,A为T,B为F,则满足ACBC,但AB不成立。
2)设C为F,A为T,B为F,则满足ACBC,但AB不成立。
3)由题意知A和B的真值相同,所以A和B的真值也相同。
习题1-5
(1)证明:
a)(P(PQ)Q(P(PQ)Q(PP)(PQ)Q(PQ)Q(PQ)QPQQPTTb)P(PQ)P(PQ)(PP)QTQTc)(PQ)(QR)(PR)因为(PQ)(QR)(PR)所以(PQ)(QR)为重言式。
d)(ab)(bc)(ca)(ab)(bc)(ca)因为(ab)(bc)(ca)(ac)b)(ca)(ac)(ca)(b(ca)(ac)(bc)(ba)所以(ab)(bc)(ca)(ab)(bc)(ca)为重言式。
(2)证明:
a)(PQ)P(PQ)解法1:
设PQ为T
(1)若P为T,则Q为T,所以PQ为T,故P(PQ)为T
(2)若P为F,则Q为F,所以PQ为F,P(PQ)为T命题得证解法2:
设P(PQ)为F,则P为T,(PQ)为F,故必有P为T,Q为F,所以PQ为F。
解法3:
(PQ)(P(PQ)(PQ)(P(PQ)(PQ)(PP)(PQ)T所以(PQ)P(PQ)b)(PQ)QPQ设PQ为F,则P为F,且Q为F,故PQ为T,(PQ)Q为F,所以(PQ)QPQ。
c)(Q(PP)(R(R(PP)RQ设RQ为F,则R为T,且Q为F,又PP为F所以Q(PP)为T,R(PP)为F所以R(R(PP)为F,所以(Q(PP)(R(R(PP)为F即(Q(PP)(R(R(PP)RQ成立。
(3)解:
a)PQ表示命题“如果8是偶数,那么糖果是甜的”。
b)a)的逆换式QP表示命题“如果糖果是甜的,那么8是偶数”。
c)a)的反换式PQ表示命题“如果8不是偶数,那么糖果不是甜的”。
d)a)的逆反式QP表示命题“如果糖果不是甜的,那么8不是偶数”。
(4)解:
a)如果天下雨,我不去。
设P:
天下雨。
Q:
我不去。
PQ逆换式QP表示命题:
如果我不去,则天下雨。
逆反式QP表示命题:
如果我去,则天不下雨b)仅当你走我将留下。
设S:
你走了。
R:
我将留下。
RS逆换式SR表示命题:
如果你走了则我将留下。
逆反式SR表示命题:
如果你不走,则我不留下。
c)如果我不能获得更多帮助,我不能完成个任务。
设E:
我不能获得更多帮助。
H:
我不能完成这个任务。
EH逆换式HE表示命题:
我不能完成这个任务,则我不能获得更多帮助。
逆反式HE表示命题:
我完成这个任务,则我能获得更多帮助(5)试证明PQ,Q逻辑蕴含P。
证明:
解法1:
本题要求证明(PQ)QP,设(PQ)Q为T,则(PQ)为T,Q为T,故由的定义,必有P为T。
所以(PQ)QP解法2:
由体题可知,即证(PQ)Q)P是永真式。
(PQ)Q)P(PQ)(PQ)Q)P(PQ)(PQ)Q)P(PQ)(PQ)Q)P(QPQ)(QPQ)P(QP)T)PQPPQTT(6)解:
P:
我学习Q:
我数学不及格R:
我热衷于玩扑克。
如果我学习,那么我数学不会不及格:
PQ如果我不热衷于玩扑克,那么我将学习:
RP但我数学不及格:
Q因此我热衷于玩扑克。
R即本题符号化为:
(PQ)(RP)QR证:
证法1:
(PQ)(RP)Q)R(PQ)(RP)Q)R(PQ)(RP)QR(QP)(QQ)(RR)(RP)QPRPT所以,论证有效。
证法2:
设(PQ)(RP)Q为T,则因Q为T,(PQ)为T,可得P为F,由(RP)为T,得到R为T。
故本题论证有效。
(7)解:
P:
6是偶数Q:
7被2除尽R:
5是素数如果6是偶数,则7被2除不尽PQ或5不是素数,或7被2除尽RQ5是素数R所以6是奇数P即本题符号化为:
(PQ)(RQ)RP证:
证法1:
(PQ)(RQ)R)P(PQ)(RQ)R)P(PQ)(RQ)R)P(PP)(PQ)(RR)(RQ)(PQ)(RQ)T所以,论证有效,但实际上他不符合实际意义。
证法2:
(PQ)(RQ)R为T,则有R为T,且RQ为T,故Q为T,再由PQ为T,得到P为T。
(8)证明:
a)P(PQ)设P为T,则P为F,故PQ为Tb)ABCC假定ABC为T,则C为T。
c)CABB因为ABB为永真,所以CABB成立。
d)(AB)AB设(AB)为T,则AB为F。
若A为T,B为F,则A为F,B为T,故AB为T。
