浙教版初中数学八年级下册《44 平行四边形的判定定理》同步练习卷.docx
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浙教版初中数学八年级下册《44平行四边形的判定定理》同步练习卷
浙教新版八年级下学期《4.4平行四边形的判定定理》
同步练习卷
一.解答题(共29小题)
1.如图,点E、F、G、H分别是凹四边形的边CD、BC、AB、DA的中点.
求证:
四边形EFGH是平行四边形.
2.如图所示,以△ABC的三边AB、BC、CA在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△CAF
请说明:
四边形ADEF为平行四边形.
3.如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,O是三角形内部一点,连接OB、OC,G、H分别是OC、OB的中点,试说明四边形DEGH是平行四边形.
4.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE,已知∠BAC=30°,EF⊥AB于点F,连接DF.
(1)求证:
AC=EF;
(2)求证:
四边形ADFE是平行四边形.
5.如图,△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB上的点,且CD=BF.
(1)求证:
△ACD≌△CBF;
(2)以AD为边作等边三角形△ADE,点D在线段BC上的何处时,四边形CDEF是平行四边形.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向点D以1cm/s的速度运动,到点D停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到点B即停止,直线PQ截四边形ABCD为两个四边形,问当P,Q同时出发.
(1)几秒后,四边形APQB为平行四边形.
(2)几秒后,四边形PDCQ为平行四边形.
7.如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F.
(1)求证:
AE=EP;
(2)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?
若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB垂足为D,AE平分∠CAB交CD于点F,交BC于点E,EH⊥AB,垂足为H,连接FH.
求证:
(1)CF=CE
(2)四边形CFHE是平行四边形.
9.如图,P是△ABC的边AB上一点,连接CP,BE⊥CP于E,AD⊥CP,交CP的延长线于D,试解答下列问题:
(1)如图①,当P为AB的中点时,连接AE,BD,证明:
四边形ADBE是平行四边形;
(2)如图②,当P不是AB的中点时,取AB中点Q,连接QD,QE,证明:
△QDE是等腰三角形.
10.已知:
如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的两点,且AE=CF,AF、DE相交于点N,BF、CE相交于点M.求证:
四边形EMFN是平行四边形.
11.如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,△ADE为等边三角形,且点E与点D在直线AC的两侧,点F在AB上(不与A,B重合)且∠AFE=∠B,EF与AB,AC分别相交于点F,G.
求证:
四边形BCEF是平行四边形.
12.已知:
如图,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:
四边形EFGH是平行四边形.
13.如图,E、F是△ABC的边AB、BC边的中点,在AC上取G、H两点,使AG=GH=HC,连接EG、FH并延长交于点D
求证:
四边形ABCD是平行四边形.
14.如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连结DE并延长至点F,使EF=AE,连结AF、BE和CF.
(1)请在图中找出一对全等三角形,并加以证明.
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由.
(3)若∠ABE=40°,求∠CFE的度数.
15.等边△ABC中,点D在BC上,点E在AB上,且CD=BE,以AD为边作等边△ADF,如图.求证:
四边形CDFE是平行四边形.
16.如图,ABCD为任意四边形,E、F、G、H依次为各边中点.
证明:
四边形EFGH为平行四边形.
17.△ABC中,中线BE、CF相交于O,M是BO的中点,N是CO的中点,
求证:
四边形MNEF是平行四边形.
18.如图所示,以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、△BCE、△ACF,猜想:
四边形ADEF是什么四边形,试证明你的结论.
19.如图,已知△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB边上的点,CD=BF,以AD为边作等边△ADE.
(1)△ACD和△CBF全等吗?
请说明理由;
(2)判断四边形CDEF的形状,并说明理由;
(3)当点D在线段BC上移动到何处时,∠DEF=30°.
20.如图,点B,C,F在同一直线上,AF∥DE,CG平分∠BCD,CD=6,BC=EF=4,AF=DE
(1)求AG的长;
(2)请你添加一个条件,使四边形AGCH是平行四边形,并简单说明理由.
21.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=12cm,BC=13cm,AB=9cm,动点M从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点N从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点M,N分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.经过多长时间,四边形MNCD是平行四边形?
