初中数学二次函数中的面积问题教学设计学情分析教材分析课后反思.docx

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初中数学二次函数中的面积问题教学设计学情分析教材分析课后反思

《二次函数中的面积问题》之教学设计

【课标分析】

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

在整体要求的框架之下，本节课选取三点，一是知道二次函数中重点研究哪些问题，重点研究的是哪几个点，二是这五个点中，选取三个点组成的三角形的面积分为哪几类，每一类的解决方法是什么，如何利用转化的思想方法将不在坐标轴上的三角形的面积问题转化。

不同的方法中体会哪一种方法简单，准确率高，达到方法的最优化。

【教材分析】

在课程教材体系中的地位：

函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一。

二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。

在历届中考试题中，二次函数都是压轴题中不可缺少的内容。

二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

不同教材的内容处理：

新鲁教版对这节内容的处理方式是：

先将二次函数应用题中的利润问题，然后是面积问题。

面积问题通过不同的截取方法让学生掌握最值问题

新人教版对本节内容的处理方式：

先讲面积最大的问题，利用篱笆问题来引入，没有分类讨论，然后再讲授利润问题。

加上自建坐标系问题就是3课时。

数学核心素养的体现：

数学核心素养中，数学建模的思想和基本的运算能力是核心的，学生在本节课中要学会建立数学模型，培养思维的逻辑性和严谨性。

用数学的思维来分析世界，数学的语言来表达世界。

建模思想：

在模型的建立过程中，让学生自己去探究，分类，经历探究的过程的得到三边不在坐标轴上的三角形面积的求法，这样学生经历了知识的获得过程，对于结果的理解和方法的积累有很大的意义。

思维严谨，优化方法：

学生自己在分类和聚类的讨论中体会了方法，在各种方法的对比中知道每一种方法的弊端，进行方法的最优化选择。

【学情分析】

本班学生特点：

很活泼，思维很开拓，但是太过余粗心，很多学生计算基础比较薄弱。

为了本节课的面积问题中的计算做基础，在课前先复习二次函数中关于顶点坐标和与x轴和y轴交点的求法，对于一元二次方程的解法进行基本方法的复习，但是学生还是计算出错多。

二次函数中相关的性质掌握的不够熟练。

学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。

学生的分析、理解能力较学习新课时有明显提高。

 学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力。

 学生能力差异较大，两极分化明显。

尤其是计算能力的差异很大。

造成在做题的过程中，学生用的时间不一样，有的学生计算比较慢而且出错很多。

在做题过程中学生辅助线和语言规范性上也需要提高。

【教学设计】

课题：

二次函数中的面积问题

教学目标：

1.掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标,从而得出相关线段的长,利用割补法求图形的面积,会将三边都不在坐标轴上的三角形的面积问题转化为一边或者两边在坐标轴，或者和坐标轴平行的图形面积问题.

2.通过解决二次函数背景下的三角形面积问题,体会数形结合思想和转化思想，建模思想。

3.通过解决已知三角形的面积关系得出相关线段的长,从而求出点的坐标的问题,体会分类讨论思想和数形结合思想的应用.

教学重点：

1.会利用割或者补或者等积法将三边不在坐标轴上的面积问题进行转化。

2.会进行方案的最优化

教学难点：

含有动点的三边不在坐标轴的三角形的面积问题的最值问题的处理。

教学过程

一、知识回顾，温故知新

【活动1】--教师播放数字故事

【活动1】--学生

边观看边思考，回顾所学内容，将知识梳理。

【活动1】--设计意图

对二次函数的性质和表达式进行复习回顾，建立知识框架，将知识进行梳理。

。

二、探究活动

【活动2】--教师

如图对于抛物线y=－

+2x+3，你可以提出来哪些问题？

【活动2】--学生

学生根据回顾可以回答出来，研究对称性，交点坐标，增减性，顶点坐标，教师追问，有交点坐标还可以求出来什么问题，学生想到可以求面积问题，进而将面积问题分类说出来哪些类型的面积问题，引入本节课的课题

