版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时分层作业十五2112利用导数研究函数的极值最值文.docx
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版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时分层作业十五2112利用导数研究函数的极值最值文
课时分层作业十五利用导数研究函数的极值、最值
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·遵义模拟)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选A.从f′(x)的图象可知f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增→减→增→减,根据极值点的定义可知在(a,b)内只有一个极小值点.
2.已知函数y=的图象如图所示,其中f′(x)是定义域为R的函数f(x)的导函数,则以下说法错误的是( )
A.f′
(1)=f′(-1)=0
B.当x=1时,函数f(x)取得极小值
C.当x=-1时,函数f(x)取得极大值
D.方程xf′(x)=0与f(x)=0均有三个不同的实数根
【解析】选D.对于选项A.由图象可知x=1或-1时,f′
(1)=f′(-1)=0成立;对于选项B.当0
对于选项C,当x<-1时,<0,此时f′(x)>0,当-1
f′(x)<0,故当x=-1时,函数f(x)取得极大值,成立.对于选项D,由于函数f(x)的极大值与极小值的正负情况及其他条件不确定,不足以断定f(x)=0根的情况,故D符合题意.
3.设动直线x=m与函数f(x)=x3,g(x)=lnx的图象分别交于点M,N,则|MN|的最小值为( )
A.(1+ln3)B.ln3
C.1+ln3D.ln3-1
【解析】选A.设F(x)=f(x)-g(x)=x3-lnx,求导得:
F′(x)=3x2-.
令F′(x)>0得x>;令F′(x)<0得0 所以当x=时,F(x)有最小值为F=+ln3=(1+ln3). 【变式备选】(2018·运城模拟)已知函数f(x)=lnx+tanα的导函数为f′(x),若方程f′(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为 ( ) A.B. C.D. 【解析】选A.因为f(x)=lnx+tanα, 所以f′(x)=,令f(x)=f′(x), 得lnx+tanα=, 即tanα=-lnx.设g(x)=-lnx,显然g(x)在(0,+∞)上单调递减,而当x→0时, g(x)→+∞,所以要使满足f′(x)=f(x)的根x0<1,只需tanα>g (1)=1, 又因为0<α<,所以α∈. 4.(2018·长沙模拟)已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.若a>,且当x∈[1,4a]时,|f′(x)|≤12a恒成立,则a的取值范围为( ) A.B. C.D. 【解析】选A.f′(x)=3x2-6ax-9a2的图象是一条开口向上的抛物线,关于x=a对称.
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