求出此时四边形MNCD的面积.
22.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=8,BC=21,AD=16.动点P从点B出发,沿射线BC的方向以每秒2个单位长度的速度运动,动点Q从点A同时出发,在线段AD上以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设点Q运动的时间为t(秒).
(1)当t为何值时,以P,C,D,Q为顶点的四边形是平行四边形?
(2)分别求出当t为何值时,①PD=PQ,②DQ=PQ.
23.如图,点G在边BC上,△ABC和△AGF都是等边三角形,点E在边AC上,FE∥BC,EF和AB交于点D.
(1)求证:
四边形BCEF是平行四边形;
(2)求证:
四边形CDFG是平行四边形.
24.如图,四边形ABCD是平行四边形,∠EAD=∠DBC,∠AED=90°.
(1)求证:
AE∥BD;
(2)过点C作CF⊥BD于点F,连结EF,求证:
四边形EFCD是平行四边形.
25.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CD到E,使DE=CD,连接AE.
(1)求证:
四边形ABDE是平行四边形;
(2)连接OE,若∠ABC=60°,且AD=DE=4,求OE的长.
26.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,AE=CF,连接AF,BF,DE,CE,分别交于H、G.求证:
(1)四边形AECF是平行四边形.
(2)EF与GH互相平分.
27.已知:
如图,在△ABC中,D、E、F是分别是三边BC、AC、AB的中点,连接EF、AD.
(1)求证:
AD与EF互相平分;
(2)当△ABC满足什么条件时,AD与EF相等?
为什么?
28.已知▱ABCD,O是对角线AC与BD的交点,OE是△ABC的中位线,联结AE并延长与DC的延长线交于点F,联结BF.求证:
四边形ABFC是平行四边形.
29.如图,平行四边形ABCD中,点E、F分别是AD、BC的中点,G、H分别是对角线BD上的三等分点.
(1)求证:
△AGD≌△CHB;
(2)求证:
四边形GEHF是平行四边形.
浙教新版八年级下学期《4.4平行四边形的判定定理》2018年同步练习卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共29小题)
1.如图,点E、F、G、H分别是凹四边形的边CD、BC、AB、DA的中点.
求证:
四边形EFGH是平行四边形.
【分析】连接BD,利用三角形的中位线定理,证明EF∥HG,EF=HG即可;
【解答】证明:
连接BD.如图所示:
∵点E,F,G,H分别是CD,BC,AB,DA的中点,
∴EF是△BCD的中位线,GH是△ABD的中位线,
∴EF∥BD,EF=
BD,GH∥BD,GH=
BD,
∴EF∥GH,EF=GH,
∴四边形EFGH是平行四边形.
【点评】本题考查了平行四边形的判定方法、三角形中位线定理;熟练掌握平行四边形的判定方法,证明三角形中位线是解决问题的关键.
2.如图所示,以△ABC的三边AB、BC、CA在BC的同侧作等边△ABD、△BCE、△CAF
请说明:
四边形ADEF为平行四边形.
【分析】根据等边三角形的性质推出∠BCE=∠FCA=60°,求出∠BCA=∠FCE,证△BCA≌△ECF,推出AD=EF=AB,同理得出DE=AF,即可得出结论.
【解答】证明:
∵△BCE、△ACF、△ABD都是等边三角形,
∴AB=AD,AC=CF,BC=CE,∠BCE=∠ACF,
∴∠BCE﹣∠ACE=∠ACF﹣∠ACE,
即∠BCA=∠FCE,
在△BCA和△ECF中,
,
∴△BCA≌△ECF(SAS),
∴AB=EF,
∵AB=AD,
∴AD=EF,
同理:
△BDE≌△BAC,
∴DE=AF,
∴四边形ADEF是平行四边形.
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质,得出△BCA≌△ECF是解题关键.
3.如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,O是三角形内部一点,连接OB、OC,G、H分别是OC、OB的中点,试说明四边形DEGH是平行四边形.
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=
BC,GH∥BC且GH=
BC,从而得到DE∥GH,DE=GH,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可.
【解答】证明:
在△ABC中,
∵D、E分别是边AB、AC的中点,
∴DE
BC,
同理,在△OBC中,HG
BC,
所以,DE
HG,
所以,四边形DEGH是平行四边形.
