高考数学二轮复习教师用书第1部分 知识专题突破 专题4 平面向量含答案.docx
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高考数学二轮复习教师用书第1部分知识专题突破专题4平面向量含答案
专题四平面向量
———————命题观察·高考定位———————
1.如图4-1,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=________.
图4-1
3[法一因为tanα=7,所以cosα=,sinα=.
过点C作CD∥OB交OA的延长线于点D,则=+,∠OCD=45°.
又因为=m+n,
所以=m,=n,
所以||=m,||=n.
在△COD中,由正弦定理得==,
因为sin∠ODC=sin(180°-α-∠OCD)
=sin(α+∠OCD)=,
即==,
所以n=,m=,所以m+n=3.
法二由tanα=7可得cosα=,sinα=,
则==,
由cos∠BOC=可得==,
cos∠AOB=cos(α+45°)=cosαcos45°-sinαsin45°
=×-×=-,
则·=-,则m-n=,-m+n=1,
则m+n=,则m+n=3.]
2.如图4-2,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,·=4,·=-1,则·的值是________.
图4-2
[由题意,得·=(+)·(+)
=(+)·(-+)=2-2
=||2-||2=-1,①
·=(+)·(+)
=(+3)·(-+3)
=92-2
=9||2-||2=4.②
由①②得||2=,||2=.
∴·=(+)·(+)
=(+2)·(-+2)=42-2
=4||2-||2=4×-=.]
3.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为______.
-3[∵ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),
∴∴∴m-n=2-5=-3.]
4.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
[由题意=-=-=(-)+=-+,于是λ1=-,λ2=,故λ1+λ2=.]
5.如图4-3,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是________.
【导学号:
56394021】
图4-3
22[由=3,得==,=+=+,=-=+-=-.因为·=2,所以·
=2,即2-·-2=2.又因为=25,=64,所以·=22.]
[命题规律]
平面向量的命题以客观题为主,主要考查平面向量的基本概念、向量的线性运算、向量的平行与垂直、向量的数量积,考查数形结合的数学思想,在解答题中常与三角函数相结合,或作为解题工具应用到解析几何问题中.
———————主干整合·归纳拓展———————
[第1步▕核心知识再整合]
1.平面向量的两个重要定理
(1)向量共线定理:
向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.
(2)平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底.
2.平面向量的两个充要条件
若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
(1)a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0.
(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
3.平面向量的三个性质
(1)若a=(x,y),则|a|==.
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则
||=.
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,
则cosθ==.
[第2步▕高频考点细突破]
平面向量的线性运算
【例1】(江苏省南通市如东高中2019届高三上学期第二次调研)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=,则AB的长为________.
[解析]根据条件:
·=(+)·(+)
=(+)·
=-2+·+2
=-||2+||+1
=.
∴16||2-8||+1=0,解得||=.故答案为.
[答案]
[规律方法]向量加法:
“尾首相接,首尾相连”,向量减法:
“共起点,连终点,指向被减向量”.
[举一反三]
(江苏省南通中学2019届高三上学期期中考试)如图4-4,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F是BC的一个三等分点,那么=________.(用和表示)
图4-4
-[=+++=+++=--++=-.]
向量共线的充要条件
【例2】(南京市2019届高三年级学情调研)设向量a=(1,-4),b=(-1,x),c=a+3b,若a∥c,则实数x的值是________.
【导学号:
56394022】
[解析]由题意得(1,-4)∥(-2,-4+3x)⇒8=-4+3x⇒x=4.
[答案]4
[规律方法]向量a,b(a≠0)共线的充要条件是b=λa,λ∈R,用坐标表示就是a=(x1,y1),b=(x2,y2)共线的充要条件是x1y2-x2y1=0.
[举一反三]
如图4-5,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=6,AD=DC=2,若·=-14,则·=________.
图4-5
-2[·=(+)·(+)=·+(--)·
=·+(++)·=·+·,
∴·-6×2=-14⇒·=-2.]
平面向量的数量积
【例3】(南京市2019届高三年级学情调研)在△ABC中,已知AB=3,BC=2,D在AB上,=,若·=3,则AC的长是________.
[解析]=⇒||=1,||=2;·=3⇒cosθ=,
所以2-2=22-2⇒||=.
[答案]
[规律方法]向量a·b=|a||b|cos〈a,b〉,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
[举一反三]
(江苏省泰州中学2019届高三上学期第二次月考)设平面向量a=(x,4),b=(y,-2),c=(2,1)(其中x>0,y>0),若(a-c)⊥(b-c),则|a+b|的最小值为________.
2[∵a=(x,4),b=(y,-2),c=(2,1),
∴a-c=(x-2,3),b-c=(y-2,-3),
由(a-c)⊥(b-c),得(x-2)(y-2)-9=0,
即xy-2(x+y)-5=0.
又x>0,y>0,∴2(x+y)+5=xy≤,解得x+y≤-2(舍),或x+y≥10.
|a+b|=≥=2.]
