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习题五
1.设个体域D={a,b,c},在D中消去公式的量词。
甲乙用了不同的演算过程:
甲的演算过程如下:
乙的演算过程如下:
显然,乙的演算过程简单,试指出乙在演算过程中的关键步骤。
解:
乙在演算中的关键步骤是,在演算开始就利用量词辖域收缩与扩张等值式,将量词的辖域缩小,因而演算简单。
2.设个体域D={a,b,c},消去下列各式的量词:
解:
(1)
(2)
(3)
(4)
在
(1)
(2)(4)中均将量词的辖域缩小,所以演算结果都比较简单
3.设个体域D={1,2},请给出两种不同的解释和,使得下面公式在下都是真命题,而在下都是假命题。
(1)
(2)
解:
解释I1为:
个体为实数集合R,F(x):
x为自然数,G(x):
x为整数。
在I1下,
(1)为自然数都是整数,
(2)为存在整数为自然数。
他们都是真命题
解释I2为:
个体域仍为实数集R,F(x):
x是无理数,G(x):
x能表示成分数,在I2下,
(1)为无理数都能表示成分数,
(2)为存在能表示成分数的无理数,他们都是假命题
4.给定公式
(1)在解释中,个体域={a},证明公式A在下的真值为1.
(2)在解释中,个体域={},,A在下的真值还一定是1吗?
为什么?
解:
(1)在I1下,
(2)在I2下
为可满足式,设F(x):
x为奇数,,此时,蕴涵式前件为真,后件为假,故蕴含式为假,若令F(x);x为整数,则蕴含式前后件均为真,所以
(2)中公式在I2下为可满足式
5.给定解释如下:
(a)个体域D={3,4};
(b)为
(c)为
试求下列公式在下的真值。
解:
(1)
(2)
(3)
6.甲使用量词辖域收缩与扩张等值式进行如下演算
乙说甲错了,乙说的对吗?
为什么?
解:
乙说的对,甲错了,全称量词的指导变元x,辖域为,其中F(x)与G(x,y)都是x的约束变元,因而不能讲量词的辖域变小
7.请指出下面等值运算的两处错误
解:
演算的第一步,应用量词辖域收缩与扩张算值式时丢掉了否定连接词,演算的第二步,在原错的基础上又用错了等值式
和不等值
8.在一阶逻辑中将下列命题符号化,要求用两种不同的等值形式
(1)没有小于负数的正数
(2)相等的两个角未必都是对顶角
解:
(1)其中F(x):
x小于负数,G(x):
x是正数
(2)其中F(x):
x是角,H(x,y):
x=y,L(x,y):
x和y是对顶角
9.设个体域D为实数集合,命题“有的实数既是有理数又是无理数”,这显然是个假命题。
可是某人却说这是真命题,其理由如下
设F(x):
x是有理数,G(x):
x是无理数。
都是真命题,于是,
由于是真命题,故也是真命题,即有的实数是有理数,也是无理数这个人的结论对吗?
为什么?
解:
存在量词对无分配律
10.在求前束范式时有人说已是前束范式,理由是量词已在公式的前面,他说的对吗?
为什么?
解:
在前束范式中,否定联结词不能在量词前面出现
11.有人说无法求公式
的前束范式,因为公式中的两个量词的指导变元相同。
他的理由对吗?
为什么?
