八年级数学下册 第十七章 勾股定理第一节勾股定理.docx
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八年级数学下册第十七章勾股定理第一节勾股定理
八年级数学下册第十七章勾股定理
第一节勾股定理
【教学目的要求】知道勾股定理的由来,理解和掌握勾股定理的证明方法。
能够灵活地运用勾股定理及其计算。
【教学重点难点】
重点:
勾股定理的发现、验证和应用。
难点:
用拼图方法、面积法证明勾股定理
【知识结构导图】
【考点精讲】毕达哥拉斯与勾股定理及赵爽弦图的故事
☞考点1、勾股定理的内容及证明
2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会,这就是当时采用的会徽.你知道这个图案的名字吗?
你知道它的背景吗?
你知道为什么会用它作为会徽吗?
定理证明
(1)赵爽利用弦图证明。
显然4个的面积+中间小正方形的面积=该图案的面积.
即4××+﹝﹞2=c2,化简后得到.
概括:
由上面的探索可以发现:
对于任意的直角三角形,如果它的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么一定有这个关系我们称为勾股定理。
勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
(2)毕达哥拉斯勾股定理的证明
毕达哥拉斯勾在朋友家做客时,发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.请观察一下,看看能发现什么?
ⅰ引导学生观察三个正方形之间的面积的关系;
ⅱ引导学生把面积的关系转化为边的关系.
结论:
等腰直角三角形三边的特殊关系:
斜边的平方等于两直角边的平方和.
(3)一般直角三角形勾股定理的证明(欧几里德证明)
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以AB、AC、BC为边向外有三个正方形:
正方形ABDE,正方形ACGF,正方形BCHJ。
连接DC、AJ。
过A点作AN⊥JH,垂足为N,交BC于M。
先通过SAS,可得△ABJ≌△DBC,∴S△ABJ=S△DBC
而S正方形ABDE=2S△DBC
S长方形BMNJ=2S△ABJ∴S正方形ABDES长方形BMNJ
同理可得S正方形ACGF=S长方形CMNH从而:
BC2=AB2+AC2
☞考点2、勾股定理的应用
例1:
一个门框的尺寸如图所示:
(1)若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,能否从门框内通过?
(2)若有一块长3米,宽1.5米的薄木板,能否从门框内通过?
(3)若有一块长3米,宽2.2米的薄木板,能否从门框内通过?
例2:
如图,一个3米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米,那么梯子底端B也外移0.5米吗?
(计算结果保留两位小数)
例3:
一个大树高8米,折断后大树顶端落在离大树底端2米处,折断处离地面的高度是多少?
☞考点3、勾股定理与在数轴上表示☞
例4:
(尺规作图)在数轴上画出表示、、、的点
例5:
如图,螺旋状图形是由若干个直角三角形所组成的,其中①是直角边长为1的等腰直角三角形。
那么OA1=,OA2=,OA3=,OA4=,OA5=,OA6=,OA7=,…,OA14=,…,OAn=.
思考:
怎样在数轴上画出表示(n为正整数)的点?
考点4、常见的勾股数
勾三股四弦五:
3,4,55·12记一生:
5,12,13
连续的偶数:
6,8,10企鹅是二百五7,24,25
八月十五在一起:
8,15,17等腰直角三角:
1,1,
30°的直角三角形:
1,,2
【典例精析】
【典例1】已知矩形ABCD沿直线BD折叠,使点C落在同一平面内C’处,BC’与AD交于点E,AD=6,AB=4,求DE的长.
【典例2】如图,四边形是正方形,垂直于,且=3,=4,阴影部分的面积是______。
【典例3】如图,在中,于,,则是()
A 等腰三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 钝角三角形
【典例4】一个零件的形状如上右图所示,按规定这个零件中都应是直角。
工人师傅量得这个零件各边尺寸如图,这个零件符合要求吗?
【典例5】如图,有一个池塘,水面是一个边长为10尺的正方形。
在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面。
这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少?
【典例6】如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和是多少?
【典例7】如图,某隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形,一辆高3.6m、宽3m的卡车能通过该隧道吗?
.
【典例8】
(1)如图,直线上有三个正方形a、b、c,若a、c的面积分别为3和4,则正方形b的面积为.
(2)如图,两个正方形的面积分别为6和8,并且两边垂直,求第三个正方形的面积是.
(3)如图,四边形ABCD是正方形,AE⊥BE,且AE=5,BE=12,绿色部分的面积是.
【随堂练习】
【随堂1】在数轴上找出表示和-的点
【随堂2】如图,是边长为1m的小正方形地砖铺成的地面示意图,小明沿图中所示的折线从点A到B,再走到点C,最后回到点A,所走的路程为________m.
【随堂3】下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长?
请说明理由。
①9,12,15;②15,36,39;③12,35,36;④12,18,22
【随堂4】已知:
如图,四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°.求四边形ABCD
【随堂5】小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池,已知其面积为48m2,其对角线长为10m,为建栅栏,要计算这个矩形鱼池的周长,你能帮助小明算一算吗?
【随堂6】我方侦察员小王在距离东西公路400米处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。
他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400米,10秒后,汽车与他相距500米,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?
【随堂7】如图,有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖放就比门高出1尺,斜放就恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺,求竹竿长与门高.
【随堂8】有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺。
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面。
谁的深度和这根芦苇的长度分别是多少?
【随堂9】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图所示的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【随堂10】如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是多少?
.
【随堂11】如图,一圆柱体的底面周长为18cm,高AB为12cm.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,求蚂蚁爬行的最短路程?
【随堂12】如图,在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中,若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触,则此时水杯中的水深为多少?
【巩固练习】
1、已知:
如图,在△ABC中,ADBC于D,AB=6,AC=4,BC=8,求BD,DC的长.
2、如图,在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形,余下的部分拼成一个矩形(如图2),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式。
则这个等式是()
A.B.
C.D.
3、如图,哪些是直角三角形,哪些不是,说说你的理由?
4、如图,△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,BD⊥AC于D。
(1)求AC的长;
(2)求BD的长。
5、如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm.A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,求蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程?
6、一只蚂蚁从有盖的长方体盒子的顶点A出发,沿表面爬到对角顶点C1处(三条棱长如图所示),的最短路线是多少?
7、某消防队进行消防演练,在模拟现场,有一建筑物发生了火灾,消防车到达后,发现离建筑物的水平距离最近为12米,即AD=BC=12米,此时建筑物中距地面12.8米高的P处有一被困人员需要救援,已知消防云梯的车身高AB是3.8米.为此消防车的云梯至少应伸长多少米?
8、如图,△ABC中∠ABC=90°,AB=BD,AD=CD=,求AC的长。
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