新人教第二章 整式的加减全章教案.docx

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新人教第二章整式的加减全章教案

第二章整式的加减

2.1整式

2.1.1整式

（1）

教学目标

1．知识与技能

（1）能用代数式表示实际问题中的数量关系．

（2）理解单项式、单项式的次数，系数等概念，会指出单项式的次数和系数．

重、难点与关键

1．重点：

单项式的有关概念．

2．难点：

负系数的确定以及准确确定一个单项式的次数．

教学过程

一、新授

6a2，a3，2.5x，vt，-n．

观察上面各式中运算有什么共同特点？

上面各式中，数字与字母之间，字母与字母之间都是乘法运算，它们都是数字与字母的积，例如：

6a2表示6×a2，a3表示1×a3，2.5x表示2.5×x，vt表示1×v×t，-n表示-1×n．

像上面这样，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．如：

-2，a，

，都是单项式，而

，1+x都不是单项．

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：

6a2的系数是6，a3的系数是1，-n的系数是-1，-

的系数是-

．

单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写成前面，当一个单项式的系数是1或-1时通常省略不写．

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．例如，2.5x中字母x的指数是1，2.5x是一次单项式；vt中字母v与t的指数和是2，vt是二次单项式，-ab2c中字母a、b、c的指数和是4，-ab2c是4次单项式．