【活动2】--设计意图

通过学生自己提出来面积问题，体会到有两边或者一边在坐标轴上的面积问题很简单的求出来，体会选择底或者高的原则。

进而为三边都不在坐标轴上的三角形的面积问题转化提供思路。

三、自主探究，学以致用

【活动3】--教师

已知抛物线y=－

+2x+3与x轴交于A,B两点，其中A点位于B点的左侧，与y轴交于C点，顶点为P，求

_______

【活动3】--学生

学生相互补充，补全解此类三角形面积问题的方法，黑板上讲解

【活动3】--设计意图

学生自己探究相互补充，对于体会如何添加辅助线和如何转化，选择底或者高有更加深刻的印象，

为了巩固这些方法，让学生运用所学的方法进行求

=_______

四、典型例题

【活动4】--教师

刚才研究的是三个定点，面积是定值，若使其中一个点动起来，面积存在最值，如何来求最值，

例题：

例题:

已知抛物线y=x2+bx+c经过B（﹣3，0）、A（1，0）两点与y轴的交点为点C，若P（直线BC的下方）是抛物线上第三象限一点，是否存在一点P，使得S△PBC的面积最大，若存在求出点P坐标。

【活动4】--学生

学生选择用不同的方法去做这个题目，有的学生运用补成一个梯形，矩形，有的利用割的方法，有的利用等积法，在处理点P的坐标的过程中，有的学生设出来坐标（x，y）有的学生代入解析式。

【活动4】---设计意图

通过不同方法的对比让学生体会割的方法和等级法比较简单，设点P的坐标时，不代入解析式简单。

体会和坐标轴平行的直线的距离的求法和方案的最优化

五、课堂小结当堂检测

【活动5】--教师

课堂小结：

学生总结出三边不在坐标轴上三角形的面积问题的处理方法，每种方法的注意事项，在利用坐标表示长度的小技巧。

如何避免计算量很大，方案的最优化，学会辅助线的添加和求面积问题时，底或者高的选择原则，学会数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法和转化的思想方法

【活动5】--学生。

学生在我的收获里梳理自己的知识和思想方法的收获。

。

【活动5】--设计意图

在师生相互补充的情况下，小结本节课的收获，让学生学会梳理知识，典型图形和方法。

【当堂检测】--检测学习情况

1、已知二次函数 y = 

－2x－8.x轴交于A、B两点，顶点为C，与y轴的交点为点D，则△ABC的面积为（）

2、根据这个题目你还可以改编成什么面积问题？

知识拓展

本节课我们只是研究了由着五个点组成的三角形的面积，若要求由着五个点组成的四边形的问题，应该如何来求来呢？

课下可以自己思考？

【设计意图】--当堂检测

检测学生的学习情况，运用所学知识，自己编题，开拓学生的思维，四个点的面积问题的研究，运用类比的方法可以研究，真正的让学生做到学以致用。

《二次函数中的面积问题》之学情分析

本班学生特点：

很活泼，思维很开拓，但是太过过于粗心，很多学生计算基础比较薄弱。

为了本节课的面积问题中的计算做基础，在课前先复习二次函数中关于顶点坐标和与x轴和y轴交点的求法，对于一元二次方程的解法进行基本方法的复习，但是学生还是计算出错多。

二次函数中相关的性质掌握的不够熟练。

学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图像及性质等基本知识。

学生的分析、理解能力较学习新课时有明显提高。

 学生学习数学的热情很高，思维敏捷，具有一定的自主探究和合作学习的能力。

 学生能力差异较大，两极分化明显。

尤其是计算能力的差异很大。

造成在做题的过程中，学生用的时间不一样，有的学生计算比较慢而且出错很多。

在做题过程中学生辅助线和语言规范性上也需要提高。

《二次函数中的面积问题》之效果分析

对本节课学习效果测评的数据统计如下：

测评数据统计

基础性测评

提升性测评

总人数

通过人数

通过率

通过人数

通过率

45

42

93%

33

73%

题目出错统计

基础性测评

出错数

提升性测评

出错数

45

2

5

5

10

3

5

4

6

测评结果分析：

本班共45人，基础测评第1题没有问题，学生能够掌握求x轴的交点，令y=0，解一个一元二次方程。

求与y轴的交点令x=0，得到交点的坐标，在第2题中学生对于顶点的坐标计算出错。

第三题的面积问题中有少数学生由于顶点的坐标求错，造成求面积的时候出错，在第4题中学生没有分类讨论，点P在抛物线上，可以在x轴的上方，可以在x轴的下方。

学生没有没有明白坐标和线段长度的区别，坐标可以有正有负，而线段的长度只能是正的，所以学生这个题目没有分类讨论，出错还是很多的。

在提升性测评中，学生大多数用的是分割的方法，能够注意过点P去作辅助线，还有就是如何选择底或者高的问题，在计算底的长度时候需要计算出来直线AD的解析式，还有少数同学发现利用等积法转化简单。

