第27届亚太初赛四年级详解1.docx
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第27届亚太初赛四年级详解1
2016年第27届亚太小学奥林匹克
(上海赛区初赛)四年级A卷
90分钟
(总分:
150分)
2015年12月21日
下午18:
30-20:
00
(注意事项)
1尽量解答所有问题。
2不准使用数学用表或计算器。
3答案请另填写在所提供的第一回合的作答卷上。
4只有正确答案才能得分。
【第1题】
47⨯25⨯8=。
【分析与解】
计算,乘法结合律。
47⨯25⨯8=47⨯25⨯(4⨯2)=(25⨯4)⨯(2⨯47)=100⨯94=9400
【第2题】
对于任何两个数a和b,定义新预案算“⊕”为:
a⊕b=a⨯b-1,那么(5⊕3)⊕2=。
【分析与解】定义新运算。
5⊕3=5⨯3-1=14;
(5⊕3)⊕2=14⊕2=14⨯2-1=27。
【第3题】
一队学生站成19行19列的方阵,去掉5行5列,变成一个14行14列的方阵,要减少学生。
【分析与解】方阵问题。
要减少19⨯19-14⨯14=361-196=165学生。
如图,每个小方格都是边长为1的正方形,图中有个含有阴影小方格的正方形。
【分析与解】图形计数。
含有阴影的1⨯1的小方格有1;含有阴影的2⨯2的小方格有2;
含有阴影的3⨯3的小方格有2;
图中有1+2+2=5个含有阴影小方格的正方形。
如图,正方形ABCD的边长是4厘米,现在把它分成四个小长方形,长方形AEOG与长方形FCHO这2个小长方形的周长之和厘米。
O
AGD
EF
BHC
【分析与解】
几何,巧求周长。
AGD
EF
BHC
由线段平移,可得C长方形AEOG+C长方形FCHO=C正方形ABCD=a正方形ABCD⨯4=4⨯4=16厘米。
【第6题】
小马虎在做一道加法题时,把一个加数十位上的6与个位的9看反了,结果和是174,那么正确的结果应该是。
【分析与解】
把一个加数十位上的6与个位的9看反了;即相当于把“+69”看成“+96”;
故正确的结果应该是174-96+69=147。
小明家的小狗喝水时间很规律,每隔5分钟喝一次水,第一次喝水的时间是8点整,当小狗第20次喝水时,时间是。
【分析与解】间隔问题。
第1次喝水到第20次喝水间隔时间为5⨯(20-1)=95分钟;
95分=1小时35分;
故当小狗第20次喝水时,时间是9点35分。
【第8题】
若干名学生参加跳远和游泳比赛,其中跳远比赛获奖的有16人,游泳比赛获奖的20人,两项比赛都获奖的有7人。
那么有名学生获奖。
【分析与解】容斥原理。
由容斥原理,有16+20-7=29名学生获奖。
【第9题】
192015表示2015个19连乘,那么所得的积的末位数字是。
【分析与解】
数论,余数与周期。
191≡9(mod10)、192≡1(mod10):
故19n的末位数字以“9,1”为周期;2015÷2=10071;
故192015≡191≡9(mod10);即192015的末位数字是9。
【第10题】
3+5+7++2015的结果。
(填写“奇数”或“偶数”)
【分析与解】数论,奇偶性。
3,5,7,…,2015一共有(2015-3)÷2+1=1007个奇数;
奇数个奇数的和为奇数;
故3+5+7++2015的结果是奇数。
十进制(23)在六进制中表示为(35),(135)+(12)=()。
1066610
【分析与解】
数论,进制与位值。
(方法一)
(135)
=(1⨯62+3⨯61+5⨯60)
=(1⨯36+3⨯6+5⨯1)
=(59);
(12)
6
=(1⨯61+2⨯60)
10
=(1⨯6+2⨯1)=(8);
1010
610
(59)+(8)=(67);
1010
101010
故(135)
+(12)=(67)。
6610
(方法二)
666
(135)+(12)=(151);
(151)=(1⨯62+5⨯61+1⨯60)