若A为F,B为T,则A为T,B为F,故AB为T。
若A为F,B为F,则A为T,B为T,故AB为T。
命题得证。
e)A(BC),DE,(DE)ABC设A(BC),DE,(DE)A为T,则DE为T,(DE)A为T,所以A为T又A(BC)为T,所以BC为T。
命题得证。
f)(AB)C,D,CDAB设(AB)C,D,CD为T,则D为T,CD为T,所以C为F又(AB)C为T,所以AB为F,所以AB为T。
命题得证。
(9)解:
a)如果他有勇气,他将得胜。
P:
他有勇气Q:
他将得胜原命题:
PQ逆反式:
QP表示:
如果他失败了,说明他没勇气。
b)仅当他不累他将得胜。
P:
他不累Q:
他得胜原命题:
QP逆反式:
PQ表示:
如果他累,他将失败。
习题1-6
(1)解:
a)(PQ)P(PP)Q(TQ)b)(P(QR)PQ(P(QR)PQ(PPQ)(QPQ)(RPQ)(PQ)(PQ)(PRQ)PQ(PQ)c)PQ(RP)PQ(RP)(PQR)(PQP)(PQR)FPQR(PQR)
(2)解:
a)PPPb)PQ(PQ)(PQ)(PQ)c)PQPQ(PP)(QQ)(3)解:
P(PQ)P(PQ)TPP(PP)(PP)P(PP)P(PQ)P(PQ)TPP(PP)(PP)P)(PP)P)(PP)P)(4)解:
PQ(PQ)(PP)(QQ)(PP)(QQ)(PP)(QQ)(5)证明:
(BC)(BC)BC(BC)(BC)BC(6)解:
联结词“”和“”不满足结合律。
举例如下:
a)给出一组指派:
P为T,Q为F,R为F,则(PQ)R为T,P(QR)为F故(PQ)RP(QR).b)给出一组指派:
P为T,Q为F,R为F,则(PQ)R为T,P(QR)为F故(PQ)RP(QR).(7)证明:
设变元P,Q,用连结词,作用于P,Q得到:
P,Q,P,Q,PQ,PP,QQ,QP。
但PQQP,PPQQ,故实际有:
P,Q,P,Q,PQ,PP(T)(A)用作用于(A)类,得到扩大的公式类(包括原公式类):
P,Q,P,Q,(PQ),T,F,PQ(B)用作用于(A)类,得到:
PQ,PPF,PQ(PQ),P(PQ)Q,P(PP)P,QP(PQ),QQF,Q(PQ)P,QTQ,PQPQ,P(PQ)Q,PTP,Q(PQ)P,QTQ,(PQ)(PQ)PQ.因此,(A)类使用运算后,仍在(B)类中。
对(B)类使用运算得:
P,Q,P,Q,PQ,F,T,(PQ),仍在(B)类中。
对(B)类使用运算得:
PQ,PPF,PQ(PQ),P(PQ)Q,PTP,PFP,P(PQ)Q,QP(PQ),QQF,Q(PQ)P,QTQ,QFQ,Q(PQ)P,PQPQ,P(PQ)Q,PTP,PFP,P(PQ)Q,Q(PQ)P,QTQ,QTQ,Q(PQ)P,(PQ)T(PQ),(PQ)FPQ,(PQ)(PQ)FTFF,T(PQ)PQF(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)PQ.故由(B)类使用运算后,结果仍在(B)中。
由上证明:
用,两个连结词,反复作用在两个变元的公式中,结果只能产生(B)类中的公式,总共仅八个不同的公式,故,不是功能完备的,更不能是最小联结词组。
已证,不是最小联结词组,又因为PQ(PQ),故任何命题公式中的联结词,如仅用,表达,则必可用,表达,其逆亦真。
故,也必不是最小联结词组。
(8)证明,和不是最小联结词组。
证明:
若,和是最小联结词,则P(PP)P(PP)PP(P(P)对所有命题变元指派T,则等价式左边为F,右边为T,与等价表达式矛盾。
所以,和不是最小联结词。
(9)证明,和,是最小联结词组。
证明:
因为,为最小联结词组,且PQPQ所以,是功能完备的联结词组,又,都不是功能完备的联结词组。
所以,是最小联结词组。
又因为PQ(PQ),所以,是功能完备的联结词组,又,不是功能完备的联结词组,所以,是最小联结词组。
习题1-7
(1)解:
P(PQ)P(PQ)(PP)(PQ)P(PQ)(P(QQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)
(2)解:
a)(PQ)R(PQ)RPQR(PQ)(PQ)(QR)(QR)(RP)(RP)b)P(QR)S)P(QR)S)PQRS(PQ)(PQ)(QR)(QR)(RS)(RS)(SP)(SP)c)(PQ)(ST)(PQ)(ST)(PQS)(PQT)d)(PQ)R(PQ)R(PQ)R(PR)(QR)e)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PP)(PQ)(QP)(QQ)(PQ)(QP)(3)解:
a)P(PQR)(PP)(PQ)(PR)(PQ)(PR)b)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PPQ)(QPQ)c)(PQ)(PQ)PQ(PQ)(PQ)(QP)d)(PQ)R(PQ)R(PQ)R(PR)(QR)e)(PQ)(PQ)(PP)(PQ)(QP)(QQ)(PQ)(QP)(4)解:
a)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)1,2,3PQ=0b)Q(PQ)(PQ)(QQ)PQ=30,1,2(PQ)(PQ)(PQ)c)P(P(Q(QR)P(P(Q(QR)PQR=01,2,3,4,5,6,7=(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)d)(P(QR)(P(QR)(P(QR)(P(QR)(PP)(P(QR)(QR)P)(QR)(QR)(PQR)(PQR)=0,71,2,3,4,5,6(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)e)P(P(QP)P(P(QP)(PP)(PQP)T(TQ)T0,1,2,3=(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)f)(QP)(PQ)(QP)PQ(QP)(PQ)F0,1,2,3=(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(5)证明:
a)(AB)(AC)(AB)(AC)A(BC)A(BC)(AB)(AC)b)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)(AB)A(BB)ATA(AB)(BA)(AB)(BA)A(BB)AFAc)AB(AB)(AA)(AB)BABBFAB(AB)(AA)(AB)BABBFd)A(A(AB)AA(AB)TAB(AB)(AB)(AB)T(6)解:
AR(Q(RP),则A*R(Q(RP)AR(Q(RP)(R(Q(RP)RQ(RP)(RQ)(RP)A*R(Q(RP)(R(Q(RP)RQ(RP)(RQ)(RP)(7)解:
设A:
A去出差。
B:
B去出差。
C:
C去出差。
D:
D去出差。
若A去则C和D中要去一个。
A(CD)B和C不能都去。
(BC)C去则D要留下。
CD按题意应有:
A(CD),(BC),CD必须同时成立。
因为CD(CD)(DC)故(A(CD)(BC)(CD)(A(CD)(DC)(BC)(CD)(A(CD)(DC)(BC)(CD)(A(CD)(DC)(BC)(BD)(CD)C)(ABC)(ABD)(ACD)(AC)(BCD)(CDBD)(CDCD)(CDC)(DCBC)(DCBD)(DCCD)(DCC)在上述的析取范式中,有些(画线的)不符合题意,舍弃,得(AC)(BCD)(CD)(DCB)故分派的方法为:
BD,或DA,或CA。
(8)解:
设P:
A是第一。
Q:
B是第二。
R:
C是第二。
S:
D是第四。
E:
A是第二。
由题意得(PQ)(RS)(ES)(PQ)(PQ)(RS)(RS)(ES)(ES)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(PQRS)(ES)(ES)因为(PQRS)与(PQRS)不合题意,所以原式可化为(PQRS)(PQRS)(ES)(ES)(PQRSES)(PQRSES)(PQRSES)(PQRSES)(PQRSE)(PQRSE)因R与E矛盾,故PQRSE为真,即A不是第一,B是第二,C不是第二,D为第四,A不是第二。
于是得:
A是第三B是第二C是第一D是第四。
习题1-8
(1)证明:
a)(PQ),QR,RP
(1)RP
