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微分中值定理论文
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微分中值定理论文
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引言
通过对数学分析的学习我们知道,微分学在数学分析中具有举足轻重的地位,它是组成数学分析的不可缺失的部分。
对于整块微分学的学习,我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理,也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。
由此可知,对于深入的了解微分中值定理,可以让我们更好的学好数学分析。
通过对微分中值定理的研究,我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系,而且也是微分学理论应用的基础。
微分中值定理是一系列中值定理总称,但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象,利用它们来讨论一些方程根(零点)的存在性,和对极限的求解问题,以及一些不等式的证明。
中值定理的内容及联系
基本内容[4][5]
对于,微分中值定理的了解,我们了解到它包含了很多中值定理,可以说它是一系列定理的总称。
而本文主要是以其中的三个定理为对象,进行探讨和发现它们之间的关系。
它们分别是“罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理和柯西(Cauchy)定理”。
这三个定理的具体内容如下:
Rolle定理
若在上连续,在内可导,且,则至少存在一点,使。
Lagrange定理
若在上连续,在内可导,则至少存在一点,使
Cauchy定理
设,在上连续,在内可导,且,则至少存在一点
,使得
。
三个中值定理之间的关系
现在我们来看这三个定理,从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。
那它们之间具体有什么样的关系呢?
我们又如何来探讨呢?
这是我们要关心的问题,我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。
首先我们先对这三个定理进行观察和类比,从中可以发现,如果把罗尔定理中的这一条件给去掉的话,那么定理就会变成为拉格朗日定理。
相反,如果在拉格朗日定理中添加这一条件的话,显然就该定理就会成为了罗尔定理。
通过这一发现,可以得到这样的一个结论:
拉格朗日定理是罗尔定理的推广,而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩,或是它的特例。
继续用这一思路来看拉格朗日定理和柯西定理,看看这两者之间又是如何的联系?
我们先对柯西定理进行观察,从观察中会是我们作出这样的假设,如果令定理中的的话,发现定理成为了拉格朗日定理。
这使得我们发现他们二者之间的联系,拉格朗日定理是柯西定理收缩,而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。
我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。
总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系。
我们从上面的讨论中可以总结得到,罗尔定理是这一块内容的基石,而拉格朗日定理则是这一块内容的核心,那么柯西定理是这一块内容的推广应用。
如果我们从几何的意义上来看这三个中值定理的话,那它们之间又是如何的呢?
在这里我们不具体的给予研究,而是直接给予结果。
若用几何解释:
“若一条连续的曲线,曲线上端点除外的每一点都有切线存在,且存在的切线于轴相交的夹角不为直角;那么像这一类曲线具有共同的属性——曲线上有一点,它的切线与曲线端点的连线平行”。
定理的推广[6][7]
前面我们已经讨论了定理之间的关系,接下来我们来看它们的推广。
从前面的内容我们知道,这三个定理都要求函数在上是连续,在内是可导。
那么我们如果把定理中的闭区间,把它推广到无限区间或,再把开区间推广到无限区间或的话,则这些定理是否还能满足条件,或者我们能得出哪些相应的定理呢?
通过讨论研究我们知道,按照以上的想法把中值定理的区间,推广到无限区间上可以得到几个相应的定理,本文在此只提到其中的三个,下面给出定理以及证明。
定理1若在上连续,在内可导,且,则至少存在一点,使成立。
证明:
令,则,即可得到关于参数函数
当时,则
即,,再令
在上连续,在内可导,且,由Rolle定理可得到,使成立
令,有,而.
,使成立
证毕
定理2若在上连续,在内可导,并且,至少存在一点,使成立。
定理2的证明可以参照定理1。
定理3若在上连续,在内可导,并且,则至少存在
一点,使
成立。
证明:
设,则,即可得到关于参数函数
当时,则
即,,再令
在上连续,在内可导,由Lagrange定理得
,使成立
即
令,有,而,
,使
成立.
证毕
定理的应用
通过上面对定理的研究和探讨,加深了我们的理解。
我们知道中值定理在解题中具有十分广泛的应用,现在我们来看看这三个定理的具体运用。
我们学知识,不仅仅是为了让我们知道,更主要的是学了要会用,这才是最关键的。
利用定理证明方程根(零点)的存在性
例1若在上连续,在内可导,证明在内方程。
分析:
由于题目是要求方程是否有根存在,所以可以先对方程进行变形,把方程变为。
那么方程有根的话,则原方程也有根。
变形之后的方程有存在,所以可以利用不定积分把方程,转变为。
现在我们返回来看题目,由题目中我们可以知道在区间上连续,在区间内可导,由函数的连续性和求导的概念,可以得到函数在上连续,在内可导,那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。
证明:
令,
显然在上连续,在内可导,
而.
根据Rolle定理,至少存在一点,
使.