=(1⨯36+5⨯6+1⨯1)=(67);
6
故(135)
10
+(12)=(67)。
1010
6610
【第12题】
用加减乘除四则运算及添括号将1、2、7、7四个数列式计算得到24。
(每个数都要用一次且只能用一次)
。
【分析与解】计算,算24点。
(7⨯7-1)÷2=24
如图正方形ABCD边长是12厘米,长方形EFGH的长为10厘米,宽为6厘米,阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是平方厘米。
A
DH
G
BC
【分析与解】
几何,巧求面积。
根据差不变性质:
S-S=S-S=122-10⨯6=144-60=84平方厘米。
阴影部分甲阴影部分乙
正方形ABCD
长方形EFGH
【第14题】
小敏有140元,小花有100元,小花给小敏元,小敏的钱数就是小花的2倍多3元。
【分析与解】和倍问题。
(方法一)
小花给小敏钱之后,两人的总钱是不变,为140+100=240元;
小花给小敏钱之后,小敏的钱数就是小花的2倍多3元,小花有(240-3)÷(1+2)=79元;故小花给小敏100-79=21元。
(方法二)
设小花给小敏x元,小敏的钱数就是小花的2倍多3元;则由题意,得2(100-x)+3=140+x;
解得x=21;
故小花给小敏21元。
六位数5179□2能被11整除,那么这个六位数是。
【分析与解】数论,整除。
如果一个正整数能被11整除,那么这个数奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。
因为5179□2能被11整除;
所以(1+9+2)-(5+7+□)=□能被11整除;
所以□=0;
故这个六位数是517902。
【第16题】
小明家养了一些鸡和兔子,同时养在一个笼子里,小明数了数,它们共有35个头,110只脚,那么小明家养了只兔子。
【分析与解】鸡兔同笼。
(方法一)
假设全是鸡,那么有35⨯2=70只脚,比实际少110-70=40只脚;
每只鸡比每只兔子少4-2=2只脚;
故小明家养了40÷2=20只兔子。
(方法二)
假设全是兔,那么有35⨯4=140只脚,比实际多140-110=30只脚;
每只兔子比每只鸡多4-2=2只脚;
故小明家养了30÷2=15只鸡,35-15=20只兔子。
(方法三)
设小明家养了x只鸡,y只兔子;
⎧x+y=35
⎩
根据题意,得⎨2x+4y=110;
⎧x=15
⎩
解得⎨y=20;
故小明家养了20只兔子。
小红今年6岁,爸爸36岁,年后爸爸的年龄是小红的3倍。
【分析与解】年龄问题。
(方法一)
年龄问题,年龄差不变;
爸爸和小红的年龄差为36-6=30岁;
当爸爸的年龄是小红的3倍时,小红的年龄为30÷(3-1)=15岁;故15-6=9年后爸爸的年龄是小红的3倍。
(方法二)
设x年后爸爸的年龄是小红的3倍;由题意,得3(6+x)=36+x;
解得x=9;
故9年后爸爸的年龄是小红的3倍。
【第18题】
甲、乙两车从相距770千米的两地相向而行,甲车每小时行45千米,乙车每小时行41千米,乙车先出发2
小时后,甲车才出发。
甲车行小时后与乙车相遇。
【分析与解】
行程问题,相遇问题。
乙车先出发2小时,行驶的路程为41⨯2=82千米;故甲车行(770-82)÷(45+41)=8小时后与乙车相遇。
【第19题】
黑色的绒布袋子中放着四种颜色的小球,其中红球8个,白球9个,黄球10个,蓝球11个,至少要取
个球才能保证有三个球的颜色是一样的。
【分析与解】
抽屉原理,最不利原则。
根据最不利原则,先每种颜色的球各取2个,再取1个球,才能保证有三个球的颜色是一样的;故至少要取2⨯4+1=9个球才能保证有三个球的颜色是一样的。
【第20题】
小宝去给小贝买生日礼物,商店里卖的东西中,有不同的玩具8种,不同的课外书20本,不同的纪念品10
种。
那么,小宝买一种礼物可以有种不同的选法。
