高一数学函数的对称性与周期性2.docx
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高一数学函数的对称性与周期性2
1.函数对称性与周期性
知识归纳:
一.函数自身的对称性结论
结论1.函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b
证明:
(必要性)设点P(x,y)是y=f(x)图像上任一点,∵点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点P‘(2a-x,2b-y)也在y=f(x)图像上,∴2b-y=f(2a-x)
即y+f(2a-x)=2b故f(x)+f(2a-x)=2b,必要性得证。
(充分性)设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点,则y0=f(x0)
∵f(x)+f(2a-x)=2b∴f(x0)+f(2a-x0)=2b,即2b-y0=f(2a-x0)。
故点P‘(2a-x0,2b-y0)也在y=f(x)图像上,而点P与点P‘关于点A(a,b)对称,充分性得征。
推论:
函数y=f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)+f(-x)=0
结论2.若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)那么函数本身的图像关于直线x=对称,反之亦然。
证明:
已知对于任意的都有f(a+)=f(b-)=
令a+=,b-=
则A(,),B(,)是函数y=f(x)上的点
显然,两点是关于x=对称的。
反之,若已知函数关于直线x=对称,
在函数y=f(x)上任取一点P()那么()
关于x=对称点(a+b-,)也在函数上
故f()=f(a+b-)f(a+(-a))=f(b-(-a))
所以有f(a+x)=f(b-x)成立。
推论1:
函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x)
推论2:
函数y=f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)=f(-x)
结论3.①若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
②若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且2|a-b|是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称又关于直线x=b成轴对称(a≠b),则y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。
①②的证明留给读者,以下给出③的证明:
∵函数y=f(x)图像既关于点A(a,c)成中心对称,
∴f(x)+f(2a-x)=2c,用2b-x代x得:
f(2b-x)+f[2a-(2b-x)]=2c………………(*)
又∵函数y=f(x)图像直线x=b成轴对称,
∴f(2b-x)=f(x)代入(*)得:
f(x)=2c-f[2(a-b)+x]…………(**),用2(a-b)-x代x得
f[2(a-b)+x]=2c-f[4(a-b)+x]代入(**)得:
f(x)=f[4(a-b)+x],故y=f(x)是周期函数,且4|a-b|是其一个周期。
二.不同函数的对称性结论
结论4.函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。
结论5.①函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x=a成轴对称。
②函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。
③函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。
定理4与定理5中的①②证明留给读者,现证定理5中的③
设点P(x0,y0)是y=f(x)图像上任一点,则y0=f(x0)。
记点P(x,y)关于直线x-y=a的轴对称点为P‘(x1,y1),则x1=a+y0,y1=x0-a,∴x0=a+y1,y0=x1-a代入y0=f(x0)之中得x1-a=f(a+y1)∴点P‘(x1,y1)在函数x-a=f(y+a)的图像上。
同理可证:
函数x-a=f(y+a)的图像上任一点关于直线x-y=a的轴对称点也在函数y=f(x)的图像上。
故定理5中的③成立。
推论:
函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。
三.三角函数图像的对称性
函数
对称中心坐标
对称轴方程
y=sinx
(kπ,0)
x=kπ+π/2
y=cosx
(kπ+π/2,0)
x=kπ
y=tanx
(kπ/2,0)
无
注:
上表中k∈Z
举例
例1:
定义在R上的非常数函数满足:
f(10+x)为偶函数,且f(5-x)=f(5+x),则f(x)一定是()
(A)是偶函数,也是周期函数(B)是偶函数,但不是周期函数
(C)是奇函数,也是周期函数(D)是奇函数,但不是周期函数
解:
∵f(10+x)为偶函数,∴f(10+x)=f(10-x).