(2)QRP(3)Q
(1)
(2)T,I(4)(PQ)P(5)PQ(4)T,E(6)P(3)(5)T,Ib)J(MN),(HG)J,HGMN
(1)(HG)JP
(2)(HG)P(3)J
(1)
(2)T,I(4)J(MN)P(5)MN(3)(4)T,Ic)BC,(BC)(HG)GH
(1)BCP
(2)B
(1)T,I(3)C
(1)T,I(4)BC
(2)T,I(5)CB(3)T,I(6)CB(4)T,E(7)BC(5)T,E(8)BC(6)(7)T,E(9)(BC)(HG)P(10)HG(8)(9)T,Id)PQ,(QR)R,(PS)S
(1)(QR)R
(2)QR
(1)T,I(3)R
(1)T,I(4)Q
(2)(3)T,I(5)PQP(6)P(4)(5)T,I(7)(PS)P(8)PS(7)T,E(9)S(6)(8)T,I
(2)证明:
a)AB,CBAC
(1)(AC)P
(2)A
(1)T,I(3)C
(1)T,I(4)ABP(5)B
(2)(4)T,I(6)CBP(7)B(3)(6)T,I(8)BB矛盾。
(5),(7)b)A(BC),(CD)E,F(DE)A(BF)
(1)(A(BF)P
(2)A
(1)T,I(3)(BF)
(1)T,I(4)B(3)T,I(5)F(3)T,(6)A(BC)P(7)BC
(2)(6)T,I(8)C(4)(7)T,I(9)F(DE)P(10)DE(5)(9)T,I(11)D(10)T,I(12)CD(8)(11)T,I(13)(CD)EP(14)E(12)(13)T,I(15)E(10)T,I(16)EE矛盾。
(14),(15)c)ABCD,DEFAF
(1)(AF)P
(2)A
(1)T,I(3)F
(1)T,I(4)AB
(2)T,I(5)(AB)CDP(6)CD(4)(5)T,I(7)C(6)T,I(8)D(6)T,I(9)DE(8)T,I(10)DEFP(11)F(9)(10)T,I(12)FF矛盾。
(3),(11)d)A(BC),BD,(EF)D,B(AE)BE
(1)(BE)P
(2)B
(1)T,I(3)E
(1)T,I(4)BDP(5)D
(2)(4)T,I(6)(EF)DP(7)(EF)(5)(6)T,I(8)E(7)T,I(9)EE矛盾e)(AB)(CD),(BE)(DF),(EF),ACA
(1)(AB)(CD)P
(2)AB
(1)T,I(3)(BE)(DF)P(4)BE(3)T,I(5)AE
(2)(4)T,I(6)(EF)P(7)EF(6)T,E(8)EF(7)T,E(9)AF(5)(8)T,I(10)CD
(1)T,I(11)DF(3)T,I(12)CF(10)(10)T,I(13)ACP(14)AF(13)(12)T,I(15)FA(14)T,E(16)AA(9)(15)T,I(17)AA(16)T,E(18)A(17)T,E(3)证明:
a)AB,CBAC
(1)AP
(2)ABP(3)B
(1)
(2)T,I(4)CBP(5)C(3)(4)T,I(6)ACCPb)A(BC),(CD)E,F(DE)A(BF)
(1)AP
(2)A(BC)P(3)BC
(1)
(2)T,I(4)BP(5)C(3)(4)T,I(6)(CD)EP(7)C(DE)(6)T,E(8)DE(5)(7)T,I(9)DE(8)T,E(10)(DE)(9)T,E(11)F(DE)P(12)F(10)(11)T,I(13)BFCP(14)A(BF)CPc)ABCD,DEFAF
(1)AP
(2)AB
(1)T,I(3)ABCDP(4)CD
(2)(3)T,I(5)D(4)T,I(6)DE(5)T,I(7)DEFP(8)F(6)(7)T,I(9)AFCPd)A(BC),BD,(EF)D,B(AE)BE
(1)BP(附加前提)
(2)BDP(3)D
(1)
(2)T,I(4)(EF)DP(5)(EF)(3)(4)T,I(6)E(5)T,I(7)BECP(4)证明:
a)RQ,RS,SQ,PQP
(1)RQP
(2)RSP(3)SQP(4)Q
(1)
(2)(3)T,I(5)PQP(6)P(4)(5)T,Ib)SQ,SR,R,PQP
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