【分析与解】
计数,加法原理。
小宝买一种礼物可以有8+20+10=38种不同的选法。
把330个苹果、240个桔子平均分给小朋友,分完后苹果剩下10个,桔子正好分完,那么最多有
个小朋友。
【分析与解】
数论,约数,余数。
330个苹果平均分给小朋友,分完后苹果剩下10个,则小朋友的人数是330-10=320的约数;
240个桔子平均分给小朋友,桔子正好分完,则小朋友的人数是240的约数;所以小朋友的人数是(320,240)=80的约数;
故最多有80个小朋友。
【第22题】
有9个小长方形,它们的长和宽分别相等,用这9个小长方形拼成的大长方形(如图)的周长是290厘米,那么每个小长方形的面积是平方厘米。
【分析与解】
几何,等量代换。
设小长方形的长为x厘米、宽为y厘米;
则大长方形的长为4x=5y厘米,宽为(x+y)厘米;
⎪⎧4x=5y
或⎧⎪
4x=5y
;
⎨2⎡4x+(x+y)⎤=290⎨2⎡5y+(x+y)⎤=290
⎩⎪⎣⎦⎩⎪⎣⎦
⎧x=25
⎩
解得⎨y=20;
每个小长方形的面积是25⨯20=500平方厘米。
由于天气逐渐冷起来,牧场上的草不仅不长,反而以固定的速度在减少。
如果某块草地上的草可供25头牛
吃4天,或可供16头牛吃6天,那么可供10头牛吃天。
【分析与解】牛吃草问题。
设1头牛1天吃1份;
25头牛4天吃25⨯4=100份;
16头牛6天吃16⨯6=96份;
草每天减少(100-96)÷(6-4)=2份;
牧场原有草量为(25+2)⨯4=108或(16+2)⨯6=108份;这片牧场可供10头牛吃108÷(10+2)=9天。
【第24题】
园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树。
他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑,当挖完
30个坑时,突然接到通知:
改为每隔5米栽一颗树。
这样,他们还要挖个坑才能完成任务。
【分析与解】
植树问题,约数。
周长300米的圆形花坛,每隔5米挖一个坑,需要挖300÷5=60个坑。
其中已经挖了30个坑,这段长度为3⨯(30-1)=87米;
每[3,5]=15米的坑不用重新再挖;
87÷15=512,这种不用再挖的坑有5+1=6个;
故他们还要挖60-6=54个坑才能完成任务。
【第25题】
由数字1,2,7可以组成个无重复数字的自然数。
【分析与解】
计数,乘法原理,加法原理。
一位数有3个:
1、2、7;
两位数有3⨯2=6个:
12、17、21、27、71、72;
三位数有3⨯2⨯1=6个:
127、172、217、271、712、721;
由数字1,2,7可以组成3+6+6=15个无重复数字的自然数。
甲、乙二人沿着同一条200米的跑道赛跑,甲由起跑线上起跑,乙在甲后20米处起跑,当甲离终点还有20
米时,乙追上甲,那么当乙跑到终点时,甲离终点还有米。
【分析与解】
行程问题,比例行程。
甲跑200-20=180米,乙跑200+20-20=200米;
甲、乙两人的速度比v甲:
v乙=180:
200=9:
10;
故当乙跑到终点时,乙跑了200+20=220米,甲跑了220÷10⨯9=198米,甲离终点还有200-198=2米。
【第27题】
在1~100的全部自然数中(包括1和100),不是5的倍数也不是7的倍数的数有个。
【分析与解】
在1~100的全部自然数中(包括1和100),100÷5=20个,5的倍数有20个;
100÷7=142,7的倍数有14个;
[5,7]=35,100÷35=230,既是5的倍数又是7的倍数有2个;
5的倍数或7的倍数有20+14-2=32个;
不是5的倍数也不是7的倍数的数有100-32=68个。
【第28题】
某班的小书库里有A、B、C、D四类书,规定每个同学最多可以借两本,这个班有45名同学。
那么至少有个同学所借的书类型完全相同?