二、范例学习

例1．用单项式填空，并指出它们的系数和次数．

（1）每包书有12册，n包书有_______册．

（2）底边长为a，高为h的三角形的面积是______．

（3）一个长方体的长和宽都是a，高是h，它的体积是_______．

（4）一台电视机原价a元，现按原价的9折出售，这台电视机现在售价为_____元．

（5）一个长方形的长为0.9，宽是a，这个长方形的面积是_________．

三、巩固练习

1．下列各式是不是单项式？

为什么？

（1）x-2y；

（2）-

；（5）-1．

2．判断下列各说法是否正确，错误的改正过来．

（1）单项式-xy2的系数是0，次数是2．

（2）单项式27a2的系数是2，次数是9．

（3）单项式-

的系数是-

，次数是n+1．

3．请你写出系数为-，含有x、y，次数为4的所有单项式．4．课本第56页练习1、2题．

四、课堂小结

1．什么叫单项式？

举例说明．

2．单独的一个数或一个字母是单项式吗？

是单项式吗？

为什么？

3．什么叫单项式的系数？

什么叫单项式的次数？

举例说明．

五、作业布置

1．课本第59页至第60页，习题2．1第1、2、8题．

2．选用课时作业设计．

作业设计

一、判断题．（对的打“∨”，错的打“×”）

1．x是单项式．（）2．6不是单项式．（）

3．m的系数是0，次数也是0．（）4．单项式

xy的系数是

，次数是2．（）

二、填空题．

5．x2yz的系数是________，次数是________．6．-

的系数是______，次数是_______．

7．如果单项式-2x2yn与单项式a4b的次数相同，则n=________．

8．写出系数为5，含有x、y、z三个字母且次数为4的所有单项式，它们分别是_______．

三、选择题．

9．下列各式中单项式的个数是（）．

，x+1，-2

，-

．

A．2个B．3个C．4个D．5个

10．单项式-x2yz2的系数、次数分别是（）．A．0.2B．0.4C．-1，5D．1，4

四、解答题．

11．苹果的价格比梨贵35%，如果梨的价格是每千克m元，那么苹果的价格是多少？

如果梨的价格比苹果便宜10%，梨的价格仍是每千克m元，那么苹果的价格是多少？

12．买一级肉5千克和买二级肉6千克用的钱同样多，如果一级肉每千克a元，那么二级肉每千克多少元？

如果用买b千克一级肉的钱去买二级肉，可以买多少千克？

2.1.2整式

（2）

教学目标

使学生理解多项式、整式的概念，会准确确定一个多项式的项数和次数．

重、难点与关键

1．重点：

多项式以及有关概念．

2．难点：

准确确定多项式的次数和项．

教学过程

一、复习提问1．什么叫单项式？

举例说明．

2．怎样确定一个单项式的系数和次数？

-

的系数、次数分别是多少？

3．列式表示下列问题：

（1）一个数比数x的2倍小3，则这个数为________．

（2）买一个篮球需要x（元），买一个排球需要y（元），买一个足球需要z（元），买3个篮球，5个排球，2个足球共需________元．

（3）如图1，三角尺的面积为________．

（4）如图2是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是________平方米．

（1）

（2）

上面列出的式子2x-3，3x+5y+2z，

ab-

r2，x2+2x+18，它们是单项式吗？

这些式子有什么共同特点？

与单项式有什么关系？

2x-3可看作2x与-3的和：

3x+5y+2z可以看作单项式3x、5y与2z的和；同样

ab-

r2看作

ab与-

r2的和，x2+2x+18可以x2、2x、18的和．

二、新授

请同学们阅读课本第57页有关内容，并回答下列问题．

1．几个单项式的和叫做_________；2．在多项式中，每个单项式叫做_________；

3．在多项式中，不含字母的项叫做_________；

4．在多项式中，_____________________，叫做这个多项式的次数．

5．多项式的次数与单项式的次数有什么区别？

6

（1）多项式的次数与单项式的次数概念不同，但又有联系，首先求出此多项式各项（单项式）的次数，次数最高的就是这个多项式的次数．

（2）一个多项式的最高次项可以不唯一，次高项也可以不唯一，如，多项式3x2y-

xy2+x2-xy-5中，最高次项为3x2y和-

xy2，二次项也有2项，x2和-xy，这个多项式为二次五项式．

单项式和多项式统称为整式，例如：

100t，6a3，vt，-n，2x-3，3x+5y+2z等都是整式．

三、范例学习

例1．用多项式填空，并指出它们的项和次数．

（1）温度由t℃下降5℃后是_______℃．

（2）甲数x的

与乙数y的

的差可以表示为_________．

（3）如课本图2．1-3，圆环的面积为________．（4）如课本图2．1-4，钢管的体积是________．

例2．一条河流的水流速度为2.5千米/时，如果已知船在静水中的速度，那么船在这条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？