求两向量的夹角
【例4】如图4-6,在2×4的方格纸中,若a和b是起点和终点均在格点的向量,则向量2a+b与a-b的夹角余弦值是________.
图4-6
[解析]a=(2,-1),b=(3,2),所以2a+b=(7,0),a-b=(-1,-3),因此向量2a+b与a-b的夹角余弦值是=-.
[答案]-
[规律方法]cos〈a,b〉=,a2=|a|2.
[举一反三]
(泰州中学2019届高三上学期期中考试)在△ABC中,(-3)·=0,则角A的最大值为________.
[由题设可得accosB+3abcosC=0,即ccosB=-3bcosC,也即sinCcosB=-3sinBcosC,故tanC=-3tanB,由于tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,因此3tanAtan2B-2tanB+tanA=0,故4-12tan2A≥0,所以-≤tanA≤,所以Amax=.]
平面向量和平面几何的综合问题
【例5】(江苏省镇江市丹阳高中2019届高三下学期期中)已知点A(2,3),点B(6,-3),点P在直线3x-4y+3=0上,若满足等式·+2λ=0的点P有两个,则实数λ的取值范围是________.
【导学号:
56394023】
[解析]由点P在直线3x-4y+3=0上,设P,
则=,=,
∴·=(x-2)(x-6)+2-9=(25x2-110x+57),
又·+2λ=0,
∴(25x2-110x+57)+2λ=0,
化简得25x2-110x+57+32λ=0,
根据题意Δ=(-110)2-4×25×(57+32λ)>0,
解得λ<2,
∴实数λ的取值范围是(-∞,2).
[答案](-∞,2)
[规律方法]平面向量本身就具有代数和几何的双重特征,与平面几何的综合问题是最自然最常见的问题,在解题过程中要抓住图形的几何特征,充分利用几何元素的几何性质解决问题.
[举一反三]
(泰州中学2019-2019年度第一学期第一次质量检测文科)已知点O为△ABC内一点,且+2+3=0,则△AOB,△AOC,△BOC的面积之比等于________.
3∶2∶1[+2+3=0⇒==+,所以C′为AB三等分点(靠近B),如图,所以S△AOC=S△AOC′;S△BOC=S△BOC′;S△AOC=2S△BOC′;S△AOB=S△AOC′+S△BOC′,即△AOB,△AOC,△BOC的面积之比等于3S△BOC′∶2S△BOC′∶S△BOC′=3∶2∶1.]
[第3步▕高考易错明辨析]
1.误把两向量数量积大于(小于)0当作两向量夹角为锐角(钝角)的充要条件
已知|a|=,|b|=3,a,b的夹角为45°,当向量a+λb与a+b的夹角为锐角时,求实数λ的取值范围.
[错解]a·b=|a||b|cos45°=3,因为向量a+λb与a+b的夹角为锐角,所以(a+λb)·(a+b)>0,由(a+λb)·(a+b)=a2+(λ+1)a·b+λb2=12λ+5>0,得λ>-,所以λ的取值范围是.
[正解]a·b=|a||b|cos45°=3,因为向量a+λb与a+b的夹角为锐角,所以(a+λb)·(a+b)>0,由(a+λb)·(a+b)=a2+(λ+1)a·b+λb2=12λ+5>0,得λ>-,当向量a+λb与a+b方向相同时,λ=1,即当λ=1时,虽然(a+λb)·(a+b)>0,但向量a+λb与a+b夹角为0°,所以λ的取值范围是∪(1,+∞).
2.忽视两向量夹角的概念导致错误
在△ABC中,=(1,),=(3,0),则角B的大小为________.
[错解]因为cosB===,且B∈(0,π),所以B=.
[正解]根据向量的夹角的定义,向量与的夹角应是角B补角,所以cos(π-B)===,又π-B∈(0,π),所以π-B=,从而B=.
3.忽视变量取值范围导致错误
如图4-7,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=1,AC=2,D为BC边上一点,=λ,则·的取值范围为________.
图4-7
[错解]·=||||cos∠BAC=-1,=-,
=+=+=+,
·=2-2+·==-2,因为=λ,所以
λ∈[0,1],当λ=0时,-2取最大值5,当λ=1时,-2,所以·的取值范围为.
[正解]·=||||cos∠BAC=-1,=-,
=+=+=+,
·=2-2+·==-2,因为=λ,所以λ∈[0,+∞),当λ=0时,-2取最大值5,当λ→+∞时,-2→-2取最小值,所以·的取值范围为(-2,5].
———————专家预测·巩固提升———————
1.(改编题)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为________.
90°[由=(+),故O,A,C三点共线,且O是线段AC中点,故AC是圆O的直径,从而∠ABC=90°,因此与的夹角为90°.]
2.(改编题)△ABC中,|AB|=10,|AC|=15,∠BAC=,点M是边AB的中点,点N在直线AC上,且=3,直线CM与BN相交于点P,则线段AP的长为________.
【导学号:
56394024】
[法一如图,
=+
=+λ
=+
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