换名规则可以使两个指导变元不相同
12.求下列各式的前束范式:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
解:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
13.将下列命题符号化,要求符号化的公式权威前束范式:
(1)有点火车比有的汽车跑的快
(2)有的火车比所有的汽车跑的快
(3)说有的火车比所有汽车跑得快是不对的
(4)说有的飞机比有的汽车慢也是不对的
解:
(1)其中F(x):
x是汽车G(y):
y是火车H(x,y):
x比y跑得快
(2)其中F(x):
x是火车G(y):
y是汽车H(x,y):
x比y跑得快
(3)其中F(x):
x是火车G(y):
y是汽车H(x,y):
x比y跑得快
(4)其中F(x):
x是飞机G(y):
y是汽车H(x,y):
x比y跑得慢
14.在自然推理系统F中,指出下面各证明序列中的错误:
(1)①前提引入
②①EI规则
(2)①前提引入
②①EI规则
(3)①前提引入
②①EG规则
(4)①前提引入
②①EG规则
(5)①前提引入
②①UG规则
解:
(1)对不能使用EI规则,它不是前束范式,首先化成前束范式,因为量词辖域中,除了x还有自由出现的y所以不能用EI规则
(2)对也应该先化成前束范式才能消去量词,其前束范式为,要消去量词,既要用UI规则,又要用EI规则
(3)这里A(y)=F(y)G(y)满足要求
(4)这里,使F(a)为真的a不一定使G(a)为真,同样的,使G(b)为真的b不一定使F(b)为真
(5)这里,c为个体常项,不能对F(c)G(c)引入全称量词
15.在自然推理系统F中,构造下面推理的证明:
(1)前提:
结论:
(2)前提:
结论:
(3)前提:
结论:
(4)前提:
结论:
(1)证明:
1前提引入
2前提引入
312假言推理
41EI
53UI
64附加
756假言推理
87EG
(2)证明:
1前提引入
2前提引入
31EI
42UI
534假言推理
65化简
736合取
87EG
(3)证明:
1前提引入
21置换
32UI
4前提引入
54UI
635析取三段论
76EG
(4)证明:
1前提引入
21UI
3前提引入
43UI
5前提引入
65UI
746析取三段论
827析取三段论
9UG
16.找一个解释I,在I下,使得为真,而使得为假,从而说明。
解:
取个体域为自然数集合N,F(x):
x为奇数,G(x):
x为偶数。
显然在以上解释下为真而为假。
17.给定推理如下:
前提:
结论:
。
有些人给出的证明如下:
证明:
附加前提引入
UI
前提引入
UI
假言推理
前提引入
UI
拒取式
UG
并且说,由附加前提证明法可知,推理正确,请指出以上证明的错误。
解:
根据16题可知两公式并不等价。
18.给出上题(17)推理的正确证明(注意,不能使用附加前提证明法)。
证明:
1前提引入
2前提引入
31UI
42UI
53置换
645假言三段论
76UG
19.在自然推理系统F中,构造下列推理的证明:
前提:
结论:
证明:
1前提引入
2换名规则
3化简
43EI
20.在自然推理系统F中,构造下列推理的证明(可以使用附加前提证明法):
(1)前提:
结论:
(2)前提:
结论:
证明:
(1).1附加前提引入
21UI
3前提引入
43UI
523假言推理
6
(2)1附加前提引入
2置换原则
32EI
4前提引入
5UI
635析取三段论
7EG
21.在自然推理系统中,构造下面推理的证明:
没有白色的乌鸦,北京鸭都是白色的。
因此,北京鸭都不是乌鸦。
设F(x):
x是乌鸦,G(x):
x是北京鸭,H(x):
x是白色的。
前提
结论
证明:
1前提引入
2置换原则
3置换原则
4
54UI
6前提引入
75UI
857假言三段论
98UG
22.在自然推理系统F中,构造下面推理的证明:
(1)偶数都能被2整除。
6是偶数。
所以6能被2整除。
(2)凡大学生都是勤奋的。
王晓山不勤奋,所以王晓山不是大学生。
(1)设F(x):
x为偶数,G(x):
x能被2整除
前提
结论G(6)
证明:
1前提引入
21UI
3前提引入
423假言推理
(2)设F(x):
x是大学生,G(x):
x是勤奋的,a王晓山
前提,
结论
证明:
1前提引入
21UI
3前提引入
423据取式
23.在自然推理系统F中,证明下面推理:
(1)每个有理数都是实数。
有的有理数是整数。
因此,有的实数是整数9
(2)有理数,无理数都是实数。
虚数不是实数。
因此,虚数既不是有理数也不是无理数。
(1)设F(x):
x是有理数,G(x):
x实数,H(x):
x是整数
前提,
结论
(2)设F(x):
x是有理数,G(x):
x是无理数,H(x):
x是实数,I(x):
x是虚数
前提
结论
证明:
1前提引入
21UI
3前提引入
43UI
5置换
625假言三段论
7UG
24.在自然推理系统F中,构造下面推理的证明:
每个喜欢不行的人都不喜欢骑自行车。
每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车。
有的人不喜欢乘汽车,所以有的人不喜欢步行。
(个体域为人类集合)
设F(x):
x喜欢步行,G(x):
x喜欢骑自行车,H(x):
x喜欢乘汽车
前提,
结论
证明:
1前提引入
21UI
3前提引入
43UI
524析取三段论
6前提引入
76UI
857拒取式
98UG
25.在自然推理系统F中,构造下列推理的证明(个体域为人类集合):
每个科学工作者都是刻苦钻研的,每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。
王大海是科学工作者,并且是聪明的,所以王大海在他的事业中将获得成功。
设F(x):
x是科学工作者,G(x):
x是刻苦钻研的,H(x):
x是聪明的,I(x):
x在事业中获得成功
前提,,a:
王大海,F(a),H(a)
结论I(a)
证明:
1前提引入
2前提引入
32UI
413假言推论
5前提引入
6前提引入
76UI
845合取
978假言推论
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