如果甲、乙两条船在静水中的速度分别是20千米/时和35千米/时，则它们在这条河流中的顺水行驶和逆水行驶的速度各是多少？

四、巩固练习

1．下列式子中，哪些是单项式？

哪些是多项式？

哪些是整式？

3x，2x-1，

，-ab，-5，

-1，3m-4n+m2n．

2．判别正误：

（1）多项式-x2y+2x2-y的次数2．（）

（2）多项式-

-a+3a2的一次项系数是1．（）（3）-x-y-z是三次三项式．（）

3．课本第59页练习．4．课本第61页第10题．

五、课堂小结

1．什么叫做多项式？

多项式是整式吗？

整式是多项式吗？

2．什么叫多项式的项？

什么叫做常数项？

举例说明？

3．什么叫做多项式的次数？

六、作业布置1．课本第60页，习题2．1第2、3、4、5、6、7题

作业设计

一、填空题．

1．式子-

ab，

，-a2bc，1，x3-2x+3，

，

+1中，单项式的是______，多项式的是_______．

2．多项式-

+2x-3是_______次_______项式，最高次项的系数是______，常数项是________．

3．2x2-3xy2+x-1的各项分别为________．

二、选择题．

4．一个五次多项式，它任何一项的次数（）．

A．都小于5B．都等于5C．都不小于5D．都不大于5

5．下列说法正确的是（）．

A．x2+x3是五次多项式B．

不是多项式C．x2-2是二次二项式D．xy2-1是二次二项式

三、列式表示．6．n为整数，不能被3整除的整数表示为________．

7．一个三位数，十位数字为x，个位数字比十位数字少3，百位数字是个位数字的3倍，则这个三位数可表示为________．

8．某班有学生a人，若每4人分成一组，有一组少2人，则所分组数是________．

9．如图所示，阴影部分的面积表示为________．

10．用火柴棒按图4的方式搭塔式三角形．

（1）观察填表：

一条边火柴棒根数

1

2

3

4

小三角形个数

火柴棒总根数

（2）照这样下去，搭起的大三角形一条边用了n根火柴棒，这样的小三角形有多少个？

2.1.3整式（3）

教学目的和要求：

1．理解多项式的升（降）幂排列的概念，会进行多项式的升（降）幂排列。

2．通过尝试和交流，让学生体会到多项式升（降）幂排列的可行性和必要性。

教学重点和难点：

重点：

会进行多项式的升（降）幂排列，体验其中蕴含的数学美。

难点：

会进行多项式的升（降）幂排列，体验其中蕴含的数学美。

教学过程：

二、讲授新课：

1．升幂排列与降幂排列：

这两种排列有一个共同点，那就是x的指数是逐渐变小（或变大）的。

我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列。

例如：

把多项式5x2＋3x－2x3－1按x的指数从大到小的顺序排列，可以写成－2x3＋5x2＋3x－1，这叫做这个多项式按字母x的降幂排列。

按x的指数从小到大的顺序排列，则写成－1＋3x＋5x2－2x3，这叫做这个多项式按字母x的升幂排列。

板书由学生自己归纳得出的多项式概念。

上面这些代数式都是由几个单项式相加而成的。

像这样，几个单项式的和叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的项其中，不含字母的项，叫做常数项例如，多项式

有三项，它们是

，－2x，5。

其中5是常数项。

一个多项式含有几项，就叫几项式。

多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。

例如，多项式

是一个二次三项式。

注意：

（1）多项式的次数不是所有项的次数之和；

（2）多项式的每一项都包括它前面的符号。

2．例题：

例1：

游戏：

规则：

五个学生上前自己选一张卡片，根据教师要求排成一列，下面同学把排列正确的式子写下来。

－35x3

－11x7y5

＋2y

－7xy3

＋3x2y2

例如：

＋2y

－7xy3

＋3x2y2

－35x3

－11x7y5

按x降幂排列：

式子：

－11x7y5－35x3＋3x2y2－7xy3＋2y

例2：

把多项式2πr－1＋3πr3－π2r2按r升幂排列。

说明：

π是数字，不是字母，题目中一次项、二次项、三次项系数分别为2π、－π2、3π。

例3：

把多项式a3－b3－3a2b＋3ab2重新排列。

（1）按a升幂排列；

（2）按a降幂排列。

观察上面两个排列，从字母b的角度看，它们又有何特点？

（由学生参照例题自己解答。

）

例4：

把多项式－1＋2πx2－x－x3y用适当的方式排列。

例5：

把多项式x4－y4＋3x3y－2xy2－5x2y3用适当的方式排列。

（1）按字母x的升幂排列得：

；

（2）按字母y的升幂排列得：

。

注意：

（1）重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；

（2）含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列。

三、课堂小结：

对一个多项式进行排列，这样的写法除了美观之外，还会为今后的计算带来方便。

在排列时我们要注意：

①重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动，原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；

②含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升（降）幂排列。

2.2整式的加减

（1）

教学目标:

知识与技能

（1）了解同类项、合并同类项的概念，掌握合并同类项法则，能正确合并同类项．

（2）能先合并同类项化简后求值．

重、难点与关键

1．重点：

掌握合并同类项法则，熟练地合并同类项．

2．难点：

多字母同类项的合并．

教学过程

一、新授

我们来看本章引言中的问题

（2）．

在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是t小时，那么它通过非冻土地段所需的时间就是2.1t小时，则这段铁路的全长是100t+120×2.1t，即100t+252t

1．类比数的运算，我们应如何化简式子100t+252t呢？

（1）运用有理数的运算律计算：

100×2+252×2=______；100×（-2）+252×（-2）=________．

（2）根据

（1）中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理．

思路点拨：

根据逆用乘法对加法的分配律可得：

100t+252t=________．

2．填空:

（1）100t-252t=（）t；

（2）3x2+2x2=（）x2；

（3）3ab2—4ab2=（）ab2．具备什么特点的多项式可以合并呢？

观察

（1）中多项式的项100t和-252t，它们都含有相同字母t，并且t的指数都是1；

（2）中的多项式的项3x2+2x2都含有相同字母x，并且字母x的指数都是2；（3）中的多项式的项3ab2和-4ab2都含有字母a，b，并且字母a的指数都是1，b的指数都是2．

像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，几个常数项也是同类项．

3．思考：

下列各组是不是同类项：

（1）0.5x2y和0.2xy2；

（2）4abc和4ab；（3）-5m2n3和2n3m2；（4）7xnyn+1和-3xnyn+1．

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及字母的指数有什么联系？

合并同类项法则：

在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．

若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，即这两项相抵消，如-3ab2+3ab2=（-3+3）ab2=0·ab2=0．

多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并．

通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列，如-4x2+5x+5或写成5+5x-4x2．

二、范例学习

例1．合并下列各式的同类项：

（1）xy2-

xy2；

（2）-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2；（3）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2．

例2．

（1）求多项式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值，其中x=

．

（2）求多项式3a+abc-

c2-3a+

c2的值，其中a=-

，b=2，c=-3．

例3．

（1）水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降2cm，第二天连续上升了a小时，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？

（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？

三、巩固练习课本第66页，练习第1、2、3题．

四、课堂小结

1．什么叫同类项？

字母相同，次数也相同的项是同类项吗？

举例说明．

2．什么叫合并同类项？

怎样合并同类项？

合并同类项的依据是什么？

对于求多项式的值，不要急于代入，应先观察多项式，看其中有没有同类项，若有，要先合并同类项使之变得简单，而后代入求值．

五、作业布置

1．课本第71页习题2．2第1、7、10题．2．选用课时作业设计．

作业设计

一、填空题．

1．如果5x2y与

xmyn是同类项，那么m=______，n=______．

2．合并同类项：

（1）-a-a-2a=________．

（2）-xy-5xy+6yx=________．

二、选择题．（3）0.8ab2-a2b+0.2ab2=_______．

3．下列各组式子中是同类项的是（）．

A．-2a与a2B．2a2b与3ab2C．5ab2c与-b2acD．-

ab2和4ab2c

4．下列运算中正确的是（）．

A．3a2-2a2=a2B．3a2-2a2=1C．3x2-x2=3D．3x2-x=2x

三、合并下列各式中的同类项:

5．-7mn+mn+5nm;6．

x2-

x2-

;7．3a2b-4ab2-4+5a2b+2ab2+7．

四、求下列各式的值:

8．3x2-8x+2x3-13x2+2x-2x3+3，其中x=-1

．9．a2b-6ab-3a2b+5ab+2a2b，其中a=0.1，b=0.01．

10．2（x-2y）2-4（2x-y）+（x-2y）2-3（2x-y），其中x=-1，y=

．

[提示：

分别把（x-2y），（2x-y）看作一个整体]

2.2整式的加减

（2）

教学目标

能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．

重、难点与关键

1．重点：

去括号法则，准确应用法则将整式化简．

2．难点：

括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误．

教学过程

一、新授

利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那么该怎样化简呢？

现在我们来看本章引言中的问题（3）：

在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，那么它通过非冻土地段的时间为（t-0.5）小时，于是，冻土地段的路程为100t千米，非冻土地段的路程为120（t-0.5）千米，因此，这段铁路全长为100t+120（t-0.5）千米①冻土地段与非冻土地段相差100t-120（t-0.5）千米②

上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？

二、范例学习

例1．化简下列各式：

（1）8a+2b+（5a-b）；

（2）（5a-3b）-3（a2-2b）．

例2．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时．

（1）2小时后两船相距多远？

（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？

三、巩固练习

1．课本第68页练习1、2题．2．计算：

5xy2-[3xy2-（4xy2-2x2y）]+2x2y-xy2．

四、课堂小结

去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变，要变全都变．当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每一项，切勿漏乘某些项．