证毕
本文主要在于辅助函数的构造,我们从结论出发,构造辅助函数,使得该题可以利用中值定理来证明,接下来是考虑利用微分中值定理中的哪一个即可。
对于构造辅助函数我们可以得到,所以选在利用罗尔定理证明。
这是对解该类问题的总结,也是自己对该类问题解题提出的一个解题思路模式,大家可以借鉴。
下来我们继续看两道例题:
设在,在,证明:
在内存在一点,
使成立。
分析:
对于等式,则可以两边同除以,即等式左端为,这个商式可看为函数在上的改变量与自变量的改变量之商,则会考虑利用Lagrange定理,那么可构造辅助函数。
证明:
,则在,在,
由Lagrange定理,存在一点,使,
即,
即
证毕
设在,在,证明:
在内存在一点,
使成立。
分析:
等式两边同除以,即该等式的左端为,这个商式可看为函数与在闭区间上的改变量之商,则我们会想到利用柯西定理来证明,那么构造辅助函数。
证明:
令,对,在上运用Cauchy定理,
得,
即,
即.
证毕
用定理求极限
在求极限的题目里,有些题目如果运用通常的一些方法来求解的话,则会使我们在解题过程中出现很大的计算量,或者比较繁琐的解题过程。
但是应用中值定理的话,会为这一类题目提供一种简单有效的方法。
而用中值定理来解题,最关键在于辅助函数的构造,然后在运用中值定理解题,即可求出极限。
例1求,其中。
分析:
由于题目中有和,则可以试着构造辅助函数,那么就可以得到在连续,在可导,即可以利用Lagrange定理解题了。
解:
根据题意,由Lagrangge定理,有
其中,
已知,试求。
解:
令,则对于函数在上满足Lagrangge定理可得:
,
当时,把得到的上述个不等式相加得:
即
故
证明不等式
对于数学体系来说不等式是一块很重要的内容。
故不等式的证明对数学是很重要的。
当我们学习了中值定理,知道了它在不等式的证明中起着巨大的作用。
“我们可以根据不等式两边的代数式选取一个来构造辅助函数,再应用中值定理得出一个等式后,对这个等式根据自变量的取值范围的不同进行讨论,得到不等式”。
下面我们来通过例子来说明定理在证明中的运用。
例1设,对的情况,求证。
分析:
证明不等式最常用的方法有做差,做商,对于该题目如果直接应用做差或者做商的话显然是不行的。
那我们是否能通过变形是,他们可以应用做差或是做商呢?
我们来看下不等式,不难发现当时,等式两边就相等了,所以接下来排除,分两步讨论。
在观察不等式两边的代数式,不难看出左边的代数式比较复杂,则是否可以把左边的代数式构造辅助函数,是题目可以运用中值定理解题呢?
不妨设,。
利用Cauchy定理即可证明。
证明:
当时结论显然成立,当时,取或,在该区间设
,,由Cauchy定理得:
或
即
当时,,
即
又
故,即
当时,,
则
故,即
由此,不等式得证
例2已知在满足,且在内取最大值,试证:
。
分析:
若能找到点,使,则要证的结论便转化为变量的形式:
,
则根据Lagrangge定理证之即可。
然而对于的寻找,应该从题目中条件的在开区间内取到最大值入手。
定理推广的应用
对于中值定理推广到无限区间上,在于求解一些题目,如果应用了中值定理的该推广会比较方便的得到解题,下面我们来看一个例子:
例1如果函数,求证:
,使得。
分析:
对于该题目我们通常会采用这样一种证法,令,有
,即可得证。
这种证明的方法,可以说是利用极限方法来证明的,我们现在考虑是否还可以运用其它的方法来证明。
若要运用中值定理来证明是否可以呢?
下面给出该方法。
证明:
由题得在连续,在可导,且可得:
那么,由推广定理的定理1,得到:
,使得
证毕
例2设在上可得,且,证明:
,使得
。
证明问题相当于要找,使,因函数在内可导,故,即
又,即
所以
由定理2知,使得,即题目得证。
证毕
中值定理的应用广泛,本文从几个方面介绍了该定理的运用。
通过以上的例题让大家知道,应用这几定理的关键和解题的难点,是在于对辅助函数的构造。
在论文中通过一些题目的解题过程让大家了解到对于一道题目来说,他的解题的方法具有多样性,对于方法的选择是解题过程繁简的关键,选择一种简便的方法可以使我们快速有效的作答。
也希望通过这几道例子能让大家对定理加深理解和应用。
结论
本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习,和一些相关学科内容的知识的学习,并结合一些相关的参考图书资料,以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容,其中还包括自己对这些内容的理解,还通过多方面的了解和研究,且在和老师和同学们的一起探讨下,我们了解到微分中值定理的内在联系,也对微分中值定理的推广做了探讨,接着对微分中值定理的应用做了归纳总结。
对微分中值定理本课题主要是以罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理,三个定理之间的联系为主要的研究对象,希望通过本课题能让大家加深了对的这三个定理的理解和应用,也希望通过例题的解析,能使得大家在应用微分中值定理上更加的娴熟。
参考文献:
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28-31.
[3]刘章辉.微分中值定理及其应用[J].山西大同大学学报(自然科学版),2007,23
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[5]阿黑波夫萨多夫尼奇丘巴里阔夫.数学分析讲义第3版[M].北京:
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[6]纪华霞.微分中值定理的几个推广结论[J].高等函授学报(自然科学版),2006,19(6):
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31-33.
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