第六讲解决问题.docx
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第六讲解决问题.docx
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第六讲解决问题
第1讲解决“和、差、倍的问题
一、和倍问题,顾名思义就是已知大小两个数的和以及这两个数之间的倍数关系,求这两个数分别是多少的应用题。
这部分内容主要涉及这样几个数量:
和、一份数(或一倍量)、倍数、大数、小数。
其数量关系式是:
量数之和÷(大数份数+小数份数)=一份数(小数)
一份数×倍数=几倍数(大数)或两数之和-小数
解答这类应用的关键是把小数作为标准数(一份),再确定大数是几份,求出份数之和,最后求出大、小数。
解答这类应用题常用的方法是画线段图。
例1、甲、乙二人共加工零件100个,乙加工的零件个数是甲的4倍。
甲、乙各加工零件多少个?
@分析:
关键是确定1份这个标准量。
如果把甲加工零件个数看作1份,则乙就应该是4个1份,也就是4份,甲和乙的份数之和就是5份(1+4),用两数之和除以两数份数之和就可以求1份量,就是甲是多少,然后再求出4份是多少,也就是乙加工的零件个数。
解:
例2、某校学生共植树160棵,其中男生植树的棵树是女生植树棵树的2倍多10棵。
男、女生各植树多少棵?
@分析:
女生植树棵树是1倍量,男生植树棵树是女生植树棵树的2倍,还多10棵。
如果从总数中去掉10棵,即160-10=150(棵),150棵对应的就是1+2=3倍,即可转化为例1形式,从而先求出女生植树棵数。
解:
例3、鸡和鸭共180只,其中鸡是鸭的3倍少20只。
鸡和鸭各多少只?
@分析:
把鸭的只数看作1倍量,如果把鸡的只数也增加了20只,那么鸡的只数就正好是鸭的3倍,这时,鸡和鸭的总只数也增加了20只,变成180+20=200(只),正好是鸭的只数的4倍,从而求出鸭的只数。
也可以理解为:
鸡和鸭的总数180只加上少的20只(180+20=200只)以后,总只数正好是鸭的只数的4倍,从而求出鸭的只数。
解:
例4、学校图书馆买来文艺书和科技书共480本,其中科技书比文艺书多2倍。
文艺书和科技书各多少本?
@分析:
文艺书为1倍量,科技书比文艺书多2个1倍量,相当于文艺书的1+2=3倍。
总本数480本对应的应是1+1+2=4倍,就可以求出文艺书的本数。
例5、甲、乙两数之和是420,其中甲的个位是0,若把0去掉,则甲是乙的2倍。
甲、乙各是多少?
@分析:
已知甲的个位是0,若把0去掉,要是甲和乙相等,说明甲是乙的10倍。
而此时,甲还是乙的2倍,说明甲应该乙的20倍(10×2),把乙作为1倍量,则甲、乙份数之和应是1+20=21,即21份对应总和420,用除法即可求出乙数,乙的20倍就是甲数。
解:
二、差倍问题,顾名思义就是已知两个数的差以及这两个数之间的倍数关系,求这两个数各是多少的电信应用题。
它是应用两数相差多少也就是这两个相差几倍,从而推出一倍数是多少。
本讲主要涉及差、倍数、大数、小数、1倍数几个概念。
差倍问题的解题思路与和倍问题相似,先要确定1倍量,然后找到两数的差以及对应的份数,再用差除以它所对应的份数,求出一份数,然后再求出另一个数。
解题关键是找出两个数的差以及份数的差,求出份是多少。
基本公式:
差÷(倍数-1)=1倍数(小数)
小数×倍数=大数
例1、爸爸比小明大24岁,爸爸的年龄是小明年龄的4倍,爸爸和小明的年龄各是多少岁?
@分析:
把小明年龄看作1倍量,爸爸的年龄就是4倍量,爸爸比小明多4-1=3(倍),又知道爸爸比小明的年龄多24岁。
由此可知,多的3倍正好是24岁,就能求出1倍量是多少,也就是小明的年龄,然后再求出爸爸的年龄是多少岁。
解:
例2、鸡的只数比鸭的只数多250只,鸡的只数是鸭的只数的3倍多50只,鸡、鸭各是多少只?
@分析:
把鸭的只数看作1倍量,如果把鸡的只数减去50只,那么鸡的只数就比鸭的只数多250-50=200(只),鸡比鸭多3-1=2倍,200只对应的是2倍,可以求出1倍量即鸭的只数,进而求出鸡的只数。
解:
例3、苹果树比梨子树多28棵,而且苹果树比梨树的3倍少12棵。
苹果树、梨树各多少棵?
