高中数学第一章常用逻辑用语122非否定学案新人教B版选修21.docx
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高中数学第一章常用逻辑用语122非否定学案新人教B版选修21
1.2.2 “非”(否定)
1.能说出“非”的意义.(重点)
2.能够判断“非p”的真假.(难点)
3.会用逻辑联结词“非”联结并改写成某些数学命题,会判断命题的
真假.(易错点)
[基础·初探]
教材整理 “非”
阅读教材P14~P16内容,完成下列问题.
1.概念
一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作綈p,读作“非p”或“p的否定”.
由“非”的含义,可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集∁UA={x∈U|綈(x∈A)}={x∈U|x∉A}.
2.p与綈p真值表
p
綈p
真
假
假
真
3.存在性命题的否定
存在性命题p:
∃x∈A,p(x),
它的否定是綈p:
∀x∈A,綈p(x).
存在性命题的否定是全称命题.
4.全称命题的否定
全称命题q:
∀x∈A,q(x),
它的否定是綈q:
∃x∈A,綈q(x).
全称命题的否定是存在性命题.
5.开句
含有变量的语句,通常称为开句或条件命题.
1.命题:
对任意x∈R,x3-x2+1≤0的否定是( )
A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0
B.存在x∈R,x3-x2+1≥0
C.存在x∈R,x3-x2+1>0
D.对任意x∈R,x3-x2+1>0
【解析】 全称命题的否定为存在性命题.
【答案】 C
2.对下列命题的否定说法错误的是( )
A.p:
能被2整除的数是偶数;綈p:
存在一个能被2整除的数不是偶数
B.p:
有些矩形是正方形;綈p:
所有的矩形都不是正方形
C.p:
有的三角形为正三角形;綈p:
所有的三角形不都是正三角形
D.p:
∃x∈R,x2+x+2≤0;綈p:
∀x∈R,x2+x+2>0
【解析】 “有的三角形为正三角形”的否定为“所有的三角形都不是正三角形”,故选C.
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
________________________________________________________
解惑:
________________________________________________________
疑问2:
________________________________________________________
解惑:
________________________________________________________
疑问3:
________________________________________________________
解惑:
________________________________________________________
[小组合作型]
命题的否定
写出下列命题的否定,并判断真假.
(1)若x,y是奇数,则x+y是偶数;
(2)若xy=0,则x=0或y=0;
(3)若一个数是质数,则这个数一定是奇数;
(4)若两个角是对顶角,则这两个角相等.
【精彩点拨】 明确命题的条件和结论→对命题的结论进行否定→
判断真假
【自主解答】
(1)若x,y是奇数,则x+y不是偶数,假命题.
(2)若xy=0,则x≠0且y≠0,假命题.
(3)若一个数是质数,则这个数不一定是奇数,真命题.
(4)若两个角是对顶角,则这两个角不相等,假命题.
1.一些常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系要熟悉,总结如下:
正面
词语
等于
(=)
大于
(>)
小于
(<)
有
是
都是
全是
否定
词语
不等于
(≠)
不大于
(≤)
不小于
(≥)
无
不是
不都是
不全是
正面
词语
任意的
任意
两个
至少
有一个
至多
有一个
所有的
至多
有n个
或
否定
词语
某个
某两个
一个也
没有
至少有
两个
某些
至少有
n+1个
且
2.当命题p真假不易判断时,可以转化为去判断命题綈p的真假,当命题綈p为真时,命题p为假,当命题綈p为假时,命题p为真.
[再练一题]
1.写出下列命题的否定,并判断真假.
(1)p:
y=sinx是周期函数;
(2)p:
3<2;
(3)p:
空集是集合A的子集;
(4)一元二次方程至多有两个解.
【导学号:
15460009】
【解】
(1)綈p:
y=sinx不是周期函数.命题p是真命题,綈p是假命题;
(2)綈p:
3≥2.命题p是假命题,綈p是真命题;
(3)綈p:
空集不是集合A的子集,命题p是真命题,綈p是假命题.
(4)綈p:
一元二次方程至少有三个解,命题p是真命题,綈p是假命题.
全称命题的否定
判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定.
(1)三角形的内角和为180°;
(2)每个二次函数的图象都开口向下;
(3)任何一个平行四边形的对边都平行;
(4)负数的平方是正数.
