高考数学总复习 82 圆的方程但因为测试 新人教B版.docx
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高考数学总复习82圆的方程但因为测试新人教B版
高考数学总复习8-2圆的方程但因为测试新人教B版
1.(文)(2011·四川文,3)圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是( )
A.(2,3) B.(-2,3)
C.(-2,-3)D.(2,-3)
[答案] D
[解析] 将一般式化为标准式(x-2)2+(y+3)2=13.
∴圆心坐标为(2,-3).
(理)(2011·深圳调研)若曲线C:
x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为( )
A.(-∞,-2)B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)D.(2,+∞)
[答案] D
[解析] 将⊙C化为标准方程得,
(x+a)2+(y-2a)2=4,
∴圆心C(-a,2a),半径r=2,
由条件知,∴a>2.
2.(文)(2011·广东文,8)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆C的圆心轨迹为( )
A.抛物线B.双曲线
C.椭圆D.圆
[答案] A
[解析] 动圆圆心C到定点(0,3)的距离与到定直线y=-1的距离相等,符合抛物线的定义,故选A.
(理)(2011·广州模拟)动点A在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1D.(x+)2+y2=
[答案] C
[解析] 设中点M(x,y),则点A(2x-3,2y),
∵A在圆x2+y2=1上,∴(2x-3)2+(2y)2=1,
即(2x-3)2+4y2=1,故选C.
3.(文)(2011·广州检测)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为( )
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1
[答案] A
[解析] 设圆心坐标为(0,b),则由题意知
=1,解得b=2,
故圆的方程为x2+(y-2)2=1.
(理)(2011·济南调研)已知圆的半径为2,圆心在x轴的正半轴上,且与直线3x+4y+4=0相切,则圆的方程是( )
A.x2+y2-4x=0B.x2+y2+4x=0
C.x2+y2-2x-3=0D.x2+y2+2x-3=0
[答案] A
[解析] 设圆心为C(m,0)(m>0),因为所求圆与直线3x+4y+4=0相切,所以=2,整理得:
|3m+4|=10,解得m=2或m=-(舍去),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=22,即x2+y2-4x=0,故选A.
4.(文)(2011·青岛市教学质量统一检测)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是( )
A.2B.1+
C.2+D.1+2
[答案] B
[解析] 圆的方程化为标准形式:
(x-1)2+(y-1)2=1,
圆心(1,1)到直线x-y-2=0的距离d==,
所求距离的最大值为+1,故选B.
(理)(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线3x+4y+5=0的距离最大值是a,最小值是b,则a+b=( )
A.B.
C.D.5
[答案] B
[解析] 圆心C(1,1)到直线3x+4y+5=0距离d=,∴a+b=+=(r为圆的半径).
5.(2011·江南十校联考)若点P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为( )
A.2x+y-3=0B.x-2y+1=0
C.x+2y-3=0D.2x-y-1=0
[答案] D
[解析] 圆心C(3,0),kCP=-,由kCP·kMN=-1,得kMN=2,所以MN所在直线方程是2x-y-1=0,故选D.
6.(文)(2011·日照模拟、河南省濮阳调研)圆心在曲线y=(x>0)上,且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为( )
A.(x-1)2+(y-3)2=()2
B.(x-3)2+(y-1)2=()2
C.(x-2)2+(y-)2=9
D.(x-)2+(y-)2=9
[答案] C
[解析] 设圆心坐标为(a,)(a>0),
则圆心到直线3x+4y+3=0的距离d==(a++1)≥(4+1)=3,等号当且仅当a=2时成立.
此时圆心坐标为(2,),半径为3,故所求圆的方程为
(x-2)2+(y-)2=9.
(理)(2011·西安模拟)若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长,则+的最小值为( )
A.1B.5
C.4D.3+2
[答案] D
[解析] 由条件知圆心C(2,1)在直线ax+2by-2=0上,∴a+b=1,
∴+=(+)(a+b)
=3++≥3+2,
等号在=,即b=2-,a=-1时成立.
7.(2011·西安二检)已知圆O:
x2+y2=5和点A(1,2),则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________.
[答案]
[解析] ∵点A(1,2)在⊙O:
x2+y2=5上,
∴过A的切线方程为x+2y=5,
令x=0得,y=,令y=0得,x=5,
∴三角形面积为S=××5=.
8.(2011·南京模拟)已知点M(1,0)是圆C:
x2+y2-4x-2y=0内的一点,那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.
[答案] x+y-1=0
[解析] 过点M的最短的弦与CM垂直,圆C:
x2+y2-4x-2y=0的圆心为C(2,1),
∵kCM==1,∴最短弦所在直线的方程为y-0=-1(x-1),即x+y-1=0.