@分析:
苹果树比梨树多28棵,如果苹果树再增加12棵,苹果树就比梨树多28+12=40(棵),这时苹果树就是梨树的3倍,苹果树就比梨树多3-1=2(倍),2倍多40棵,就可以求出1倍量,也就是梨树的棵数,进而可以求出苹果树棵数。
例4、第一根电线长36米,第二根电线长24米。
两根电线用去同样的长度后,第一根电线剩下的长度的3倍。
两根电线各剩下多少?
@分析:
在没用去之前,第一根电线比第二根电线长36-24=12米,因为两根电线用去的长度相等,所以第一根电线剩下的长度仍然比第二根电线剩下的长度多12米,把第二根电线剩下的长度作为1倍量,第一根电线剩下的长度就是3倍量,第一根电线剩下的长度比第二根剩下的长度多3-1=2倍,用两数差12÷2=6(米)就是第二根电线剩下的长度。
解:
例5、甲桶内有油120千克,乙桶内有油30千克。
现在给甲、乙加入同样多的油后,甲桶内油的重量是乙桶内油的重量的3倍。
甲、乙各加入多少千克油?
@分析:
加入油之前,甲桶比乙桶多120-30=90(千克),因为加入的油重量相等,所以加入油后,甲桶还是比乙桶多90千克,而此时,甲桶油重量是乙桶油重量的3倍,甲桶油应比乙桶油重量多3-1=2倍,用90÷2即可求出1倍的量,即乙桶加入以后重多少,然后再求出加入了多少千克。
解:
三、和差的问题:
已知两个数的和与它们的差,求这两个数各是多少的应用题,叫做和差应用题。
这部分内容涉及和、差、大数、小数几个基本概念。
解题的基本方法是:
(和+差)÷2=大数和-大数=小数
(和-差)÷2=小数和-小数=大数
解答和差应用题的关键:
首先找出两个数的和是多少,再找出这两个数的差是多少,然后用两数的和加上两数的差就等于大数的2倍,除以2可求出大数;两数的和减去两数的差就等于小数的2倍,除以2可求出小数。
而题中“差”与“和”往往不直接给出,需要通过条件转化才能求得。
画线段图仍是解答和差问题的好办法。
例1、有两筐桔子,共重120千克,大筐比小筐重30千克。
两筐桔子各重多少千克?
@分析:
120千克就是两数之和,30千克就是两数之差,也就是大筐比小筐多的千克数,用(和+差)÷2即可求出大数,就是大筐重量。
(和-差)÷2就是小筐重量。
解:
例2、两层书架共放书88本,如果从上层拿出10本给下层,则两层书一样多。
上层、下层各放书多少本?
@分析:
从线段图上可以看出,上层给下层10本,上下层相等,说明原来上层应该比下层多2个10本,即10×2=20(本),也就是上下两层的差是20,又知两层共放88本,即已知上下两层之和是88,和与差已知,可义求出原来各放多少本?
解:
例3、两个连续单数的和是200,这两个单数各是多少?
@分析:
连续单数是指像1、3、5、7、9、11这样的数,仔细观察可以发现,每两个连续单数之间总是相差2,如3-1=2,,5-3=2,从题意可知这两个单数的和是200,两数之和与两数之差都已知,可以求出这两个数。
解:
例4、姐姐和弟弟共有贺卡80张,如果姐姐给弟弟3张后,还比弟弟多4张。
姐姐和弟弟原来各有多少张?
@分析:
姐姐给弟弟3张,说明姐姐比弟弟多2个3张即3×2=6(张),又知姐姐给过弟弟后,还比弟弟多4张,可知姐姐原来一共比弟弟多6+4=10(张)即3×2+4=10(张),这也就是姐姐与弟弟贺卡的数量差,题中知道二人贺卡张数和,可以求出原来两人各多少张。
解:
例5、红球、黄球共100个,如果红球拿出24个,黄球比红球多16个。
红球、黄球原来各有多少个?
@分析:
红球拿出24个后,黄球比红球多16个,可以知道红球要比黄球多24-16=8(个)也就是两数之差,又知两数之和是100个,可以求出红球、黄球原来各是多少个?
解:
练习一
1、一个长方形,周长是48厘米,长是宽的3倍,求这个长方形的面积。
2、有两堆木料,第一堆50根,第二堆70根,从第一堆拿多少根木料到第二堆,才可使第二堆木料数是第一堆的3倍?