【精彩点拨】 先判断命题的真假,再写出命题的否定.
【自主解答】
(1)结合三角形内角和定理可知命题为真命题.
命题的否定:
存在一个三角形且它的内角和不等于180°.
(2)二次函数的图象开口可上可下,所以本命题为假命题.
命题的否定:
存在一个二次函数的图象不开口向下.
(3)结合平行四边形的定义可知为真命题.
命题的否定:
存在一个平行四边形的对边不平行.
(4)本命题为真命题.
命题的否定:
某个负数的平方不是正数.
1.否定全称命题时,首先把全称量词改为存在量词,再对性质q(x)进行否定.
2.有的全称命题省略了全称量词,否定时要先理解其含义,再进行否定.如本例
(1)应理解为“每个三角形的内角和都为180°”.
[再练一题]
2.写出下列命题的否定,并判断其真假.
(1)任何一个素数是奇数;
(2)所有的矩形都是平行四边形;
(3)∀a,b∈R,a2+b2>0;
(4)被5整除的整数,末位数字是0.
【解】
(1)其否定为:
存在一个素数不是奇数,因为2是素数,而不是奇数,所以其否定是真命题.
(2)其否定为:
存在一个矩形不是平行四边形,假命题.
(3)其否定为:
∃a,b∈R,a2+b2≤0,真命题.
(4)其否定为:
存在被5整除的整数,末位数字不是0,因为15能被5整除,其末位数字为5,
因此其否定是真命题.
存在性命题的否定
写出下列存在性命题的否定,并判断其否定的真假.
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3)∃x∈R,x2+1<0;
(4)∃x,y∈Z,使得
x+y=3.
【精彩点拨】 写命题的否定时注意更换量词并否定结论.
【自主解答】
(1)命题的否定是:
“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也即“所有实数的绝对值都不是正数”.为假命题.
(2)命题的否定是:
“没有一个平行四边形是菱形”,也即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题.
(3)命题的否定是:
“∀x∈R,x2+1≥0”.由于x2+1≥1≥0,因此命题的否定是真命题.
(4)命题的否定是:
“∀x,y∈Z,
x+y≠3”.
∵当x=0,y=3时,
x+y=3,
因此命题的否定是假命题.
1.存在性命题的否定为全称命题,即命题“∃x∈M,p(x)”的否定为“∀x∈M,綈p(x)”.
2.只有“存在”一词是量词时,它的否定才是“任意”,当“存在”一词不是量词时,它的否定是“不存在”.例如:
三角形存在外接圆.这个命题是全称命题,量词“所有的”被省略了,所以,这个命题的否定是:
有些三角形不存在外接圆.
[再练一题]
3.写出下列存在性命题的否定,并判断其真假.
(1)p:
∃x>1,使x2-2x-3=0;
(2)p:
若an=-2n+10,则∃n∈N+,Sn<0;
(3)p:
∃x∈R,x>2;
(4)p:
∃x∈R,x2<0.
【解】
(1)綈p:
∀x>1,使x2-2x-3≠0,假命题.
(2)綈p:
若an=-2n+10,则∀n∈N+,Sn≥0,假命题.
(3)綈p:
∀x∈R,x≤2,假命题.
(4)綈p:
∀x∈R,x2≥0,真命题.
[探究共研型]
存在性命题,全称命题的综合应用
探究 我们学习过逻辑联结词“非”.对给定的命题p,如何得到命题p的否定(或綈p),它们的真假性之间有何联系?
【提示】 对命题p加以否定,可得到命题綈p,命题p和綈p的真假性相反.
已知函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使得f(c)>0.求实数p的取值范围.
【精彩点拨】 利用命题的否定求解.
【自主解答】 在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使得f(c)>0的否定是在[-1,1]上的所有实数x,都有f(x)≤0恒成立.又由二次函数的图象特征可知,
即
即
∴p≥
或p≤-3.
故p的取值范围是-3
.
通常对于含有“至多”“至少”的命题,应采用逆向思维的方法处理,先考虑命题的否定,求出相应的集合,再求集合的补集,可避免繁杂的运算.
[再练一题]
4.命题“对任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是____________.
【解析】 命题为全称命题,其否定为存在性命题,“>”的否定为“≤”,
所以应为存在x∈R,|x-2|+|x-4|≤3.