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半,平行四边形的判定,熟记平行四边形的判定定理是解题的关键.
4.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD及等边三角形ABE,已知∠BAC=30°,EF⊥AB于点F,连接DF.
(1)求证:
AC=EF;
(2)求证:
四边形ADFE是平行四边形.
【分析】
(1)根据等边三角形的性质得出∠AEF=
∠AEB=30°,AE=AB,∠EFA=90°,求出∠AEF=∠BAC,∠EFA=∠ACB,根据AAS推出△AEF≌△BAC即可;
(2)根据等边三角形的性质得出AC=AD,∠DAC=60°,求出AD=EF,再求出AD∥EF,根据平行四边形的判定得出即可.
【解答】证明:
(1)∵△BAE是等边三角形,EF⊥AB,
∴∠AEF=
∠AEB=30°,AE=AB,∠EFA=90°,
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,
∴∠AEF=∠BAC,∠EFA=∠ACB,
在△AEF和△BAC中
∴△AEF≌△BAC,
∴AC=EF;
(2)∵△ACD是等边三角形,
∴AC=AD,∠DAC=60°,
由
(1)的结论得AC=EF,
∴AD=EF,
∵∠BAC=30°,
∴∠FAD=∠BAC+∠DAC=90°,
∵∠EFA=90°,
∴AD∥EF,
∵AD=EF,
∴四边形ADFE是平行四边形.
【点评】本题考查了平行四边形的性质,等边三角形的性质,全等三角形的性质和判定,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.
5.如图,△ABC为等边三角形,D、F分别为BC、AB上的点,且CD=BF.
(1)求证:
△ACD≌△CBF;
(2)以AD为边作等边三角形△ADE,点D在线段BC上的何处时,四边形CDEF是平行四边形.
【分析】
(1)直接利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案;
(2)根据全等三角形的性质得出∠BCF=∠DAC,AD=CF,求出DE=CF,求出∠BDE=∠BCF,推出DE∥CF,根据平行四边形的判定推出即可.
【解答】
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠ACD=60°,AC=BC,
在△ACD和△CBF中
,
∴△ACD≌△CBF(SAS);
(2)解:
D点在任意位置,四边形CDFE是平行四边形,
∵△ACD≌△CBF,
∴∠BCF=∠DAC,AD=CF,
∵AD=DE,
∴DE=CF,
∵∠ACD=∠ADE=60°,∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠ACD+∠DAC,
∴60°+∠DAC=60°+∠BDE,
∴∠DAC=∠BDE,
∵∠BCF=∠DAC,
∴∠BDE=∠BCF,
∴DE∥CF,
∵DE=CF,
∴四边形CDEF的形状是平行四边形.
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质等知识,正确应用等边三角形的性质是解题关键.
6.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向点D以1cm/s的速度运动,到点D停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到点B即停止,直线PQ截四边形ABCD为两个四边形,问当P,Q同时出发.
(1)几秒后,四边形APQB为平行四边形.
(2)几秒后,四边形PDCQ为平行四边形.
【分析】
(1)设t秒后四边形APQB为平行四边形,则AP=t,CQ=2t,BQ=30﹣2t,根据平行四边形的判定当AP=BQ时,四边形APQB为平行四边形,则t=30﹣2t,然后解关于t的方程即可;
(2)设t秒后四边形PDCQ为平行四边形,则AP=t,CQ=2t,PD=24﹣t,根据平行四边形的判定当DP=CQ时,四边形PDCQ为平行四边形,则24﹣t=2t,然后解关于t的方程即可.
【解答】解:
(1)设t秒后四边形APQB为平行四边形,
则AP=t,CQ=2t,BQ=30﹣2t,
∵AP∥BQ,
∴当AP=BQ时,四边形APQB为平行四边形,
即t=30﹣2t,解得t=10,
答:
10秒后四边形APQB为平行四边形;
(2)设t秒后四边形PDCQ为平行四边形,
则AP=t,CQ=2t,PD=24﹣t,
∵DP∥CQ,
∴当DP=CQ时,四边形PDCQ为平行四边形,
即24﹣t=2t,解得t=8,
答:
8秒后四边形PDCQ为平行四边形.