五、作业布置

1．课本第71页习题2．2第2、3、5、8题．2．选用课时作业设计．

作业设计

一、选择题:

1．下列各式化简正确的是（）．

A．a-（2a-b+c）=-a-b+cB．（a+b）-（-b+c）=a+2b+c

C．3a-[5b-（2c-a）]=2a-5b+2cD．a-（b+c）-d=a-b+c-d

2．下面去括号错误的是（）．

A．a2-（a-b+c）=a2-a+b-cB．5+a-2（3a-5）=5+a-6a+5

C．3a-

（3a2-2a）=3a-a2+

aD．a3-[（a2-（-b））=a3-a2-b

3．将多项式2ab-4a2-5ab+9a2的同类项分别结合在一起错误的是（）．

A．（2ab-5ab）+（-4a2+9a）B．（2ab-5ab）-（4a2-9a2）

C．（2ab-5ab）+（9a2-4a2）D．（2ab-5ab）-（4a2+9a2）

二、化简下列各式:

4．2（-a3+2a2）-（4a2-3a+1）．

5．（4a2-3a+1）-3（-a3+2a2）．6．3（a2-4a+3）-5（5a2-a+2）．7．3x2-[5x-2（

x-

）+2x2]

2.2整式的加减（3）

教学目标

能根据题意列出式子：

会进行整式加减运算，并能说明其中的算理．

重、难点与关键

1．重点：

列式表示实际问题中的数量关系，会进行整式加减运算．

2．难点：

列式表示问题中的数量关系，去掉括号前是负因数的括号．

一、引入新课

多项式中具有什么特点的项可以合并，怎样合并？

2．如何去括号，它的依据是什么？

二、范例学习

例1．

（1）求多项式2x-3y与5x+4y的和．

（2）求多项式8a-7b与4a-5b的差．

例2．一种笔记本的单价是x（元），圆珠笔的单价是y（元），小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2枝；小明买这种笔记本4个，买圆珠笔3枝，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明共花费多少钱？

例3．做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：

厘米）．

长

宽

高

小纸盒

a

b

c

大纸盒

1.5a

2b

2c

（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？

（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？

一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．

例4．求

x-2（x-

y2）+（-

x+

y2）的值，其中x=-2，y=

．

三、巩固练习1．课本第70页练习1、2、3题．2．补充练习：

某公司计划砌一个形状如下图

（1）的喷水池，后有人建议改为如下图

（2）的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多（即比较两个图形的周长）？

若将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？

整式加减是代数式的基本运算，去括号与合并同类项是整式加减的基础，在进行整式加减时，如果遇到括号应先去括号，再合并同类项，整式运算是建立在数的运算的基础上，因此数的运算性质在整式运算中仍适用．

四、作业布置1．课本第71页至第72页第4，6，9题．2．选用课时作业设计．

第三课时作业设计

一、选择题:

1．如果a-b=

，那么-3（b-a）的值是（）．A．-

B．

C．

D．

2．一个多项式与x2-2x+1的和是3x-2，则这个多项式为（）．

A．x2-5x+3B．-x2+x-1C．-x2+5x-3D．x2-5x-13

3．如果A是x的3次多项式，B是x的5次多项式，那么A-B是（）．

A．3次多项式B．2次多项式C．8次多项式D．5次多项式

二、解答题:

4．计算：

（1）x-[y-2x-（x-y）];

（2）2（a2b-3ab2）-3（2a2b-7ab2）

5．已知m2与-2n2的和为A，1+n2与-2m2的差为B，求2A-4B．

6．先化简再求值:

4x2y-[6xy-3（4xy-2）-x2y]+1，其中x=2，y=-

．

7．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为2，求阴影部分的面积．

整式的加减（4）

教学目标和要求：

1．使学生初步掌握添括号法则。

2．会运用添括号法则进行多项式变项。

教学重点和难点：

重点：

添括号法则；法则的应用。

难点：

添上“―”号和括号，括到括号里的各项全变号。

教学过程：

一、复习引