【答案】 存在x∈R,|x-2|+|x-4|≤3
[构建·体系]
1.命题p:
“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则“綈p”形式的命题是( )
A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根
B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根
C.对任意的实数m,使方程x2+mx+1=0无实根
D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实根
【解析】 命题p为存在性命题,綈p应为全称命题.
【答案】 C
2.已知命题p:
1∈{x|(x+2)(x-3)<0},命题q:
∅={0},下列判断正确的是( )
【导学号:
15460010】
A.p假q真 B.“p∨q”为真
C.“p∧q”为真D.綈p为真
【解析】 (x+2)(x-3)<0⇔-2 ∴p为真,而q为假,则p∨q为真. 【答案】 B 3.命题: 方程x2=4的解是x=2或x=-2的否定是________. 【解析】 方程x2=4的解是x=2或x=-2,则它的否定: 方程x2=4的解不是2也不是-2. 【答案】 方程x2=4的解不是2也不是-2 4.已知p(x): x2+2x-m>0,如果p (1)是假命题,p (2)是真命题,则实数m的取值范围是________. 【解析】 ∵p (1)是假命题,p (2)是真命题. ∴ ∴3≤m<8. 【答案】 [3,8) 5.分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假: (1)p: 点P(1,1)在直线2x+y-1=0上,q: 直线y=x过圆x2+y2=4的圆心; (2)p: 4∈{2,3,4},q: 不等式x2-x-2>0的解集为{x|-2<x<1}; (3)p: 若a>b,则2a>2b,q: 若a>b,则a3>b3. 【解】 (1)∵p是假命题,q是真命题, ∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为真命题. (2)∵p是真命题,q是假命题, ∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为假命题. (3)∵p是真命题,q是真命题, ∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,綈p为假命题. 我还有这些不足: (1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案: (1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 学业分层测评 (建议用时: 45分钟) [学业达标] 一、选择题 1.给出下列命题: ①2014年2月14日是中国传统节日元宵节,同时也是西方的情人节;②10的倍数一定是5的倍数;③梯形不是矩形;④方程x2=1的解是x=±1.其中使用逻辑联结词的命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】 ①中使用逻辑联结词“且”;②中没有使用逻辑联结词;③中使用逻辑联结词“非”;④中使用逻辑联结词“或”.命题①③④使用逻辑联结词,共有3个,故选C. 【答案】 C 2.命题“ab≠0”是指( ) A.a≠0且b≠0 B.a≠0或b≠0 C.a,b中至少有一个不为0 D.a,b不都为0 【解析】 只有a≠0且b≠0时,才有ab≠0. 【答案】 A 3.已知命题p: 3≥3,q: 3>4,则下列判断正确的是( ) A.p∨q为真,p∧q为真,綈p为假 B.p∨q为真,p∧q为假,綈p为真 C.p∨q为假,p∧q为假,綈p为假 D.p∨q为真,p∧q为假,綈p为假 【解析】 ∵p为真命题,q为假命题,∴p∨q为真,p∧q为假,綈p为假,应选D. 【答案】 D 4.已知p: |x-1|≥2,q: x∈Z,若p∧q,綈q同时为假命题,则满足条件的x的集合为( ) A.{x|x≤-1或x≥3,x∉Z} B.{x|-1≤x≤3,x∉Z} C.{x|x<-1或x∈Z} D.{x|-1<x<3,x∈Z} 【解析】 p: x≥3或x≤-1,q: x∈Z,由p∧q,綈q同时为假命题知,p假q真,∴x满足-1<x<3且x∈Z,故满足条件的集合为{x|-1<x<3,x∈Z}. 【答案】 D 5.命题p: x=π是y=|sinx|的对称轴,命题q: 2π是y=|sinx|的最小正周期.下列命题中,是真命题的个数为( ) ①p∨q;②p∧q;③綈p;④綈q. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】 p为真,q为假,故“p∨q”为真,“綈q”为真,①④正确. 【答案】 C 二、填空题 6.若命题p: 函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,若綈p是假命题,则a的取值范围是________. 