分割的方法不需要考虑坐标的正负，只需要纵坐标上减去下即可。

在等积法中注意线段的计算方法。

学生通过例题的研究很少的学生去补成梯形或者矩形的计算。

这样对于学生研究其他类型函数，一次函数和反比例函数的面积计算问题有很大的方法引领的作用。

让学生在分类和聚类，自己探究过程中学生解决面积问题，事半功倍。

《二次函数中面积问题》之教材分析

在课程教材体系中的地位：

函数是初等数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初等数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一。

二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。

在历届中考试题中，二次函数都是压轴题中不可缺少的内容。

二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。

二次函数的应用本身是学习二次函数的图象与性质后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。

不同教材的内容处理：

新鲁教版对这节内容的处理方式是：

先将二次函数应用题中的利润问题，然后是面积问题。

面积问题通过不同的截取方法让学生掌握最值问题

新人教版对本节内容的处理方式：

先讲面积最大的问题，利用篱笆问题来引入，没有分类讨论，然后再讲授利润问题。

加上自建坐标系问题就是3课时。

数学核心素养的体现：

数学核心素养中，数学建模的思想和基本的运算能力是核心的，学生在本节课中要学会建立数学模型，培养思维的逻辑性和严谨性。

用数学的思维来分析世界，数学的语言来表达世界。

建模思想：

在模型的建立过程中，让学生自己去探究，分类，经历探究的过程的得到三边不在坐标轴上的三角形面积的求法，这样学生经历了知识的获得过程，对于结果的理解和方法的积累有很大的意义。

思维严谨，优化方法：

学生自己在分类和聚类的讨论中体会了方法，在各种方法的对比中知道每一种方法的弊端，进行方法的最优化选择。

《二次函数中的面积问题》之评测练习

基础性测评：

已知二次函数y=x2-2x-3

1.与x轴交点A_______,B______,与y轴交点C______

2.对称轴是_________，顶点D坐标是__________

3、求△ABD的面积

4、点P是抛物线上的点，已知△ABP的面积为10，求点P的坐标。

提升性测评：

5、点P是抛物线上一点在A、D之间运动，且不与A、D重合，当点P在什么位置时，△ADP面积最大？

《二次函数中的面积问题》之课后反思

函数对于学生来说，本身就是一个难点，如何将复杂的图形简单化，让学生自己学会分析和处理问题，学会了本节课，对于函数中类似的问题都能迎刃而解是本节课的设计目的。

本节课我给学生一种框架的思想，让学生学会运用新基础教育中分类和聚类的思想方法来解决，让学生学会分类，教师收集资源，然后将资源整合，提出来问题。

然后针对于学生提出来的面积问题，将问题下放，重心下移，这样学生就能够很简单的学会将复杂的图形转化为简单的可求的图形的面积问题，收集学生的资源，学生自己展示和补充，可以通过割或者补的方式来解决这个问题，最后还有一个同学补充可以用等积法，学生通过思维的碰撞，将问题解决。

真正的实现重点下移，让学生自己去探究。

经历探究的过程，这样对于学生更加的透彻的掌握这类题目有很大的好处，对于学习一次函数和反比例函数中的面积问题也有很大的指导的作用。

本节课的缺点是，让学生落实的环节给学生的时间比较短，在例题的解答的过程中应该让学生多运用不同的方法去解决，最后体会到一个更加简单的方法，学生数学建模的思想比较薄弱。

《二次函数中的面积问题》之课标分析

新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析确定二次函数的表达式，体会其意义，能根据图象的性质解决简单的实际问题，而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对于面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作专题讲座，为求解最大利润等问题奠定基础。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关的应用问题。

此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

在整体要求的框架之下，本节课选取三点，一是知道二次函数中重点研究哪些问题，重点研究的是哪几个点，二是这五个点中，选取三个点组成的三角形的面积分为哪几类，每一类的解决方法是什么，如何利用转化的思想方法将不在坐标轴上的三角形的面积问题转化。

不同的方法中体会哪一种方法简单，准确率高，达到方法的最优化。