(不能不借)
【分析与解】抽屉原理。
【理解方式1】
1种类型的书有4种:
A或AA、B或BB、C或CC、D或DD;
4
2种类型的书有C2=6种:
AB、AC、AD、BC、BD、CD;借书类型不同的一共有4+6=10种;
45÷10=45;
由抽屉原理,至少有4+1=5个同学所借的书类型完全相同。
【理解方式2】
1本书有4种:
A、B、C、D;
2本相同的书有4种:
AA、BB、CC、DD;
4
2种不同的书有C2=6种:
AB、AC、AD、BC、BD、CD;借书类型不同的一共有4+4+6=14种;
45÷14=33;
由抽屉原理,至少有3+1=4个同学所借的书类型完全相同。
掷出2个骰子,将2个骰子掷出的点数相加,和最有可能得到的数字是。
(每个骰子是正方体,6
个面上分别是1到6,例如:
第一个骰子掷出3,第二个骰子掷出5,那么两个点数的和就是8)
【分析与解】
点数和
情况
种数
2
1+1
1
3
1+2、2+1
2
4
1+3、2+2、3+1
3
5
1+4、2+3、3+2、4+1
4
6
1+5、2+4、3+3、4+2、5+1
5
7
1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1
6
8
2+6、3+5、4+4、5+3、6+2
5
9
3+6、4+5、5+4、6+3
4
10
4+6、5+5、6+4
3
11
5+6、6+5
2
12
6+6
1
和最有可能得到的数字是7。
有一些2n位数具有如下性质:
将其从正中间断开,可以得到两个n位数(当然,第二个数的首位可能为0),
这个2n位数恰好是两个n位数和的平方。
例如:
81=(8+1)2,9801=(98+01)2,494209=(494+209)2。
那么除了9801外,具有该性质的四位数是。
(写出一个即可)
【分析与解】
数论。
设这个是四位数abcd;
因为abcd=ab⨯100+cd=ab⨯99+(ab+cd)=(ab+cd)2;所以ab⨯99=(ab+cd)2-(ab+cd)=(ab+cd)(ab+cd-1);
因为99=32⨯11=9⨯11,而且ab+cd、ab+cd-1互质;
所以ab+cd、ab+cd-1中必有一个是11的倍数,也必有一个是9的倍数;由于100⨯(100-1)=9900,101⨯(101-1)=10100;
故ab+cd≤99。
⑴当ab+cd是11的倍数时;
ab+cd
ab+cd-1
11
10
22
21
33
32
44
43
55
54
66
65
77
76
88
87
99
98
其中符合条件的是⎧⎪
ab+cd=55
或⎧⎪
ab+cd=99
;
⎨
⎪⎩ab+cd-1=54
⎨
⎪⎩ab+cd-1=98
所以abcd=552=3025或abcd=992=9801。
⑵当ab+cd-1是11的倍数时;
ab+cd-1
ab+cd
11
12
22
23
33
34
44
45
55
56
66
67
77
78
88
89
其中符合条件的是⎧⎪
ab+cd=45
;
⎨
⎪⎩ab+cd-1=44
所以abcd=452=2025;
所以abcd=2025或3025或9801。
故此题答案为2025或3025。
(写出一个即可)
【背景】
将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数,如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数,则称这个2n位数为卡布列克(Kabulek)怪数。
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- 27 亚太 初赛 四年级 详解