【点评】本题考查了平行四边形的判断:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
7.如图,在边长为3的正方形ABCD中,点E是BC边上的点,BE=1,∠AEP=90°,且EP交正方形外角的平分线CP于点P,交边CD于点F.
(1)求证:
AE=EP;
(2)在AB边上是否存在点M,使得四边形DMEP是平行四边形?
若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)在AB上取BN=BE,连接EH,根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECP,从而得到AE=EP;
(2)先证△DAM≌△ABE,进而可得四边形DMEP是平行四边形.
【解答】
(1)证明:
在AB上截取BN=BE,如图1所示:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠B=90°.
∴AN=EC,∠1=∠2=45°.
∴∠4=135°.
∵CP为正方形ABCD的外角平分线,
∴∠PCE=135°.
∴∠PCE=∠4.
∵∠AEP=90°,
∴∠BEA+∠3=90°.
∵∠BAE+∠BEA=90°,
∴∠3=∠BAE.
∴△ANE≌△ECP.
∴AE=EP
(2)解:
存在点M使得四边形DMEP是平行四边形.理由如下:
过点D作DM∥PE,交AE于点K,交AB于点M,连接ME、DP.
∴∠AKD=∠AEP=90°.
∵∠BAD=90°,
∴∠ADM+∠AMD=90°,∠MAK+∠AMD=90°.
∴∠ADM=∠MAK.
∵AD=AB,∠B=∠DAB,
∴△AMD≌△BEA.
∴DM=AE.
∴DM=EP.
∴四边形DMEP为平行四边形.
【点评】此题主要考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,以及平行四边形的判定,解决问题的关键是要熟练掌握正方形的性质及三角形相似的判定和性质,
8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB垂足为D,AE平分∠CAB交CD于点F,交BC于点E,EH⊥AB,垂足为H,连接FH.
求证:
(1)CF=CE
(2)四边形CFHE是平行四边形.
【分析】
(1)利用垂直的定义结合角平分线的性质以及互余的性质得出∠4=∠5,进而得出答案;
(2)根据题意分别得出CF∥EH,CF=EH,进而得出答案.
【解答】证明:
(1)如图所示:
∵∠ACB=90°,CD⊥AB垂足为D,
∴∠1+∠5=90°,∠2+∠3=90°,
又∵∠AE平分∠CAB,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠5,
∵∠3=∠4,
∴∠4=∠5,
∴CF=CE;
(2)∵AE平分∠CAB,CE⊥AC,EH⊥AB,
∴CE=EH,
由
(1)CF=CE,
∴CF=EH,
∵CD⊥AB,EH⊥AB,
∴∠CDB=90°,∠EHB=90°,
∴∠CDB=∠EHB,
∴CD∥EH,
即CF∥EH,
∴四边形CFHE是平行四边形.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、角平分线性质等知识点的应用,熟练应用等腰三角形的性质是解题关键.
9.如图,P是△ABC的边AB上一点,连接CP,BE⊥CP于E,AD⊥CP,交CP的延长线于D,试解答下列问题:
(1)如图①,当P为AB的中点时,连接AE,BD,证明:
四边形ADBE是平行四边形;
(2)如图②,当P不是AB的中点时,取AB中点Q,连接QD,QE,证明:
△QDE是等腰三角形.
【分析】
(1)首先证明△ADP≌△BEP可得DP=EP,再由AP=BP可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形ADBE是平行四边形;
(2)首先证明△ADQ≌△BFQ可得DQ=QF,再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得QE=QF=QD,进而可得结论.
【解答】证明:
(1)∵P为AB中点,
∴AP=BP,
∵BE⊥CP,AD⊥CP,
∴∠ADP=∠BEP=90°,
∵∠APD=∠BEP,
∴在△ADP和△BEP中:
∴△ADP≌△BEP(AAS),
∴DP=EP,
∴四边形ADBE是平行四边形;
(2)如图②,延长DQ交BE于F,
∵AD∥BE,
∴∠DAQ=∠BFQ,
在△ADQ和△BFQ中,
,
∴△DAQ≌△FBQ(AAS),
∴DQ=QF,
∵BE⊥DC,
∴QE是直角三角形DEF斜边上的中线,
∴QE=QF=QD,即DQ=QE,
∴△QDE是等腰三角形.