9.(文)(2010·广东)已知圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是________.
[答案] (x+2)2+y2=2
[解析] 设圆的方程为(x-a)2+y2=2(a<0),由条件得=,∴|a|=2,又a<0,∴a=-2.
(理)(2011·长春市调研)若圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且圆与直线x-y+1=0相交所得的弦长为2,则圆的方程是________.
[答案] (x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244
[解析] 设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,说明圆心在直线x+2y=0上,即有a+2b=0,根据题意可得
解得或
所求圆的方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244.
10.(文)(2010·广东华南师大附中)已知圆C:
x2+y2-4x-6y+12=0,点A(3,5),求:
(1)过点A的圆的切线方程;
(2)O点是坐标原点,连结OA,OC,求△AOC的面积S.
[解析]
(1)⊙C:
(x-2)2+(y-3)2=1.
当切线的斜率不存在时,过点A的直线方程为x=3,C(2,3)到直线的距离为1,满足条件.
当k存在时,设直线方程为y-5=k(x-3),
即kx-y+5-3k=0,由直线与圆相切得,
=1,∴k=.
∴直线方程为x=3或y=x+.
(2)|AO|==,
直线OA:
5x-3y=0,
点C到直线OA的距离d=,
S=·d·|AO|=.
(理)(2011·兰州一诊)已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.
(1)求圆M的方程;
(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA、PB是圆M的两条切线,A、B为切点,求四边形PAMB面积的最小值.
[解析]
(1)设圆M的方程为:
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
根据题意,得,
解得a=b=1,r=2,
故所求圆M的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(2)因为四边形PAMB的面积
S=S△PAM+S△PBM
=|AM|·|PA|+|BM|·|PB|,
又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,
所以S=2|PA|,
而|PA|==,
即S=2.
因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可,
即在直线3x+4y+8=0上找一点P,
使得|PM|的值最小,
所以|PM|min==3,
所以四边形PAMB面积的最小值为
S=2=2=2.
11.(2011·西安模拟)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆中过点M(3,5)的最长弦、最短弦分别为AC、BD,则以点A、B、C、D为顶点的四边形ABCD的面积为( )
A.10B.20
C.30D.40
[答案] B
[解析] 圆的方程:
(x-3)2+(y-4)2=25,
∴半径r=5,
圆心到最短弦BD的距离d=1,
∴最短弦长|BD|=4,
又最长弦长|AC|=2r=10,
∴四边形的面积S=×|AC|×|BD|=20.
12.(2011·成都龙泉第一中学模拟)以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线-=1的两渐近线都相切的圆的方程为( )
A.x2+y2-20x+64=0
B.x2+y2-20x+36=0
C.x2+y2-10x+16=0
D.x2+y2-10x+9=0
[答案] C
[解析] 抛物线的焦点坐标是(5,0),双曲线的渐近线方程是3x±4y=0,
点(5,0)到直线3x±4y=0的距离d=3即为所求圆的半径.故所求圆的方程为(x-5)2+y2=9,
即x2+y2-10x+16=0,故选C.
13.(2010·浙江杭州市质检)已知A、B是圆O:
x2+y2=16上的两点,且|AB|=6,若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1,-1),则圆心M的轨迹方程是________.
[答案] (x-1)2+(y+1)2=9
[解析] ∵M是以AB为直径的圆的圆心,|AB|=6,
∴半径为3,
又⊙M经过点C,∴|CM|=|AB|=3,
∴点M的轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=9.
14.(文)(2010·天津文,14)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为__________.
[答案] (x+1)2+y2=2
[解析] 在直线方程x-y+1=0中,令y=0得,x=-1,∴圆心坐标为(-1,0),
由点到直线的距离公式得圆的半径
R==,
∴圆的标准方程为(x+1)+y2=2.
(理)(2010·金华十校)圆C的半径为1,圆心在第一象限,与y轴相切,与x轴相交于A、B,|AB|=,则该圆的标准方程是________.
[答案] (x-1)2+2=1
[解析] 如下图设圆心C(a,b),由条件知a=1,取弦AB中点D,则CD===,即b=,∴圆方程为(x-1)2+2=1.
15.(文)(2011·青岛模拟)已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.
(1)求证:
△OAB的面积为定值;
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.
[解析]
(1)证明:
∵圆C过原点O,∴OC2=t2+.
设圆C的方程是(x-t)2+2=t2+,
令x=0,得y1=0,y2=;
令y=0,得x1=0,x2=2t,
∴S△OAB=|OA|·|OB|=××|2t|=4,
即△OAB的面积为定值.
(2)∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|,
∴OC垂直平分线段MN.
∵kMN=-2,∴kOC=.
∴直线OC的方程是y=x.
∴=t,解得t=
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