【导学号: 15460011】 【解析】 因为綈p为假命题,所以p为真命题.故-(a-1)≥4,所以a≤-3,即所求a的取值范围是(-∞,-3]. 【答案】 (-∞,-3] 7.分别用“p或q”,“p且q”,“非p”填空: (1)命题“非空集A∩B中的元素既是A中的元素,也是B中的元素”是________的形式; (2)命题“非空集A∪B中的元素是A中元素或B中的元素”是________的形式; (3)命题“非空集∁UA的元素是U中的元素但不是A中的元素”是________的形式. 【解析】 (1)命题可以写为“非空集A∩B中的元素是A中的元素,且是B中的元素”,故填p且q; (2)“是A中元素或B中的元素”含有逻辑联结词“或”,故填p或q;(3)“不是A中的元素”暗含逻辑联结词“非”,故填非p. 【答案】 (1)p且q (2)p或q (3)非p 8.在一次射击比赛中,甲、乙两位运动员各射击一次,设命题p: “甲的成绩超过9环”,命题q: “乙的成绩超过8环”,则命题“p∨(綈q)”表示________. 【解析】 綈q表示乙的成绩没有超过8环,所以命题“p∨(綈q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环. 【答案】 甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环 三、解答题 9.写出下列命题的否定. (1)若2x>4,则x>2; (2)2和3都是奇数; (3)正方形的对角线相等且互相垂直. 【解】 (1)若2x>4,则x≤2. (2)2和3不都是奇数. (3)正方形的对角线不相等或不垂直. 10.在一次模拟打飞机的游戏中,小李接连射击了两次,设命题p是“第一次击中飞机”,命题q是“第二次击中飞机”.试用p,q以及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨,∧,綈)表示下列命题: (1)命题s: 两次都击中飞机; (2)命题r: 两次都没击中飞机; (3)命题t: 恰有一次击中了飞机; (4)命题u: 至少有一次击中了飞机. 【解】 (1)两次都击中飞机表示: 第一次击中飞机且第二次击中飞机,所以命题s表示为p∧q. (2)两次都没击中飞机表示: 第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机,所以命题r表示为綈p∧綈q. (3)恰有一次击中了飞机包含两种情况: ①第一次击中飞机且第二次没有击中飞机,此时表示为p∧綈q; ②第一次没有击中飞机且第二次击中飞机,此时表示为綈p∧q. 所以命题t表示为(p∧綈q)∨(綈p∧q). (4)法一 命题u表示: 第一次击中飞机或第二次击中飞机,所以命题u表示为p∨q. 法二 綈u: 两次都没击中飞机,即是命题r,所以命题u是綈r,从而命题u表示为綈(綈p∧綈q). 法三 命题u表示: 第一次击中飞机且第二次没有击中飞机,或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机,或者第一次击中飞机且第二次击中飞机,所以命题u表示为(p∧綈q)∨(綈p∧q)∨(p∧q). [能力提升] 1.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ) A.(綈p)∨(綈q)B.p∨(綈q) C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q 【解析】 依题意,綈p: “甲没有降落在指定范围”,綈q: “乙没有降落在指定范围”,因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q). 【答案】 A 2.已知命题p1: 函数y=2x-2-x在R上为增函数,p2: 函数y=2x+2-x在R上为减函数.则在命题q1: p1∨p2,q2: p1∧p2,q3: (綈p1)∨p2,q4: p1∧(綈p2)中,真命题是( ) A.q1,q3B.q2,q3 C.q1,q4D.q2,q4 【解析】 ∵y=2x在R上是增函数,y=2-x在R上是减函数,∴y=2x-2-x在R上是增函数为真命题,y=2x+2-x在R上为减函数是假命题. 因此p1是真命题,则綈p1为假命题;p2是假命题,则綈p2为真命题. ∴q1: p1∨p2是真命题,q2: p1∧p2是假命题, ∴q3: (綈p1)∨p2为假命题,q4: p1∧(綈p2)为真命题. ∴真命题是q1,q4,故选C. 【答案】 C 3.若x∈{x|x<4或x≥10}是假命题,则x的取值范围是________. 【解析】 由题意其否定为真,即4≤x<10成立. 【答案】 [4,10) 4.已知命题p: ∀x∈R,4x-2x+1+m=0,若綈p是假命题,求实数m的取值范围. 【解】 ∵綈p是假命题,∴p是真命题. 也就是∀x∈R,有m=-(4x-2x+1), 令f(x)=-(4x-2x+1)=-(2x-1)2+1, ∴对任意x∈R,f(x)≤1, ∴m的取值范围是(-∞,1].
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