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定,直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形.
10.已知:
如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的两点,且AE=CF,AF、DE相交于点N,BF、CE相交于点M.求证:
四边形EMFN是平行四边形.
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD,AB=CD,再由AE=CF,得出BE=DF,证出四边形AECF、四边形BEDF是平行四边形,得出对边平行AF∥EC,DE∥BF,即可得出结论.
【解答】证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
∴AE∥CF,BE∥DF,
∵AE=CF,
∴BE=DF,
∴四边形AECF、四边形BEDF是平行四边形,
∴AF∥EC,DE∥BF,
∴四边形EMFN是平行四边形.
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的性质与判定方法,并能进行推理论证是解决问题的关键.
11.如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,△ADE为等边三角形,且点E与点D在直线AC的两侧,点F在AB上(不与A,B重合)且∠AFE=∠B,EF与AB,AC分别相交于点F,G.
求证:
四边形BCEF是平行四边形.
【分析】易证△ABD≌△ACE,则有全等三角形的对应角相等、平行线的判定得到BF∥EC.由于∠AFE=∠B,则EF∥BC.故四边形BCEF为平行四边形.
【解答】证明:
如图,∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
∴在△ABD与△ACE中,
,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠B=∠ACE=60°,
∴∠B+∠ACB+∠ACE=180°,
∴BF∥CE.
又∵∠AFE=∠B,
∴EF∥BC.
∴四边形BCEF为平行四边形.
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的判定,考查的知识点比较多,但难度不算很大.
12.已知:
如图,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证:
四边形EFGH是平行四边形.
【分析】首先连接BD,根据三角形中位线定理可得HE∥DB,HE=
BD,GF=
DB,FG∥DB,进而得到FG∥HE,GF=HE,然后再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得到结论.
【解答】证明:
连接BD,
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,
∴HE∥DB,HE=
BD,GF=
DB,FG∥DB,
∴FG∥HE,GF=HE,
∴四边形EFGH是平行四边形.
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理,以及平行四边形的判定,关键是掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
13.如图,E、F是△ABC的边AB、BC边的中点,在AC上取G、H两点,使AG=GH=HC,连接EG、FH并延长交于点D
求证:
四边形ABCD是平行四边形.
【分析】连接BD交AC于O,连结BG,BH,首先证得四边形BHDG是平行四边形得到AO=OC,然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定即可.
【解答】证明:
连接BD交AC于O,连结BG,BH,
∵E是AB中点,AG=GH,
∴EG是△ABH的一条中位线,
∴EG∥BH,即GD∥BH,
同理可证BG∥DH,
∴四边形BHDG是平行四边形.
∴BO=OD,GO=OH,
又∵AG=HC,
∴AG+GO=HC+OH,
即AO=OC,
又∵BO=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形
【点评】本题考查了平行四边形的判定,解题的关键是正确的作出辅助线并牢记平行四边形的判定定理,难度不大.
14.如图,已知△ABC是等边三角形,D、E分别在边BC、AC上,且CD=CE,连结DE并延长至点F,使EF=AE,连结AF、BE和CF.
(1)请在图中找出一对全等三角形,并加以证明.
(2)判断四边形ABDF是怎样的四边形,并说明理由.
(3)若∠ABE=40°,求∠CFE的度数.
【分析】
(1)根据已知条件可以判定△ABC、△DCE均为等边三角形,由等边三角形的三个内角相等、三条边相等,利用全等三角形的判定定理SAS可以证得结论;
(2)四边形ABDF是平行四边形;利用
(1)中的三个等边三角形△ABC、△AEF、△DCE可以推知同位角∠CDE=∠ABC,内错角∠CDE=∠EFA.所以利用平行的线的判定定理可以证得四边形ABDF的对边相互平行;
(3)利用全等三角形的性质以及等边三角形的性质得出即可.
【解答】
(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=BC=AB,∠ACB=60°;
又∵CD=CE,
∴△EDC是等
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