3、师傅和徒弟共加工零件100个,师傅加工的零件个数是徒弟的2倍少20个。
师傅和徒弟各加工零件多少个?
4、李新有邮票45张,王磊有邮票30张。
要使李新的邮票数是王磊的2倍,那么王磊要给李新多少张邮票?
5、甲乙两数之和是99,乙数末尾添上0后就和甲数相等。
甲、乙各是多少?
6、陈军和张军两人共用72元购买奥运体育彩票,陈军买彩票的钱数是张军的3倍少8元。
问两人购买奥运体育彩票各用了多少元?
7、妈妈的年龄比小明大24岁,今年妈妈的年龄正好是小明年龄的4倍。
今年妈妈和小明各多少岁?
8、某饲养场养鸡只数比养鸭只数多1000只,养鸡的只数是养鸭只数的3倍少200只。
饲养场养鸡、鸭各多少只?
9、某厂男工人数比女工人数的3倍多15人,男工人数女工人数多189人。
男、女工各有多少人?
10、甲、乙二人存款相等,如果甲取出1000元,乙存入2000元,那么乙的钱数是甲的钱数的3倍。
甲、乙原来各存款多少元?
11、两根电线一样长,如果从第一根上剪21米给第二根电线,这时,第二根电线的长度正好是第一根的4倍。
两根电线原有多长?
12、两根同样长的铁丝,第一根用去80厘米,第二根用去20厘米。
结果所剩铁丝,第二根的长是第一根的3倍。
原来两根铁丝各长多少米?
13、某校男生、女生共816人,男生人数比女生人数多74人,男、女生各是多少人?
14、甲、乙两箱水果共100千克,如果从甲箱中取出8千克放入乙箱中,这时,甲、乙两箱水果重量相等。
两箱原来各有水果多少千克?
15、一个长方形操场的长与宽相差50米,小军沿操场跑一周280米。
这个操场的长与宽各是多少米?
16、一厂、二厂共有工人606人,若一厂增加46人,二人减少54人,两个厂工人人数相同。
一厂、二厂原来各有工人多少人?
17、王军上服装超市买衣服,花85元钱买了一条裤子和一件上衣。
已知上衣比裤子贵15元,买上衣花了多少元?
第2讲数学魔牌二十四
“数学魔牌二十四”也称为“速算二十四”。
它源于一种扑克游戏:
将54张扑克去掉2张“王”,剩下的扑克便是1~13的4种不同图案组合。
游戏中是任意抽取四张扑克牌,在很短的时间内运用+、-、×、÷四则运算,有时还需要加上括号,使最后得数是24。
这是一个发展智力、培养能力的很好的游戏,它需要有敏捷的思维,灵活的计算技巧,并经济加以练习才行。
“速算二十四”有许多奇妙的组合,非常有趣,并被人们广泛地应用。
首先来介绍一下数的组合:
第一种组合:
4张牌数字相同。
如:
(1)3、3、3、3
3×3×3-3=24
(2)5、5、5、5
5×5-5÷5=24
第二种组合:
4张牌两两数字相同。
如
(1)1、1、4、4
(1+1+4)×4=24
(2)2、2、3、3
(2+2)×(3+3)=24
(3)4、4、5、5
5×5-4÷4=24
(4)5、5、7、7
5+5+7+7=24
第三种组合:
4张牌是连续自然数。
如:
(1)1、2、3、4
(1+2+3)×4=24
(2)5、6、7、8
【5-(8-7)】×6=24
第四种组合:
4张牌中有两张数字相同,两张数字不同。
如:
(1)2、2、5、6
(5-2÷2)×6=24
(2)1、4、4、6
(1+6)×4-4=24
第五种组合:
4张牌的数字都不相同。
如:
(1)8、7、11、6
【8-(11-7)】×6=24
(2)7、5、2、6
(7-5)×6×2=24
还有许多奇妙的组合,这里先介绍这几种。
小小的数字,简单的四则运算符号,能使数学变化多端,其乐无穷,到底有什么窍门呢?