∴f(x)有两条对称轴x=5与x=10,因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数,∴x=0即y轴也是f(x)的对称轴,因此f(x)还是一个偶函数。
故选(A)
例2:
设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数,并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称,若g(5)=1999,那么f(4)=()。
(A)1999;(B)2000;(C)2001;(D)2002。
解:
∵y=f(x-1)和y=g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称,
∴y=g-1(x-2)反函数是y=f(x-1),而y=g-1(x-2)的反函数是:
y=2+g(x),∴f(x-1)=2+g(x),∴有f(5-1)=2+g(5)=2001故f(4)=2001,应选(C)
例3.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=-x,则f(8.6)=_________
解:
∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x=0是y=f(x)对称轴;
又∵f(1+x)=f(1-x)∴x=1也是y=f(x)对称轴。
故y=f(x)是以2为周期的周期函数,∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3
例4.函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是()
(A)x=-(B)x=-(C)x=(D)x=
解:
函数y=sin(2x+)的图像的所有对称轴的方程是2x+=k+
∴x=-,显然取k=1时的对称轴方程是x=-故选(A)
例5.求证:
若为奇函数,则方程=0若有根一定为奇数个。
证:
为奇函数-=
2=0即=0是方程=0的根
若是=0的根,即=0由奇数定义得=0
也是方程的根即方程的根除=0外成对出现。
方程根为奇数个。
练习:
1.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=()
(A)0.5(B)-0.5(C)1.5(D)-1.5
解:
∵y=f(x)是定义在R上的奇函数,∴点(0,0)是其对称中心;
又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x),即f(1+x)=f(1-x),∴直线x=1是y=f(x)对称轴,故y=f(x)是周期为2的周期函数。
∴f(7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5故选(B)
2.知函数y=f(x)对一切实数x满足f(2-x)=f(4+x),且方程f(x)=0有5个实根,则这5个实根之和为( C)
A、5 B、10 C、15 D、18
3.是周期为2的奇函数,当时,则
(A) (B) (C) (D)
解:
已知是周期为2的奇函数,当时,
设,,<0,∴,选D.
4.定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于(B)
A.-1B.0C.1D.4
5.用min{a,b}表示a,b两数中的最小值。
若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=对称,则t的值为()
A.-2B.2C.-1D.1
6.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,
则f(2010)的值为(B)
A.-1B.0C.1D.2
解析由已知得,,,
,
,,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2010)=f(6)=0,故选C.
7..定义在R上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()
A.5B.4C.3D.2
解析:
由的周期性知,
即至少有根1,2,4,5。
故选择B。
8.设函数y=f(x)的定义域为R,且满足f(x+1)=f(1-x),则y=f(x+1)的图象关于___y___对称。
y=f(x)图象关于__x=1_对称。
9.设y=f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,有f(1-2x)=f(2x),则y=f(2x)图象关于__________对称,y=f(x)关于__________对称。
10.设函数y=f(x)的定义域为R,则下列命题中,①若y=f(x)是偶函数,则y=f(x+2)图象关于y轴对称;②若y=f(x+2)是偶函数,则y=f(x)图象关于直线x=2对称;③若f(x-2)=f(2-x),则函数y=f(x)图象关于直线x=2对称;④y=f(x-2)与y=f(2-x)图象关于直线x=2对称,其中正确命题序号为___②④____。
11.设f(x)是定义在R上的奇函数,且的图象关于直线对称,则f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_______________.
【考点分析】本题考查函数的周期性
解析:
得,假设
因为点(,0)和点()关于对称,所以
因此,对一切正整数都有:
从而:
。
本题答案填写:
0
12.函数对于任意实数满足条件,若则__________。
【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值,中档题。
解析:
由得,所以,则。
【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外,一般都比较灵活。
本题应直观理解“只要加2,则变倒数,加两次则回原位”则一通尽通也。
13.设函数的定义域为R,若与都是关于的奇函数,则函数在区间上至少有个零点.
答案:
f(2k-1)=0,k∈Z.又可作一个函数满足问题中的条件,且的
一个零点恰为,k∈Z.所以至少有50个零点.
14.设f(x)=,又记f1(x)=f(x),,k=1,2,……则=
解:
,,据此,,,因2010为4n+2型,故选.
15.已知偶函数y=f(x)定义域为
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- 数学 函数 对称性 周期性