下面我们就来通过具体例子来进行一些探索。
例1、2,2,4,8
(1)把8固定。
(2)把4固定。
(3)2固定。
@分析:
得数是24必须先想两个数如何凑24。
3×8=244×6=242×12=241×24=2424÷1=2448÷2=2420+4=2416+8=24等等。
解:
【有专家统计,数学魔牌凑24共有404道题,变化无穷的数字和符号,带着你的思维像在跳体操,一会儿是这种组合,一会是那种组合,十分美妙。
其中方法用的最多的还是3×8,4×6,2×12。
下面我们再探索一下别的窍门。
1、抓同数相除得1,相邻自然数相减得1。
在404道魔牌题目中,有些题目很特别,它们都与1有关,下面我们就巧妙地抓住1解开一道魔题。
例2、3,6,7,8
(1)把8固定。
(2)把6固定。
解:
例3、5,5,6,6
解:
当魔牌中4个数里出现两个相同数时,可将两个相同数固定,将其他两个凑成相应的数来凑成24。
例4、
(1)2、3、3、5把3固定
(2)2、2、3、8把2固定(3)2、5、6、6把6固定(4)4、7、8、8把8固定(5)3、4、4、9把4固定
解:
练习二
1、
(1)4、4、4、4
(2)6、6、6、6
2、
(1)1、1、5、5
(2)1、1、6、6
(3)2、2、4、4(4)2、2、7、7
(5)3、3、5、5(6)4、4、8、8
(7)5、5、8、8(8)5、5、10、10
3、
(1)2、3、4、5
(2)3、4、5、6
(3)4、5、6、7(4)6、7、8、9
4、
(1)1、2、6、6
(2)2、2、4、9
(3)3、3、4、7(4)3、4、4、4、
5、
(1)3、5、5、8
(2)2、3、4、8
(3)3、5、6、9(4)4、5、3、3
(5)1、2、9、11(6)7、2、5、6
第三讲相遇、行船的问题
一、小学数学应用题中,行程问题是其中的一大主要学习内容,而且在各种数学竞赛中都离不开这类应用题。
它内容丰富,形式多样,变化多端,贴近生活,同学们学起来饶有趣味,是数学学习中的一大快餐。
行程问题所涉及的其本数量关系式是:
速度×时间=路程路程÷时间=速度路程÷速度=时间
相遇问题和追及问题是行程问题中的两种主要类型。
这一讲我们先来学习相遇问题。
相遇问题可有两种情况:
相向相遇和反向相遇。
一般情况,相向相遇的形式多一些,作为主要学习内容。
它的特点是:
两个运动着的物体从两地出发,相向运动,越行越接近,到一定时候二者可以相遇,两个运动物体同时起行,相遇时所用的时间相同。
例1、小秋和小冬分别住在一条街东西两头,两家相距810米。
两人同时从家中出发相向而行,小秋每分钟走40米,小冬每分钟走50米,问:
(1)他们经过多长的时间相遇?
(2)5分钟时,他们还相距多少米?
(3)15分钟时他们相距多少米?
@分析:
(1)根据题意,小秋和小冬家相距810米,称为总路程。
小秋每分走40米,小冬每分走50米,可知小秋和小冬同时走1分钟共行路程是40+50=90(米),我们把它称为速度和,810米里有几个90米就是走了几分钟。
解:
@分析:
(2)根据题意,小秋和小冬每分钟共行40+50=90(米),5分钟可以行90×5=450(米),用总路程减去两人行了的路程就是还没有行的路程,也就是他们还相距多少米。
解:
@分析:
根据题意,15分钟时他们相距多少米,就是他们相向走了9分钟相遇,这时他们相距为0,然后相背(或反向)而行,又走了15-9=6(分钟),这时两人反向相离的路程。
解:
¥根据以上例子,我们可以总结出相遇问题中数量之间的基本关系式是:
速度和×相遇时间=总路程
总路程÷速度和=相遇时间
总路程÷相遇时间=速度和
总路程÷相遇时间-一个速度=另一个速度
解相遇问题,我们必须熟练掌握有关的数量关系式,此时,应借助于线段图来直观地分析和理解题意,以突破题意的难点。
例2、甲、乙两人骑自行车同时从A、B两地出发,相向而行,甲每分钟行200米,乙每分钟行220米,15分钟后两人相遇,求A、B两地的距离。
@分析:
此题根据数量关系就能直接求出,求A、B两地的距离就用速度和×相遇时间=总路程。
解:
例3、一辆客车和一辆货车同时从630千米的两地相相向而行,客车的速度是每小时50千米,货车的速度是每小时55千米,问几小时后两车相距105千米?
@分析:
两车在相距630千米的两地相向而行,距离逐渐缩短,在相遇前某一时刻两车相距105千米,这时两车共行的路程是630-105=525(千米),然后根据总路程÷速度和=相遇时间
解:
例4、慢车从甲地开往乙地,开出1小时后,离甲地40千米,这时,快车从乙地开往甲地,快车开出3小时后两车相遇。
已知甲、乙两地相距340千米,求快车的速度。
@分析:
慢车开出1小时后,离甲地40千米,说明慢车的速度为每小时40千米。
也说明慢车比快车先出发1小时,行了40千米后,快车才出发。
那么快车用了3小时与慢车相遇,这个3小时是两车共同用的时间。
共同行的路程340-40=300(千米),然后用路程÷相遇时间-一个速度=另一个速度进行求解。
解:
例5、甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行,甲车每小时行41千米,乙车每小时行45千米,甲车先出发2小时后,乙车才出发。
乙车行几小时后与甲车相遇?
@分析:
甲车先出发2小时,所行的路程是41×2=82(千米),这时乙车才出发,那么甲、乙同时相向而行的路程是770-82=688(千米),然后用路程÷速度和=相遇时间,便可求出乙车用的时间。
解
二、行船问题是行程问题中的一种特殊的题型,它是指船在流水中航行的问题。
除了具有的路程、速度和时间之间基本的数量关系外,同时还涉及水流的问题。
行船问题涉及的数量有:
船速、水速,顺水速度和逆水速度。
它们的含义是这样的:
船在静水中航行的速度叫船速;江河水流动的速度叫水速;船从上游向下游顺水而行的速度叫顺水速度;船从下游逆水而行的速度叫逆水速度。
各种速度之间的关系:
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
(顺水速度+逆水速度)÷2=船速
(顺水速度-逆水速度)÷2=水速
例1、甲、乙两港间的水路长270千米,一只船从甲港开往乙港,顺水9小时到达,从乙港返回甲港,逆水15小时到达,求船在静水中的速度和水流的速度。
@分析:
根据题意,要想求出船速和水速,必须先求出顺水速度和逆水速度,顺水速度用路程÷顺水时间求得:
270÷9=30(千米/小时),逆水速度用路程÷逆水时间求得:
270÷15=18(千米/小时),然后根据上面的基本数量关系求出船速和水速。
解:
例2、一艘船顺水行360千米需用9小时,水流速度为每小时15千米,这艘船逆水每小时行多少千米?
这艘船逆水行这段路程需用几小时?
@分析:
由顺水行360千米需用9小时,可以求出顺水的速度为:
360÷9=40(千米/小时),由顺水速度每小时40千米和水流速度每小时15千米,可以求出船在静水中的速度为:
40-15=25(千米/小时),再由船速每小时25千米和水流速度每小时15千米,可以求出逆水速度为:
25-15=10(千米/小时),那么这艘船逆水行360千米需用的时间为360÷10=?
小时。
解:
例3、一艘轮船从甲码头开往乙码头,顺水而行每小时行28千米,返回甲码头时逆水而行用了8小时,已知水速是每小时4千米,甲、乙两码相距多少千米?
@分析:
根据顺水速度-水速=船速,可求出船在静水中的速度为:
28-4=24(千米/小时)。
再根据船速-水速=逆水速度,可求出逆水速度为:
24-4=20(千米/小时)。
最后由逆水速度×时间=路程求出两码头的距离:
20×8=160(千米)。
解:
例4、一条大河的水流速度是每小时3千米,一只船在河中行驶,如果船在静水中的速度是每小时行13千米,那么这只船在河中顺水航行160千米需要几小时?
如果按原航道返回,需要几小时?
@分析:
求顺水航行160千米需要几小时,必须先求出顺水的速度。
由船速+水速=顺水速度,求出顺水速度为13+3=16(千米/小时)。
再用160÷16=10(小时),求出了顺行需要的时间;按原航道返回,船程仍是160千米,要求逆回需要时间,必须先求出逆水速度。
由船速-水速=逆水速度,求出逆水速度为13-3=10(千米/小时)。
再用160÷10=16(小时),求出了逆行需要的时间。
解:
练习三
1、两辆摩托车同时从甲乙两地相对开出,一辆摩托车每小时行62千米,另一辆摩托车每小时行65千米,经过5小时相遇。
甲、乙两地相距多少千米?
2、A、B两地相距70千米,小孙和小万分别从AB两地骑自行车同时出发,相向而行,小孙每小时行18千米,小万每小时行17千米,问两人几小时后相遇?
3、一个圆形跑道的周长是500米,两个学生同时从同地相背而行。
甲每分钟走65米,乙每分钟走60米,经过几分钟才能相遇?
4、一辆汽车和一辆摩托车同时从相距800千米的两地出发,相向而行,汽车每小时行45千米,摩托车每小时行55千米,6小时后两车还相距多少千米?
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